牛奶加工问题等规划论.docx
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牛奶加工问题等规划论.docx
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牛奶加工问题等规划论
实验名称:
规划论-建模与求解
姓名
方旭
学号
12112105
实验地点
T4-207
实验类型
综合设计
实验要求
选修
学时量
8
所用知识
数学建模数学软件运筹学
题目一牛奶加工投资问题
题目:
1、一奶制品加工厂生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,
或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求,生产A1,A2能够全部售出,且每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。
现加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总劳动时间为480小时,
并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,
设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题:
1)若用35元可以买到1桶牛奶,应否做这项投资?
若投资,每天最多购买多少桶牛奶?
2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时多少元?
3)由于市场需求变化,公斤A1的获利增加道30元,是否应改变生产计划?
建模:
数学模型:
设每天用X1桶牛奶生产A1,用X2桶牛奶生产A2
目标函数:
设每天获利为Z元。
X1桶牛奶可生产3X1公斤A1,获利24*3X1,X2桶牛奶可生产4*X2公斤A2,获利16*4X2,故z=72x1+64x2
约束条件:
原料供应:
生产A1,A2的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶,即
X1+x2<=50
劳动时间:
生产A1,A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时,即
12x1+8X2<=480
设备能力:
A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时,即
3x1≤100
求解:
LINGO求解线性规划
MODEL:
max=72*x1+64*x2;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<100;
x1+x2<=50;
END
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3360.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X120.000000.000000
X230.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13360.0001.000000
20.0000002.000000
340.000000.000000
40.00000048.00000
分析:
用LINGO求解加工奶制品的生产计划结果如下
20桶牛奶生产A1,30桶生产A2,利润3360元。
1)35元可买到1桶牛奶,要买吗?
由于原料的影子价格为48,35<48,应该买。
2)聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?
由于工时的影子价格为2聘用临时工人付出的工资最多每小时2元
3A1获利增加到30元/千克,应否改变生产计划?
用LINGO求解加工奶制品的生产计划结果如下
20桶牛奶生产A1,30桶生产A2利润3360元。
135元可买到1桶牛奶要买吗
由于原料的影子价格为48
35<48,应该买
2聘用临时工人付出的工资最多每小时几元
由于工时的影子价格为2聘用临时工人付出的工资最多每小时2元
3A1获利增加到30元/千克应否改变生产计划
由于要使最优解保持不变,X1系数的允许变化范围为[64,96]。
x1系数由24*3=72增加为30*3=90,在允许范围内。
所以不改变生产计划。
其他:
用LINGO软件线性规划变量可以取到最优,牛奶和A1,A2,分配工人和得到最大利润。
题目二混合泳接力队的选拔
题目:
某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队,参加学校的4×100米混合泳接力比赛。
5名队员的4中泳姿的百米平均成绩见下表,该如何选拔接力队员?
如果最近丁的蛙泳成绩有较大进步,可以达到1’15”2;而队员戊经过艰苦的训练,自由泳成绩有所进步,达到了57”5,组成接力队的方案是否应该做出调整?
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳
1’06”8
57”2
1’18”
1’10”
1’07”4
仰泳
1’15”6
1”06”
1’07”8
1’14”2
1’11”
蛙泳
1”27
1’06”4
1’24”6
1’09”61’05”2
1’23”8
自由泳
58”6
53”
59”4
57”2
1’02”4
57”5
建模:
模型的建立
记甲乙丙丁戊分别为队员i=1,2,3,4,5;记蝶泳`仰泳`蛙泳`自由泳分别为泳姿j=1,2,3,4.记队员i的第j种泳姿的百米最好成绩为cij(s),即有
cij
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
j=1
66.8
57.2
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
引入0-1变量xij,若选择队员i参加泳姿j的比赛,记xij=1,否则记xij=0。
根据组成接力队的要求,ij应该满足两个约束条件:
(1)、每人最多只能入选4种泳姿之一,即对于i=1,2,3,4,5,应有
;
(2)、每种泳姿必须有1人而且只能有1人入选,即对于j=1,2,3,4,应有
当队员i入选泳姿j时,cijxij表示他(她)的成绩,否则cijxij=0。
目标函数:
Z=
综上,0-1规划模型为:
MinZ=
S.t.
