河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练.docx
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河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三几何图形的折叠与动点问题
类型一与特殊图形有关
(2018·河南)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为________.
【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:
①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论.
【自主解答】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:
①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、
E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB=
∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在Rt△A′CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A′E
=8,由勾股定理,得
2
2
2
,∴AB=
2
2
3;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF
AB
=BC-AC
8
-4=4
=∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC
与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′=
45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为43或4.
图①
图②
1.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其
中点D的对应点为D′,连接D′B.若使△D′BC为等边三角形,则DE=________________.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F分别为AB、AC上的点,沿直线EF将∠B折
叠,使点B恰好落在AC上的D处.当△ADE恰好为直角三角形时,BE的长为______.
3.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=2+1,点M,N分别是边BC,AB上的
动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上.若△MB′C为直角三角形,则BM
的长为__________.
4.(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M、N分别在边AD、AB上,且MN⊥AC,垂足为P,把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形,则AP的长为____________.
5.(2017·三门峡一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C′,连接C′D交AB于点E,连接BC′.当△BC′D是直角三角形时,
DE的长为______.
6.(2018·盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB上.将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段
AC=23+4,点M、N分别在线段AC、BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕
MN的长为__________.
7.(2018·乌鲁木齐)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=23,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F,若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.
8.(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF折叠,使点A落在点A′处,当△A′CD为等腰三角形时,AP的长
为______.
9.(2018·濮阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC上两个动点.若
将∠C沿DE折叠,点C的对应点C′恰好落在AB上,且△ADC′恰好为直角三角形,则此时CD的长为
__________.
类型二点的位置不确定
(2016·河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点
沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交等分点时,BE的长为________.
E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABEAD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三
【分析】
根据勾股定理,可得EB′,根据相似三角形的性质,可得
EN的长,根据勾股定理,可得答案.
【自主解答】由翻折的性质,得AB=AB′,BE=B′E.①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得B′E=
x2+1.
由△B′EN~△AB′M,
ENB′Ex
x2+1
2
4
4
35
=
,即=
,x=,BE=B′E=
+1=
;
B′MAB′
2
3
5
5
5
2
2
EN
B′E
x
x2+4
②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得B′E=x
+2
,△B′EN∽△AB′M,
=
AB′
,即=
,
B′M
1
3
2
1
1
3
2
3
2
3
5
解得x=2,BE=B′E=
2+4=
2
,故答案为:
2
或5.
1.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使D点落在BC边上的点E处,折痕为GH.若点E是BC
的三等分点,则线段CH的长是_______.
2.(2018·林州一模)在矩形ABCD中,AB=4,BC=9,点E是AD边上一动点,将边AB沿BE折叠,点A
的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,则AE的长为__________.
3.(2015·河南)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时,DE的长为______.
4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为__________.
5.如图,在矩形
ABCD中,BC=6,CD=8,点
P是
AB上(不含端点
A,B)任意一点,把△
PBC
沿
PC折叠,
当点
B的对应点
B′落在矩形
ABCD对角线上时,
BP=________.
6.(2018·河南模拟)如图,△ABC中,AB=5,AC=5,tanA=2,D是BC中点,点P是AC上一个动点,将△BPD沿PD折叠,折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半,则AP的长为
____________.
7.在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D
的对应点分别为C′,D′,折痕与边
AD交于点F,当点
B,C′,D′恰好在同一直线上时,
AF
的长为
__________________
类型三根据图形折叠探究最值问题
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是________.
【分析】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE.当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,根
据折叠的性质可知A′E=1,在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度,用CE-A′E即可求出结论.
例3题解图
【自主解答】
以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接
CE,当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小
1
1
值,如解图所示.根据折叠可知:
A′E=AE=2AB=1.在Rt△BCE中,BE=2AB=1,BC=3,∠B=90°,
2
2
10-1.故答案为10-1.
