平行四边形经典小题综合训练3.docx
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平行四边形经典小题综合训练3
平行四边形经典小题综合训练教案教学过程
一、复习预习
1.下列说法正确的有( )
①平行四边形的对角线相等;②平行四边形的对边相等;
③平行四边形的对角线互相垂直;④平行四边形的对角线互相平分;
⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
⑥一组对边平行而且另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
【答案】B.
【解析】平行四边形的对角线互相平分,但对角线并不相等,也不互相垂直,所以①③错,④对;平行四边形的对边相等,②对;两组对边分别相等的四边形是平行四边形,⑤对;
一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形,一组对边平行而且而另一组对边相等的四边形并不一定是平行四边形,比如等腰梯形,⑥错.所以正确的是②④⑤,共有三个.
2如图,
ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则图中有( )个平行四边形.
A.
7个
B.
8个
C.
9个
D.
10个
【答案】B.
【解析】E,F分别是AB,CD的中点,则有AE=FC=ED=BF=AD=BC,
∴四边形AECF,EDFB,是平行四边形,有∠FBE=∠EDF=∠AEB,
∵AE∥BF,∴EAF=∠AFB,∴△MAE≌△MFB,∴AM=MF,即点M是AF的中点.
同理,点N是FD的中点,∴MN是△EBC和△AFD的中位线,∴MN=AE=FC=ED=BF=AD=BC
∴四边形AENM,DEMN,BMNF,FCNM是平行四边形,∵EN∥MF,ME∥FN
∴四边形ENFM是平行四边形,而四边形ABCD也是平行四边形,共8个平行四边形.
二、知识讲解
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.对称性:
中心对称--对称中心为对角线交点。
3.平行四边形的性质:
因为ABCD是平行四边形⇒
4.平行四边形的判定:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
⑤两对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.三角形中位线
①定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(三角形有三条中位线)
②性质:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
考点/易错点1
平行线之间的距离定义:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离
✓平行线之间的距离特征1:
平行线之间的距离处处相等。
✓平行线之间的距离特征2:
夹在两条平行线之间的平行线段相等。
三、例题精析
【例题1】
【题干】四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,有下列四组条件:
①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有( )
A.
1组
B.
2组
C.
3组
D.
4组
【答案】C
【解析】①根据平行四边形的判定定理:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知①能判断这个四边形是平行四边形;②根据平行四边形的判定定理:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可知②能判断这个四边形是平行四边形;③根据平行四边形的判定定理:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,可知③能判断这个四边形是平行四边形;④根据平行四边形的判定定理:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知④不能判断这个四边形是平行四边形;给出下列四组条件中,①②③能判断这个四边形是平行四边形
【例题2】
【题干】如图,六边ABCDEF中,AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,BC平行且等于FE,对角线FD⊥BD.已知FD=24cm,BD=18cm.则六边形ABCDEF的面积是 平方厘米.
【答案】432.
【解析】连接AC交BD于G,AE交DF于H.∵AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,
∴四边形AEDB是平行四边形,四边形AFDC是平行四边形,∴AE=BD,AC=FD,∴EH=BG.
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432.
【例题3】
【题干】3、如图,已知等边△ABC的边长为8,P是△ABC内一点,PD∥AC,PE∥AD,PF∥BC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,则PD+PE+PF= .
【答案】8.
【解析】过E点作EG∥PD,过D点作DH∥PF,∵PD∥AC,EG∥PD,
∴四边形DGEP为平行四边形,∴EG=DP,PE=GD,又△ABC是等边三角形,EG∥AC,
△BEG为等边三角形,∴EG=PD=GB,同理可证:
DH=PF=AD,∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8.
【例题4】
【题干】如图,四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线最多有两条,能否做到:
(用“能”或“不能”填空).若填“能”,请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法;若填“不能”,请简要说明理由.
【答案】能.
【解析】如图,分别取四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点E、G、F、H,
连接EF、GH,交点为O.将四边形OFDH不动,将四边形AEOH、CGOF分别绕点H、F旋转180度,将四边形BGOE平移,使B与D重合,即可得到一个平行四边形.
【例题5】
【题干】两个长、宽各为a米、b米的矩形花圃,都修建了形状不同的一条宽为c米的小路,问:
这两条小路的面积是否相等 (填“相等”或“不相等”),若相等,面积是 m2.
【答案】相等;bc.
【解析】左图的小路可看作矩形,根据矩形面积计算方法,得小路面积为bcm2.
右图小路可看作由几个平行四边形组成,底为c,几个平行四边形高的和为b,
根据平行四边形面积计算方法,得小路面积为bcm2.故相等.
四、课堂运用
【基础】
1.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点,点D是平面内任意一点,若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C.
【解析】由题意画出图形,在一个平面内,不在同一条直线上的三点,与D点恰能构成一个平行四边形,符合这样条件的点D有3个.
