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第六章习题物质中的电场
第六章习题物质中的电场
第七章物质中的电场一、判断题 11、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后,介质电容器的电容为真空电容器的?
r倍。
2、对有极分子组成的介质,它的介电常数将随温度而改变。
3、在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。
4、均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。
5、在无限大电介质中一定有自电荷存在。
6、如果一平行板电容器始终连在电源两端,则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。
7、在均匀电介质中,如果没有体分布的自电荷,就一定没有体分布的极化电荷。
?
8、在均匀电介质中,只有P为恒矢量时,才没有体分布的极化电荷。
?
?
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Px?
Py?
Pz?
Px?
Py?
Pz?
p?
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0?
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x?
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z?
y?
z?
P=恒矢量 ?
x 9、电介质可以带上自电荷,但导体不能带上极化电荷。
?
?
?
?
?
10、电位移矢量D仅决定于自电荷。
11、电位移线仅从正自电荷发出,终止于负自电荷。
?
?
?
12、在无自电荷的两种介质交界面上,Ef线连续,EP线不连续。
(其中,Ef为自电 ?
荷产生的电场,Ep为极化电荷产生的电场) 13、在两种介质的交界面上,当界面上无面分布的自电荷时,电位移矢量的法向分量是连续的。
14、在两种介质的交界面上,电场强度的法向分量是连续的。
15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下,把自电荷和极化电荷从无穷远搬到场中原有位置的过程中外力作的功。
16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时,介质中的场强为自电荷单独产生的场强的 ?
r分之一。
二、选择题 1.一平行板真空电容器,充电到一定电压后与电源切断,把相对介质常数为?
r的均匀电 介质充满电容器。
则下列说法中不正确的是:
1介质中的场强为真空中场强的 ?
r倍。
1?
r倍。
介质中的场强为自电荷单独产生的场强的 介质中的场强为原来场强的?
r倍。
介质中的场强等于真空中的场强。
2.如果电容器两极间的电势差保持不变,这个电容器在电介质存在时所储存的自电荷与 没有电介质时所储存的电荷相比 (A)增多减少相同不能比较3.在图中,A是电量q0的点电荷,B是一小块均匀的电介质,s1、s2和s3都是封闭曲面, 下列说法中不正确的是:
?
s31?
?
?
?
E?
ds?
?
D?
dss1 S1AS2S3Baq0bc?
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D?
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D?
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E?
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E?
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E?
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f?
f s1s2s3 Ea?
Ef,Eb?
Ef,Ec?
Ef 4.在均匀极化的电介质中,挖出一半径为r,高度为?
h的圆柱形空腔,圆柱的轴平行于极?
?
?
?
?
E和D的关系为:
化强度P底面与P垂直,当h?
r时,则空腔中心E0和D0与介质中?
?
E0?
?
rEh?
?
DE0?
2r?
0?
?
PD?
?
E000E?
?
D0?
D ?
5.在均匀极化的,挖出一半径为r,高度为h的圆柱形空腔,圆柱的轴平行于极化强度?
?
P底面与P垂直,当h?
r时,则空腔中心E0和D0与介质中E和D的关系为:
?
?
hEE0?
?
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DE0?
0P?
0 ?
?
2rD0?
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0E0 ?
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D0?
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rDE?
6.一个介质球其内半径为R,外半径为R+a,在球心有一电量为q0的点电荷,对于R 电场强度为:
q0q0q0q022224?
?
r4?
?
?
r4?
?
r00rr (B) (C)4?
r(D) 7.一内半径为a,外半径为b的驻体半球壳,如图所示,被沿+Z轴方向均匀极化,设极 ?
?
球心O处的场强是:
化强度为P?
Pk?
P?
E0?
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K6?
0 ?
P?
E0?
Kb6?
a0 z?
P?
OE?
?
K3?
0?
E0?
0?
?
8.内外半径为R1和R2的驻极体球壳被均匀极化,极化强度为P;P的方向平行于球壳直 径,壳内空腔中任一点的电场强度是:
?
?
PE?
?
3?
E?
00 (B) ?
?
?
?
P2PE?
?
E?
3?
0 (D)3?
0(C) 9.半径为R相对介电常数为?
r的均匀电介质球的中心放置一点电荷q,则球内电势?
的 分布规律是:
?
?
q4?
?
0r q4?
?
0?
rr(B) q11q?
?
?
4?
?
0?
rrR4?
?
0R(C) ?
?
q114?
?
0?
rrR(D) 10.球形电容器半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳所构成,球壳的内半径为R2, 其间一半充满相对介电常数为?
r的均匀电介质,另一半为空气,如图所示,该电容器 ?
?
的电容为:
4?