i=1,2,3,4,5
j=1,2,3,4
Xij={0,1}
求解:
用LINGO解决混合泳接力队的选拔
model:
min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14
+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24
+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34
+70*x41+74.2*x42+65.2*x43+57.2*x44
+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54;
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x51+x52+x53+x54<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+x53=1;
x14+x24+x34+x44+x54=1;
@bin(x11);@bin(x12);@bin(x13);@bin(x14);
@bin(x21);@bin(x22);@bin(x23);@bin(x24);
@bin(x31);@bin(x32);@bin(x33);@bin(x34);
@bin(x41);@bin(x42);@bin(x43);@bin(x44);
@bin(x51);@bin(x52);@bin(x53);@bin(x54);
end
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
247.7000
Objectivebound:
247.7000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X110.00000066.80000
X120.00000075.60000
X130.00000087.00000
X140.00000058.60000
X211.00000057.20000
X220.00000066.00000
X230.00000066.40000
X240.00000053.00000
X310.00000078.00000
X321.00000067.80000
X330.00000084.60000
X340.00000059.40000
X410.00000070.00000
X420.00000074.20000
X431.00000065.20000
X440.00000057.20000
X510.00000067.40000
X520.00000071.00000
X530.00000083.80000
X541.00000057.50000
RowSlackorSurplusDualPrice
1247.7000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
分析:
考虑丁、戊最近的状况,c43由原来的69.6s变为75.2s,c54由原来的62.4s变为57.5s,则LINDO输入文件:
MIN66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+57.2x21+66x22+66.4x23+53x24+78x31+67.8x32+84.6x33+59.4x34+70x41+74.2x42+75.2x43+57.2x44+67.4x51+71x52+83.8x53+57.5x54
st
x11+x12+x13+x14<=1
x21+x22+x23+x24<=1
x31+x32+x33+x34<=1
x41+x42+x43+x44<=1
x11+x21+x31+x41+x51=1
x12+x22+x32+x42+x52=1
x13+x23+x33+x43+x53=1
x14+x24+x34+x44+x54=1
END
INT20
输出结果:
1)257.7000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X110.00000066.800003
X120.00000075.599998
X130.00000087.000000
X140.00000058.599998
X211.00000057.200001
X220.00000066.000000
X230.00000066.400002
X240.00000053.000000
X310.00000078.000000
X321.00000067.800003
X330.00000084.599998
X340.00000059.400002
X410.00000070.000000
X420.00000074.199997
X431.00000075.199997
X440.00000057.200001
X510.00000067.400002
X520.00000071.000000
X530.00000083.800003
X541.00000057.500000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)1.0000000.000000
3)0.0000000.000000
4)0.0000000.000000
5)0.0000000.000000
6)0.0000000.000000
7)0.0000000.000000
8)0.0000000.000000
9)0.0000000.000000
NO.ITERATIONS=11
BRANCHES=0DETERM.=1.000E0
其他:
用LINGO建模分析混合泳接力队的选拔,使得接力队成绩得到最优化。
题目三制造汽车问题
题目:
一汽车生产大中小三种类型的汽车,已知各种类型每辆车劳动时间的需求,利润及每月生产钢材,劳动时间的现有量如下表,试制定月生产计划,使工厂的利润最大。
进一步讨论,由于各种条件限制,如果生产某一类型汽车,则至少要生产80辆,那么最优的生产计划应做何改变?
小型
中型
大型
现有量
钢材(吨)
1.5
3
5
600
劳动时间(小时)
280
250
400
60000
利润(万元)
2
3
4
建模:
数学模型:
设月生产计划小型车X1辆,中型车X2辆,大型车X3辆
约束条件:
1.5*x1+3*x2+5*x3<600;
280*x1+250*x2+400*x3<60000;
x1*(x1-80)>=0;
x2*(x2-80)>=0;
x3*(x3-80)>=0;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
求解:
LINGO求解线性规划
model:
max=2*x1+3*x2+4*x3;
1.5*x1+3*x2+5*x3<600;
280*x1+250*x2+400*x3<60000;
x1*(x1-80)>=0;
x2*(x2-80)>=0;
x3*(x3-80)>=0;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
end
结果:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
610.0000
Objectivebound:
610.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
2
Totalsolveriterations:
528
VariableValue
X180.00000
X2150.0000
X30.000000
RowSlackorSurplus
1610.0000
230.00000
3100.0000
40.000000
510500.00
60.000000
分析:
在程序迭代0次之后得出:
小型生产80辆,大型生产80辆,工厂的利润最大为480.钢材剩余80吨。
劳动时间剩余5600小时。
为了使x1变量增加一个单位,在最大化问题中,目标函数值将减少个单位。
为了使x2增加一个单位,在最大化问题中,目标函数值将减少3个单位。
为了使x3增加一个单位,在最大化问题中,目标函数值将减少4个单位
其他:
求解至少生产80辆时,引进0,1变量来约束变量值,使之成为全局变量
题目四饮料生产问题
题目:
某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需求。
该厂销售科根据市场预测,已经确定了未来四周该饮料的需求量。
计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本,见下表。
每周当饮料满足需求后有剩余时,要支出存储费,为每周每千箱0.2千元。
问应如何安排生产计划,在满足市场需求的条件下,使四周的总费用(生产成本与存储费之和)最小?