∴CE=BE+BC=10,∴A′C的最小值=CE-A′E=
1.(2019·原创)如图,在边长为10的等边三角形△ABC中,D是AB边上的动点,E是AC边的中点,将△ADE
沿DE翻折得到△A′DE,连接BA′,则BA′的最小值是__________.
2.在矩形ABCD中,AD=12,E是AB边上的点,AE=5,点P在AD边上,将△AEP沿EP折叠,使得点A
落在点A′的位置,如图,当A′与点D的距离最短时,△A′PD的面积为________.
3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为AB边的中点,F是BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D.则当B′D取得最小值时,tan∠BEF的值为__________.
4.(2017·河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是
边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF的长取最小值时,BF的长为_________.
参考答案
类型一
针对训练
1.3+1或23-2【解析】
(1)当点E在边AD上时,过点E作EF⊥CD于F,如解图①,设CF=x,
第1题解图①
∵∠ABC=30°,∴∠BCD=150°.∵△BCD′是等边三角形,∴∠DCD′=90°.由折叠可知,∠ECD=
∠D′CE=45°,∵EF=CF=x,在直角三角形DEF中,∠D=30°,∴DE=2x,∴DF=3x,∴CD=CF+DF
=x+3x=2,解得x=3x-1,∴DE=2x=23-2.
(2)当E在DA的延长线上时,如解图②.
第1题解图②
过点B作垂直平分
BF⊥DA于点F,根据折叠可知,∠ED′C=∠D=30°,又∵三角形BC,∵AD∥BC.∴D′E⊥AD,∵∠ABC=30°∴∠BAF=30°,又∵AB=
BD′C是等边三角形,∴D′E
2,∴AF=3.令D′E与
1
BC的交点为
G,则易知
EF=BG=2BC=1,∴AE=
3-1,∴DE=
3+1,综上所述,
DE的长度为
3+1或
23-2.
15
15
2.8或7
【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3.沿直线EF将∠B折叠,使点
B恰好落在BC上的D处,当△ADE恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:
BE=DE,设BE=x,则DE=x,
AE=5-x,①当∠ADE=90°时,则
DE∥BC,∴
DE
AE
x
5-x
15
=
,∴
=
,解得
x=
;②当∠AED=90°时,
CB
AB
3
5
8
则△AED∽△ACB,∴
DE
AE
x
5-x
,解得x=
15
,故所求BE的长度为:
15
或
15
.
=
,∴
=
4
7
8
7
BC
AC
3
1
1
1
1
3.2
2+2或1【解析】①如解图①,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,∴BM=2BC=22
1
+2;②如解图②,当∠MB′C=90°,∵∠A=90°,
AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是等腰直角三角
形,∴CM=
2MB′.∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点为B′,∴BM=B′M,∴CM=
2BM.∵BC
=
2+1,∴CM+BM=
2BM+BM=
2+1,∴BM=1,综上所述,若△MB′C为直角三角形,则
BM的长为1
2
1
2+2或1.
图①
图②
第3题解图
4
4.33或23-2【解析】①如解图①,当A′D=A′C时,∠A′DC=∠A′CD=30°,∴∠AA′D=60°.
AD
=
4
8
1
又∵∠CAD=30°,∴∠ADA′=90°,在Rt△ADA′中,AA′=
=
3
3,由折叠可得AP=AA′
cos30
°
3
2
2
4
=3;
3
图①
图②
第4题解图
②如解图②,当
CD=CA′=4时,连接BD交AC于O,则Rt△COD中,CO=CD×cos30°=4×
3
3,
=2
2
1
4
∴AC=4
3,∴AA′=AC-A′C=4
3-4,由折叠可得AP=2AA′=23-2;故答案为3
3或23-2.
3
3
【解析】如解图①所示,点
2
2
由翻折的性
5.
或
E与点C′重合时.在Rt△ABC中,BC=AB
-AC=4.