?
0?
rR1R2R2?
R1 2?
?
0R1R2C1?
R2?
R1 2?
?
0?
rR1R2C2?
R2?
R1 C?
R2R1?
r2?
?
R1R2R2?
R1 11.把一相对介电常数为?
r的均匀电介质球壳套在一半径为a的金属球外,金属球带有电 C?
量q,设介质球壳的内半径为a,外半径为b,则系统的静电能为:
q2W?
8?
?
0a2 q21?
?
1W?
8?
?
0?
rab(B)q211W?
8?
?
0?
rab q21?
?
r11W?
8?
?
0?
rab(D)三、填空题 1、如图,有一均匀极化的介质球,半径为R,极 化强度为P,则极化电荷在球心处产生的场强是在球外Z轴上任一点产生的场强是 2、带电棒能吸引轻小物体的原因是。
3、附图给出了A、B两种介质的分界面,设两种介质A、B中的极化强度都是与界面垂直,且PA?
PB,当 R?
PzPAAB?
nA指向B时,界面上极化电荷为号。
取e?
nB指向A时,界面上极化电荷为号。
当ePB 4、如果电介质中各的相同,这种介质为均匀电介质。
如果电介质的总体或某区域内各点的相同,这个总体或某区域内是均匀极化的。
5、C?
?
rC0成立的条件是。
6、在两种不同的电介质交界面上,如果交界面上无自电荷,则E1n?
E2n=( )。
7、介质中电场能量密度表示为 ?
E?
1?
0?
rE22只适用于介质。
1?
?
?
E?
D?
E2适用于( )介质。
8、若先把均匀介质充满平行板电容器,然后使电容器充电至电压U。
在这个过程中,电场能量的增量是。
9、平行板电容器的极板面积为s,极板间距为d中间有两层厚度各为d1和d2的均匀介质,它们的相对介电常数分别为?
r1和?
r2。
(1)当金属板上自电荷的面密度为?
?
f时,两层介质分界面上极化电荷的面密度?
p=( )。
两极板间的电势差?
?
?
( )。
电容C=。
10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电介质,相对介电常数分别为?
r1,?
r2和?
r3。
极板面积为A,两极板的间距为2d,略去边缘效 A应,此电容器的电容是。
12\\半径为a的长直导线,外面套有共轴导体圆筒,筒的内半径为b,导线与圆筒间充满介电常数为?
r的均匀介质,沿轴线单位长度上导线带电为λ,圆筒带电为-λ,略去边缘效应,则沿轴线单位长度的电场能量是。
?
r1?
r2d?
13、一圆柱形的电介质截面积为S,长为L,被沿着轴线方向极化,已知极化强度P沿X 方向,且P=KX 坐标原点取在圆柱的一个端面上,如图所示 yoz?
Px则极化电荷的体密度在X=L的端面上极化电荷面密度为 极化电荷的总电量为。
14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为。
?
q2q d dd d 四、问答题 ?
q2q1、电介质的极化和导体的静电感应,两者的微观过程有何不同?
2、为什么要引入电位移矢量D?
E与D哪个更基本些?
3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中,极板平面与液面平行,当电容器与电源连接时会产生什么现象?
为什么?
五、证明题 1、一个半径为R的电介质球,球内均匀地分布着自电荷,体密度为?
f,设介质是线性、各向同性和均匀的,相对介电常数为?
r,试证明球心和无穷远处的电势差是:
22?
r?
1?
fR?
3?
0 2?
r 六、计算题 r?
r?
frR1、将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为E0的均匀电场中;电场E0两块带等量异号电荷的无限大的平行板所产生,假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布,介质的相对介电常数为εr, 求介质小球的总电偶极矩 若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球,求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。
‘?
a ?
?
E0?
r ?
?
2、一圆柱形电介质长为L,其横截面的半径为R,被沿着轴线方向极化,极化强度P?
kxi,设坐标原点O在介质圆柱内左端面的中心,此外无其它电场源,试求:
在介质圆柱中心一点的电场强度E和电位移D;在坐标原点O处的电场强度E和电位移D。
3、一块柱极体圆片,半径为R,厚度为t,在平行于轴线的方向上永久极化,且极化是均匀的,极化强为P,试计算在轴线上的场强E和电位移D。
4、半导体器件的p-n结中,n型内有不受晶格束缚的自电子、p型区内则有相当于正电荷
的空穴。
于两区交界处自电子和空穴密度不同,电子向p区扩散,空穴向n区扩散,在结的两边留下杂质离子,因而产生电场,阻止电荷继续扩散,当扩散作用与电场的作用相平衡时,电荷及电场的分布达到稳定状态,而在结内形成了一个偶电区,称为阻挡层。
现设半导体材料的相对介电常数为?
