新版上海市空间图形题型经典题目汇总含答案.docx

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新版上海市空间图形题型经典题目汇总含答案

高中数学空间图形解答题

1、在空间四边形ABCD中,各边长和对角线长均为a,点E、F分别是BD、AC的中点,求异面直线AE和BF所成的角.

翰林汇

2、如图，空间四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=DC=1，AD和BC成角60o，E、F分别是AB、DC的中点。

求：

（1）AB和DC成角的度数；

（2）EF的长。

翰林汇

3、已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1，E是AB的中点，求BD与CE所成的角。

翰林汇

4、过锐角三角形ABC的垂心H作平面ABC的垂线,P为垂线上一点,

APB=90o,那么△BPC和△APC的形状如何?

又若

APB≠90o,PA与BC是否垂直?

为什么?

翰林汇

5、夹在两个平行平面

和

间的异面直线AB和CD所成的角为45o,它们在平面

内的射影长分别为12cm和2cm.若AC=6cm,BD=8cm,AB,CD与平面

所成的角的差是45o.求异面直线AC和BD间的距离和它们所成角的度数.翰林汇

6、已知：

矩形ABCD中,AB=45,直线EF//BC,交AB于E,交CD于F,且EB=28,将矩形AEFD沿直线EF折起,使AD和平面EBCF间的距离为15,求此时AD与BC间的距离.翰林汇

7、a、b是异面直线,它们所成角是60°.AB是a、b的公垂线,A

a,B

b,AB=1,另有C、D两点,C

a,D

b,且DB=AC=10,求C、D两点间距离.

翰林汇

8、平行四边形ABCD的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.翰林汇

9、在边长a为的正方体ABCD－A1B1C1D1中（如图所示）,

（1）异面直线AB与CC1间的距离为;

（2）异面直线A1D1与BC1所成角的度数为;

（3）若E,F分别为AA1,AB的中点,则异面直线EF与BC1所成角的大小

为;

（4）把两两都为异面直线的三条直线称为一组,在正方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线中,满足条件的直线有组.

翰林汇

10、已知空间四边形ABCD.

（1）求证：

对角线AC与BD是异面直线;

（2）若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;

（3）若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇

11、在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求

（1）A1B与B1D1所成角;

（2）AC与BD1所成角.翰林汇

12、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求AC1与B1D1所成的角。

翰林汇

13、已知AB，BC，CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点，P，Q，R满足PQ=2，

，PR=3，求AC与BD所成的角。

翰林汇

14、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB=BC=3，A1A=4，求A1B和B1C所成角的余弦值。

翰林汇

15、若E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，求A1C与DE所成角的余弦值。

翰林汇

16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB=a，BC=BB1=b，求AC1与B1C所成的角。

翰林汇

17、已知E，F，G，H顺次是空间四边形ABCD各边的中点。

（1）求证：

EFGH为平行四边形；

（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？

（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？

（4）如果AC=BD，且AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？

（5）若对角线BD=2，AC=4，求EG2＋HF2的值。

翰林汇

18、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E为棱CD的中点，求AE和B1C所成角的余弦值。

翰林汇

19、在空间四边形ABCD中，已知AD=1，

，且AD⊥BC，对角线

，

，求AC和BD所成的角。

翰林汇

20、在正四面体ABCD中，若E，F分别为棱AB，CD的中点，求AF与CE所成的角的正切值。

翰林汇

21、完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求证：

BD和AE是异面直线。

证明：

假设__共面于g，则点A、E、B、D都在平面__内。

QAÎa，DÎa，∴__Ìγ.QPÎa，∴PÎ__.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc

∴__Ìg，__Ìg，这与____矛盾。

∴BD、AE__________。

翰林汇

22、在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB=a，BC=b，AA′=c（a＞b），求异面直线D′B与AC所成角的余弦值。

翰林汇

23、已知a、b为异面直线,A、B

a.AA1⊥b,BB1⊥b,A1、B1为垂足,若AB=2,A1B1=1,求异面直线a、b所成的角.翰林汇

24、已知异面直线a，b互相垂直，它们的公垂线段PQ=h，一条长为定值m（m＞h）的线段AB两端分别在a，b上滑动，求AB中点M的轨迹。

翰林汇

25、已知两个全等的正方形ABCD和CDEF所在平面互相垂直。

（1）求BD与EC所成的角；

（2）若P，Q分别为两个正方形的中心，求BQ与EP所成角的余弦值。

翰林汇

26、已知ABCD为矩形，E为半圆CED上一点，且平面ABCD⊥平面CDE.

（1）求证：

DE是AD与BE的公垂线；

（2）若AD=DE=

，求AD和BE所成角的大小。

翰林汇

27、完成下列证明：

已知a∥b∥c，a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C，求证：

a、b、c、d共面。

证明：

∵a//b，∴___确定一个平面a，∵AÎa，BÎb.