2
4
2
2
2
2
质可知;AE=AC=3、DC=DE,则EB=2.设DC=ED=x,则BD=4-x.在Rt△DBE中,DE+BE=DB,即x
2
2
3
3
+2=(4
-x)
.解得x=2.∴DE=2.
图①
图②
第5题解图
如解图②所示:
∠EDB=90°时.由翻折的性质可知:
AC=AC′,∠C=∠AC′D=90°.∵∠C=∠AC′D=
∠CDC′=90°,∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形
ACDC′为正方形.∴CD=AC=3.∴DB
DE
DB1
ED1
3
=BC-DC=4-3=1.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴
=
=,即
=
.解得DE=.点D在CB上运动,
AC
CB4
34
4
3
3
∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能为直角.故答案为:
2或4.
2
3+4
或6【解析】分两种情况:
①如解图①,当∠CDM=90°,△CDM是直角三角形,∵在Rt△ABC
6.
3
1
中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2
3+4,∴∠C=30°,AB=2AC=3+2,由折叠可得,∠MDN=∠A=
11
1
3+2
234
60°,∴∠BDN=30°,∴BN=2DN=2AN,∴BN=3AB=
3
,∴AN=2BN=
3+3,∵∠DNB=60°,∴∠ANM
23+4
=∠DNM=60°,∴∠ANM=60°,∴AN=MN=
.②如解图②,当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角
3
1
1
形,由题可得∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,∴∠BDN=60°,∠BND=30°,∴BD=
DN=AN,BN=3
2
2
1
BD,又∵AB=3+2,∴AN=2,BN=
3,过N作NH⊥AM于H,则∠ANH=30°,∴AH=2AN=1,HN=3,
23+4
由折叠可得∠AMN=∠DMN=45°,∴△MNH是等腰直角三角形,∴HM=HN=3,∴MN=6,故答案为
或6.
图①
3
图②
第6题解图
14
【解析】∴∠C=90°,BC=2
3,AC=2,∴tanB=
AC
2
3
7.3或
=
=
,∴∠B=30°,∴AB=2AC
5
BC2
3
3
=4.∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′D′E的位置,B′D交AB于点F,∴DB=DC
=3,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设AE=x,则BE=4-x,EB′=4-x,当∠AFB′=90°时,在
BF335
Rt△BDF中,cosB=BD,∴BF=3cos30°=2,∴EF=2-(4-x)=x-2.在Rt△B′EF中,∵∠EB′F
=30°,∴EB′=2EF,
5
则4-x=2(x-2),解得x=3,此时AE为3;
第7题解图
当∠FB′A=90°时,作
EH⊥AB′于H,连接AD,如解图,∵DC=DB′,AD=AD,∴Rt△ADB′≌Rt△ADC,
∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,
∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中,
1
1
3B′H=
3
2
2
2
3
2
1
B′H=B′E=(4-x),EH=
(4-x),在Rt△AEH中,∵EH+AH
=AE,∴
(4
-x)+[(4
2
2
2
4
2
2
2
14
14
14
-x)+2]
=x
,解得x=5,此时AE为5.综上所述,AE的长为3或5.
3
39
8.2或16
【解析】∵四边形
ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC.∵EF⊥AA′,∴∠EPA
=∠FPA′=90°,∴∠EAP+∠AEP=90°,∠FAP+∠AFP=90°,∴∠AEP=∠AFP,∴AE=AF.∵△A′EF
是由△AEF翻折,∴AE=EA′,AF=FA′,∴AE=EA′=A′F=FA,∴四边形AEA′F是菱形,∴AP=PA′.①
13
当CD=CA′时,∵AA′=AC-CA′=3,∴AP=2AA′=2.②当A′C=A′D时,∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC,
A′CDC
25
,∴AA′=8-
25
39
1
39
3
39
∴△A′CD∽△DAC,∴
=,∴A′C=
8
=
,∴AP=
AA′=
,故答
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- 河南省 中考 数学 专题 复习 几何图形 折叠 问题 训练