二元变量数学期望与方差.ppt
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二元变量数学期望与方差.ppt
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3.2随机向量的数字特征,一、二维随机向量的数学期望及方差,1.二维随机向量的数学期望,2)若(X,Y)的联合密度函数为,注1)若(X,Y)的联合概率分布律为:
2.二维随机向量函数的数学期望,随机变量),有:
定理1设(X,Y)是二维随机向量,则随机变量,是二维随机向量(X,Y)的函数,,1)若(X,Y)的联合概率分布律为:
,,2)若(X,Y)的联合密度函数为,设(X,Y)是二维随机向量,则,3.二维随机向量的方差,若(X,Y)的联合概率分布律为:
若(X,Y)的联合密度函数为,例1设(X,Y)是二维随机向量,其联合密度函数为,求EX,EY,DY,DX,E(X+Y),E(XY)。
注意:
由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立,2.设X、Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,1.E(X1X2)=E(X1)E(X2);,(诸Xi独立时),3.若X1与X2独立,则,可推广为:
若X1,X2,Xn相互独立,则,D(X1X2)=D(X1)+D(X2);,X1与X2不一定独立时,D(X1+X2)=?
请思考,二、二维随机向量和、积的数学期望及方差的性质,例2把数字1,2,n任意地排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望.,由于E(Xk)=1P(Xk=1),解:
设巧合个数为X,k=1,2,n,则,故,引入,例3设随机向量(X,Y)的联合概率分布律为,判定X与Y是否相互独立?
(2)E(XY)与EXEY相等吗?
例4设随机变量X服从0,1上的均匀分布,随机,立,求E(XY)及D(XY)。
变量Y服从1,3上的均匀分布,且X与Y相互独,例3、4说明:
若EXY=EXEY,并不能得到X与,必有D(XY)=DXDY.,Y相互独立的结果。
且若X与Y相互独立,未,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机向量,反映分量之间关系的数字特征中,最重要的,就是下面要讨论的,三、二维随机向量的协方差与相关系数,定义2设X与Y是两个随机变量,且EX,EY均,的协方差,记作,
(一)协方差,1.基本概念,2.简单性质,a,b是常数,3.计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质,可得,即,可见,若X与Y独立,则,定理2若随机变量X与Y相互独立,则,是不相关的。
否则称X与Y有(线性)相关关系.,4.随机变量和的方差与协方差的关系,若两两独立,,上式化为,例5设随机向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),独立?
X与Y是否线性相关?
(2,0),(0,2)四个点,试判断X与Y是否相互,例6设随机向量(X,Y)的联合密度函数为:
试判断:
X与Y是否相互独立?
X与Y是否线性,相关?
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如:
为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入了相关系数.,
(二)相关系数,为随机变量X和Y的相关系数.,定义4设(X,Y)是二维随机向量,它们的方差D(X),在不致引起混淆时,记为.,D(Y)存在,且D(X)0,D(Y)0,称,证明:
由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数k,有,D(Y-kX)=k2DX+DY-2kCov(X,Y)0,则,这是一个关于k的一个二次多项式,则必有,即,故,注X和Y独立时,=0,但其逆不真.,故,=0,由于当X和Y独立时,,定理4如果随机变量Y是随机变量X的线性函数,,即,从上述定理可以知道:
相关系数刻划了X和Y,是描述随机变量X与Y之间线性相关程度,当,X与Y之间具有完全的线性相关.且,称X与Y之间存在正相关关系,当,越接近1,认为X与Y的线性相关程度越强,,称X与Y之间存在负相关关系,当,程度较弱。
注意:
相关系数是随机变量之间线性关系强弱,的一个度量(参见如下的示意图).,N(0,16),且X与Y的相关系数为,设,2)求X与Z的相关系数,且X=sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数,求X与Y的相,关系数,例8设随机变量X、Y分别服从正态分布N(1,9),,1)求EZ及DZ;,
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