,结外电荷体密度?
?
x?
?
0,结内电荷的体分布为?
?
x?
?
?
ekx -a?
x?
a,线性缓慢变结式中e为电子电量,k为常数,试求p-n结内电场强度和电势的分布,并画出?
?
x?
、E?
x?
和?
?
x?
随x变化的曲线。
++--++--++---BPAO?
a++--a ++-+-- +++-- dx 5、半导体器件的p-n结中,n型内有不受晶格束缚的自电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。
于两区交界处自电子和空穴密度不同,电子向p区扩散,空穴向n区扩散,在结的两边留下杂质离子,因而产生电场,阻止电荷继续扩散,当扩散作用与电场的作用相平衡时,电荷及电场的分布达到稳定状态,而在结内形成了一个偶电区,称为阻挡层。
现设半导体材料的相对介电常数为?
,如果电荷的体分布为 n区P区?
?
x?
x?
?
NDe p区:
?
?
x?
?
?
NAe n区:
?
式中ND,NA是常数,e为电子数且NAxp?
NDxN,其中xp和xn各为p区和n区的厚度,试求结内电场强度和电势的分布并画出?
?
x?
、E?
x?
和?
?
x?
随x变化的曲线。
OS x ddx x 6、平行板电容器的极板面积为S,间距为d,其间充满线性的、各向同性的电介质。
介质的相对介电常数εr在一极板处为εrl,线性地增加到另一极板处为εr2。
略去边缘效应。
求这电容器的电容C; 当两极板上的电荷分别为Q和-Q时,求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。
7、一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围,两球间充满各向同性的电介质,在离球心为r处介质的相对介电常数?
r?
?
A?
r?
r。
如果内球带电荷Q,外球壳接地,试求:
在电介质中离球心为r处的电势; 介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度;介质中极化电荷的总量。
bQa?
r8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿,可以在金属球表面上均匀地涂上一 6层石蜡。
设球的半径为1cm,空气的击穿场强为?
10V/m,石蜡的击穿场强为 ?
107V/m,其相对介电常数为,问为使球的电势升到最高,石蜡的厚度应为多少?
其中球的电势之值是多少?
r1r29、如图所示的圆柱形电容器,内圆柱的半径为R1,与它同轴的外圆筒的内半径为R2,长为L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质,分界面的半径为R,它们的相对介电常数分别为?
r1和?
r2,设两导体圆筒之间的电势差?
1?
?
2?
U略去边缘效应,求:
介质内的电场 R强度。
R1 L R2 10、为了提高输电电缆的工作电压,在电缆中常常放几种电介质,以减小内、外导体间电场强度变化,这叫分段绝缘。
图中所示是这种电缆的剖面图。
若相对介电常数?
r1?
?
r2?
?
r3的三种电介质作为绝缘物时,设内部导体每单位长度上带电量为?
。
试求:
各层内的电场强度;各层电场强度极大值;在什么条件下,才能使介质内的电场强度保持为常数值?
?
r3 ?
r2?
r1a b c d 11、平行板电容器的两极板相距为a,极板面积为S,两极板之间填满电介质,绝对介电常数按下列规律变化?
?
?
0?
x?
a?
/a,x轴的方向与平板垂直,x轴的原点在一块极板内表面上,若已知两极板间电势差为U,略去边缘效应,求电容及束缚电荷分布。
So Ua?
?
x?
a?
?
?
0a x12、一空心的电介质球,其内半径为R1,外半径为R2,所带的总电荷量为Q,这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。
求空间各处的电场强度。
介质的相对介电常数为?
r. Q R1 ?
rR2] 13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置,AB、BC之间的距离均为之间充满相对介电常数为?
r的介质,AB之间为真空,今使B板带+Q,试求各导体板上的电荷分布。
忽略边缘效应。
14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中,电场强度为E的大小为220V/cm,其方向是指向瓷板且与它的表面法线成45角。
设瓷板的相对介电常数?
r?
,求:
瓷板中的场强;瓷板表面上极化电荷面密度。
?
?
nE0?
?
P?
P?
r ?
15、在相对介电常数为?
r的煤油中,离煤油表面深度h处,有一带正电的点电荷q,如将煤油看作为无限大均匀介质,:
求在煤油表面上,该电荷的正上方A点处的极化电 B;荷面密度?
?
A;在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度?
?
煤 油表面极化电荷的总量Q?
。
rh ?
q 16、两个相同的空气电容器,电容都是900uF,分别充电到900V电压后切断电源,若把一个电容器浸入煤油中,,再将两电容并联。
AB求一电容器浸入煤油过程中能量的损失; 求两电容器并联后的电压; 求并联过程中能量的损失。
问上述损失的能量到那里去了?