如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修,检修将占用当周15千箱的生产能力,但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱,则检修应安排在哪一周?
周次
需求量(千箱)
生产能力(千箱)
成本(千元/千箱)
1
15
30
5.0
2
25
40
5.1
3
35
45
5.4
4
25
20
5.5
合计
100
135
建模:
构建模型:
未来四周的饮料生产量分别为X1,X2,X3,X4
约束条件:
x1<=30;
x2<=40;
x3<=45;
x4<=20;
x1>=15;
x1+x2>=40;
x1+x2+x3>=75;
x1+x2+x3+x4>=100;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
求解:
LINGO求解饮料生产问题
model:
min=5.0*x1+5.1*x1+5.4*x3+5.5*x4+0.2*(x1-15)+0.2*(x1+x2-40)+0.2*(x1+x2+x3-75);
x1<=30;
x2<=40;
x3<=45;
x4<=20;
x1>=15;
x1+x2>=40;
x1+x2+x3>=75;
x1+x2+x3+x4>=100;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
end
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
400.5000
Objectivebound:
400.5000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X115.0000010.70000
X325.000005.600000
X420.000005.500000
X240.000000.4000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1400.5000-1.000000
215.000000.000000
30.0000000.000000
420.000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
715.000000.000000
85.0000000.000000
90.0000000.000000
分析:
这个模型是在全局最优的情况下的线性规划问题周一生产15箱,周2生产40箱,周3生产25箱,周4生产20箱,总花费为400.5元
其他:
用LINGO进行全局最优解决生产问题
题目五储蓄所雇员问题
题目:
某储蓄所每天的营业时间是上午9:
00到下午5:
00。
根据经验,每天不同时间段所需要的服务员数量如下:
时间段(时)
9-10
10-11
11-12
12-1
1-2
2-3
3-4
4-5
服务员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员,全时服务员每天报酬100元,从上午9:
00到下午5:
00工作,但中午12:
00到下午2:
00之间必须安排1小时的午餐时间。
储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,每天的报酬40元。
问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员?
并讨论不雇用半时工及雇用半时工人数不限两种情形。
建模:
模型:
设储蓄所每天雇用X1,X2,X3。
半时公Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6全时工。
约束条件:
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(y1);
@gin(y2);
@gin(y3);
@gin(y4);
@gin(y5);
求解:
LINGO求解储蓄所雇员问题
model:
min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;
y1+y2+y3+y4+y5<3;
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(y1);
@gin(y2);
@gin(y3);
@gin(y4);
@gin(y5);
end
结果:
分析:
12点到一点吃饭的人有3个,1点到2点吃饭的人有4个,半时工雇佣3个。
最小花费为820元。
其他:
用中午不同点吃饭人数来计算全时工人数,由连续工作四小时这一限制决定只能在9,10,11,12,13点雇半时工。
使变量设得简单。
第六部分心得体会
通过这次试验,了解到了LINGO在企业生产和决策中发挥的重要作用。
可以为个人和企业节省人力物力财力。
线性规划在一定的约束条件下,变量可以取到最优。
在做完这次试题后,我对线性规划有了新的认识。
我们可以借助LINGO软件将一些生产问题进行合理的数学建模并得出理论上的最优解。
但同时要求我们考虑到建模范围内的方方面面,一旦没有考虑到一个约束条件的话,得出的结论会大相径庭。
实际问题总是千变万化的,合理的运用计算机软件,加上联系实际的分析就能很好的
解决生产系统中的各项问题。
我们应该
(1)多翻翻各种数学书籍,了解各种数学思想;
(2)多看看多想想建模题目,熟悉那种特别的思维习惯。
(3)多用用必要的数学软件,增加自己的计算能力。
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- 牛奶 加工 问题 规划