∴A__a，B__a，又∵AÎd，BÎd，∴___Ìa.同理dÌ（b、c确定的平面）b.

∵b、dÌ___，且b、dÌ__，bId=B，∴__与__重合，∴____共面。

说明：

立几中证n条直线共面，一般可根据条件先确定一个平面（根据公理三及三推论），然后再证其它直线也在这个平面内；也可先确定n个平面，再证这些平面重合。

翰林汇

28、在底半径为r的圆柱中,O、O′分别为上下底面圆的圆心，OM和O′N′分别为上下底面圆的两条半径，若异面直线OM和O′N′的成角为60o.求：

异面直线MN′和OO′的距离。

空间直线解答题（参考答案）

1、arccos

翰林汇

2、

（1）60o；

（2）

.翰林汇

3、提示：

在面ABCD中作BP∥CE交DC的延长线于P，连D1P，在

BD1P中用余弦定理求得ÐD1BP=arccos

.翰林汇

4、如图,H是垂心,PH是垂线,AH⊥BC,由三垂线定理得AP⊥BC,又AP⊥PB,故AP⊥平面PBC,从而AP⊥PC,△APC是直角三角形,同理△BPC也是直角三角形.由分析过程知PA⊥BC与否,与∠APB的大小无关,即PA⊥BC成立

翰林汇

5、90o,4或6.翰林汇

6、25或39翰林汇

7、提示：

利用异面直线上两点间距离公式分类讨论：

当∠DBE=60°时,CD=

.

当∠DBE=120°时,CD=

.翰林汇

8、如图,

折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a.

由余弦定理得BD2=a2＋4a2－a·2a=3a2,∴BD=

.

∵AD2＋BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形.

即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°.折起后∠ADB=∠CBD=90°.

如图,

过A作AE

BD,连结AC、CE、BE,四边形AEBD是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC.

∴∠CBE是二面角A—BD—C的平面角.

∴∠CBE=90°,EC2=2a2.∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC.

∵AE⊥EC,AC2=AE2＋EC2=5a2,

由AE‖BD得∠CAE即为AC与BD所成的角.

在Rt△AEC中,cos∠CAE=

.

于是AC与BD所成角为arccos

.翰林汇

9、

（1）a

（2）45o（3）60o（4）8翰林汇

10、

（1）∵ABCD是空间四边形,

∴A点不在平面BCD上,而C

平面BCD,∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,又∵BD

平面BCD,且C

BD.∴AC与BD是异面直线.

（2）解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=

AC.同理HG//AC,且HG=

AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.

（3）作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.

11、

解

（1）如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.

（2）连BD交AC于O,取DD1中点E,连EO,EA,EC.

∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.

又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.

翰林汇

12、90°翰林汇

13、90°翰林汇

14、

翰林汇

15、

翰林汇

16、90°翰林汇

17、

（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）10翰林汇

18、

翰林汇

19、90°翰林汇

20、

翰林汇

21、假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面g内。

∵AÎa，DÎa，∴aÌg.∵PÎa，PÎg.∵PÎb，BÎb，PÎc，EÎc.∴bÌg，cÌg，这与a、b、c不共面矛盾。

∴BD、AE是异面直线。

22、

解：

在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则BE≠AC，∠D′BE（或其补角）即D′B和CD所的角。

∵

，

，

，

∴

＝

∴D′B与AC所成角的余弦值为

.翰林汇

23、

解（如图）

过A作直线b′‖b,在b′上取一点C,使AC=A1B1,则AA1B1C为平行四边形,∵A1B1⊥AA1,∴AA1B1C为矩形,∴AC⊥B1C,又∵AC⊥A1B1,A1B1⊥BB1,∴AC⊥BB1,∴AC⊥平面BB1C,∴AC⊥BC.∴cos∠CAB=

∴∠CAB=60°,即a、b成60°角.翰林汇

24、M点的轨迹是以PQ为中点T为圆心、半径为

，并位于PQ的垂直平分面上的圆。

翰林汇

25、

（1）60°；

（2）

.翰林汇

26、

（1）∵BC⊥面DEC，CE是BE在面DEC上的射影，而CE⊥DE，

∴BE⊥DE.又AD⊥面DEC，∴AD⊥DE，

故DE是AD与BE的公垂线；

（2）60°.

翰林汇

27、

∵a//b，∴a、b确定一个平面a，∵AÎa，BÎb.∴AÎa，BÎa.

又∵AÎd，BÎd，∴dÌa.同理dÌ（b、c确定的平面）b.

∵b、dÌa，且b、dÌb，b∩d=B，∴a与b重合，∴a、b、c、d共面。

翰林汇

28、d=

r翰林汇