2.(2010•铁岭)如图所示,平行四边形ABCD的周长是18cm,对角线AC、BD相交于点O,若△AOD与△AOB的周长差是5cm,则边AB的长是 cm.
【答案】2.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,
∵△AOD的周长=OA+OD+AD,△AOB的周长=OA+OB+AB,
又∵△AOD与△AOB的周长差是5cm,∴AD=AB+5,
设AB=x,AD=5+x,则2(x+5+x)=18,解得x=2,即AB=2cm.
3.平行四边形两邻边长分别为16和20,两条长边间距离为8,则两条短边间距离为 .
【答案】10.
【解析】∵平行四边形的面积=两条长边间的距离×20=20×8=160,
而平行四边形的面积=两条短边间的距离×16,∴160=两条短边间的距离×16,
∴两条短边间的距离=10.
4.有两个内角分别为90°,60°,30°的完全一样的三角形拼成四边形,其形状不同的有( )
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
6个
【答案】C.
【解析】根据平行四边形的基本性质:
平行四边形的两组对角分别相等,可知角分别为,
(1)90°,90°,90°90°;
(2)120°,60°,120°,60°;(3)150°,30°,150°,30°;不是平行四边形的四边形为(4)60°,90°,120°,90°.共4种。
5.如图,AE∥BD,BE∥DF,AB∥CD,下面给出四个结论:
(1)AB=CD;
(2)BE=DF;(3)SABDC=SBDFE;(4)S△ABE=S△DCF.其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】D.
【解析】由已知可得,ABCD和BDFE都是平行四边形,故AB=CD,BE=DF,AC=EF;又因为ABCD和BDFE同底同高,所以面积相等;由AC=EF可得AE=CF,则根据等底等高,S△ABE=S△DCF.
【巩固】
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D、E分别是AB、BC的中点,F在CA延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为( )
A.
16
B.
20
C.
18
D.
22
【答案】A.
【解析】在Rt△ABC中,∵AC=6,AB=8,∴BC=10,∵E是BC的中点,∴AE=BE=5,
∴∠BAE=∠B,∵∠FDA=∠B,∴∠FDA=∠BAE,∴DF∥AE,
∵D、E分别是AB、BC的中点,∴DE∥AC,DE=AC=3,
∴四边形AEDF是平行四边形,∴四边形AEDF的周长=2×(3+5)=16.
2.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d,且a2+ab﹣ac﹣bc=0,b2+bc﹣bd﹣cd=0,那么四边形ABCD是( )
A.
平行四边形
B.
矩形
C.
菱形
D.
梯形
【答案】A.
【解析】由a2+ab﹣ac﹣bc=0,可知(a+b)(a﹣c)=0,则a﹣c=0,即a=c;
由b2+bc﹣bd﹣cd=0,可知(b+c)(b﹣d)=0;则b﹣d=0,即b=d.(其中a,b,c,d都是正数,a+b、b+c一定不等于0),由a=c;b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等,则四边形ABCD是平行四边形.
3.如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,AD=8,点E、F分别是边BC、AD边的中点,点M是AE与BF的交点,点N是CF与DE的交点,则四边形ENFM的周长是 .
【答案】4+4.
【解析】解:
连接EF,∵点E、F分别是边BC、AD边的中点,∴BE=AF=AB=4,又AF∥BE,
∴四边形ABEF为菱形,由菱形的性质,得AE⊥BF,且AE与BF互相平分,
∵∠ABC=60°,∴△ABE为等边三角形,ME=AE=AB=2,EF=4,
在Rt△MEF中,由勾股定理,得MF===2,
由菱形的性质,可知四边形MENF为矩形,
∴四边形ENFM的周长=2(ME+MF)=4+4.
【拔高】
1.如图,在由10个边长都为1的小正三角形的网格中,点P是网格的一个顶点,以点P为顶点作格点平行四边形(即顶点均在格点上的四边形),请你写出所有可能的平行四边形的对角线的长 .
【答案】1或或或2或3.
【解析】:
平行四边形有:
PABD,PACE,PMNE,PMQE,APMD,APNE,PQGA.
平行四四边形PABD,平行四边形PMNE对角线长是1和;
平行四边形PACE和PMQE的对角线长是:
和;
平行四边形APNE的对角线长是:
2和;
平行四边形PQGA的对角线长是3和.
2.图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).其中E为AB的中点,AJ>JB.判断三人行进路线长度的大小关系为( )
A.
甲=乙=丙
B.
甲<乙<丙
C.
乙<丙<甲
D.
丙<乙<甲
【答案】A.
【解析】根据以上分析:
所以图2可得AE=BE,AD=EF,DE=BE,
∵AE+BE=AB∴AD=EF=AC,DE=BE=BC.∴甲=乙
图3与图1中,三个三角形相似,所以
∵AJ+BJ=AB,∴AI+JK=AC,IJ+BK=BC,∴甲=丙.∴甲=乙=丙.
课程小结
常见几何综合题的思考方法:
(1)利用轴对称变换、平移变换及旋转变换集中条件或把不规则图形转化为规则图形;
(2)利用直角三角形和平面直角坐标系,通过运算与几何证明结合,达到证题目的;
(3)通过研究特殊情况或特殊图形,猜想或找到一般情况或一般图形的规律或结论;
(4)见中点的常规思路:
(轴对称)三线合一、中垂线,(旋转)倍长、斜边中线,(平移)中位线;
(5)导角等的常规思路:
互余、互补,平行线,外角,等量加(或减)等量,全等及其它。
课后作业
【基础】
1.已知四边形ABCD,有以下四个条件:
①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有( )
A.
6种
B.
5种
C.
4种
D.
3种
【答案】C.
【解析】依题意得有四种组合方式:
(1)①③,利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定;
(2)②④,利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定;
(3)①②或③④,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定.
2.用两个全等三角形按照不同的方式拼成四边形,其中平行四边形的个数有( )个.
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
【答案】A.
【解析】因为按三角形的三边分别重合一次,共得三个四边形,通过旋转后可得三个.所以可组成6个不同的四边形.其中有3个是平行四边形.
3.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为a,那么平行四边形ABCD的周长是 .
【答案】2a.
【解析】∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵OM⊥AC,∴AM=MC.
∴△CDM的周长=AD+CD=a,∴平行四边形ABCD的周长是2a.
4.已知平行四边形的面积是144cm2,相邻两边上的高分别为8cm和9cm,则这个平行四边形的周长为 cm.
【答案】68.
【解析】∵平行四边形的面积=边长×高,∴当边上的高为8cm时,边长=144÷8=18;
当边上的高为9cm时,边长=144÷9=16.平行四边形的周长为2(18+16)=68cm.
5.如图所示,在
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A.
OE=OF
B.
DE=BF
C.
∠ADE=∠CBF
D.
∠ABE=∠CDF
【答案】B.
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,又∵OE=OF,∴四边形DEBF是平行四边形.能判定是平行四边形.B、DE=BF,OD=OB,缺少夹角相等.不能利用全等判断出OE=OF,∴DE=BF,∴四边形DEBF不一定是平行四边形.C、D均能证明四边形DEBF是平行四边形.
【巩固】
1.如图,一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4四个小平行四边形,当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时,则S1S4与S2S3的大小关系为S1S4 S2S3.
【答案】S1S4=S2S3.
【解析】设直线CG到EF的距离为h1,EF到AB的距离为h2,根据平行四边形的性质知,S1=AD•h1,S4=BD•h2,S2=AD•h2,S3=BD•h1,∴S1S4=AD•BD•h1•h2,S2S3=AD•BD•h1•h2,∴S1S4=S2S3.
2.已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q,且满足m2+n2+p2+q2=2mn+2pq.则这个四边形是( )
A.
平行四边形
B.
对角线互相垂直的四边形
C.
平行四边形或对角线互相垂直的四边形
D.
对角线相等的四边形
【答案】B.
【解析】m2+n2+p2+q2=2mn+2pq,可化简为(m﹣n)2+(p﹣q)2=0,∴m=n,p=q,
∵m,n,p,q分别为四边形的四边,∴m=n=p=q,∴可确定其为平行四边形或对角线互相垂直的四边形.
【拔高】
1.如图,在直线m上摆放着三个正三角形:
△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=CE,F、G分别是BC、CE的中点,FM∥AC,GN∥DC.设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S,S3,若S1+S3=10,则S= .
【答案】4.
【解析】根据正三角形的性质,∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°,∴AB∥HF∥DC∥GN,
设AC与FH交于P,CD与HG交于Q,∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形,
∵F、G分别是BC、CE的中点,∴MF=AC=BC,PF=AB=BC
∴CP=MF,CQ=BC,QG=GC=CQ=AB,∴S1=S,S3=2S,∵S1+S3=10,∴S+2S=10,∴S=4.
2.如图,在
ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是 .
【答案】2.
【解析】∵平行四边形ABCD,∴AB=CD=3,AD=BC=4,∵EF⊥AB,∴EH⊥DC,∠BFE=90°,
∵∠ABC=60°,∴∠HCB=∠B=60°,∴∠FEB=∠CEH=180°﹣∠B﹣∠BFE=30°,
∵E为BC的中点,∴BE=CE=2,∴CH=BF=1,
由勾股定理得:
EF=EH=,
∴△DEF的面积是S△DHF﹣S△DHE=DH•FH﹣DH•EH=×(1+3)×2﹣×(1+3)×=2。
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