17、一平行板电容器的极板面积为S,间距为d,两极间充满电导率为?
、相对介电常数为?
r的均匀导电介质。
设在t=0时,给两极板各充上电量+∞过程中,从介质内释放的总焦耳热。
和R3?
Q和-Q,然后撤去电 源。
试求:
t=0时刻介质内的电场强度;t=t时刻介质内的传导电流;t=0→t= S?
Qd?
r?
?
Q18、一个圆柱形电容器的内圆筒的半径为R1,外圆筒的内半径为R2,筒长L>>R2,在R1 R1R2之间的空间填满长为L、相对介电常数为?
r的圆筒形均匀电介质,其余的容 积是空气间隙,如图18-1所示。
假设电容器两极与一电源相连而维持其电势差为U,试求将介质圆筒抽出该电容器所需作的机械功?
19、一平行板电容器两块平行的矩形导体平板构成,平板宽为b,面积为S,两板间距为d,设两极板间平行地放一块厚度为t、大小与极板相同、相对介电常数为?
r的电介质平板,两极板所带的电量分别为+Q和-Q。
现将介质平板沿其长度方向从电容器内往外拉,以至它只有长度为x的一段还留在两板之间。
问这时介质平板受到的电场力的方向如何?
试证明,这时介质平板受到的电力为 RR232RR3R1R1Q2dbt’?
d?
t’?
2?
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S?
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xbt’?
其中 2t’?
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b20、一半径为R的电介质球,球内均匀地分布着自电荷,体密度为?
f,设介质是线性、 各向同性和均匀的,相对介电常数为?
r,求电介质球内的静电能;这一带电系统的总静电能。
?
f Rr ?
r21、平行板空气电容器两极板A、B相距为l,竖直地插在相对介电常数为?
r、密度为?
的均匀液态电介质中,两极板间保持着一定的电势差U,则液态电介质在两板间会上升一定高度h,若不计表面张力作用,试求作用在液体电介质表面单位面积上的平均牵引力T和液面上升的高度h。
hU 22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时,电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。
例如,当一个?
A的电子束轰击面积为25cm2、厚为12mm的有机玻璃板达1s,几乎所有的电子都渗入表面之下约5~7mm的层内。
设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触,忽略边缘效应,并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布,如图22-1所示。
求带电区的极化电荷的密度;求有机玻璃表面的极化电荷密度; 画出D、E、?
作为电介质内部的位置函数的图形;求带电层中心的电势; 求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强; ?
r?
r求这有机玻璃板里贮存的静电能。
23、在一无限大均匀介质内,挖出一无限长圆柱形真空区,圆柱形的横截面半径为R。
设介质内场强E均匀,且与圆柱形轴线垂直,求圆柱形轴线上的一点的场强。
y 24、一平行板电容器两极板间距为d,其间放置一块厚度为t的介质平板,板面与极板成倾角?
,介质的相对介电常数为?
r,若两极分别带上面密度为?
?
和?
?
的电荷,试求两极板 d?
?
?
?
dE’xz
?
r3?
r2?
r1 解:
根据对称性和高斯定理,求得电位移矢量为 abcd?
?
?
D?
dS?
D?
2?
rL?
?
LS?
2?
r?
?
根据D?
?
0?
rE知,介质中离轴心分别为r处的电场强度为 D?
?
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a?
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b?
2?
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0?
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b?
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c?
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r2r?
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c?
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E3?
2?
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0?
r3r 当r分别等于a、、b、时,各层电场强度为极大值,其值为 ?
E1max?
2?
?
0?
r1a ?
E2max?
2?
?
0?
r2b?
E3max?
2?
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0?
r3c 当E1?
E2?
E3时,有 E1?
111?
?
?
r1r1?
r2r2?
r3r3 所以?
r1r1?
?
r2r2?
?
r3r3?
?
rr?
常数时,E?
常数 11、解:
在距原点为x处取一厚度为dx的平行板电容器,其元电容为 So?
0?
x?
a?
SdC?
adxU其倒数为 ?
?
1adx?
dC?
0?
x?
a?
S ?
0?
x?
a?
aa积分得 1aa2aa?
ln?
x?
a?
|0?
lnC?
0S?
0Sa ?
所以 xaln2?
0S C?
?
0Saln2 极板上的自电荷为 qf?
CU?
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0Ualn2 如图虚线所示作高斯面,高斯定理得板内的电位移矢量为 D?
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f?
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qfS?
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0Ualn2?
板内的场强为 ?
0U?
aln2?
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0?
x?
a?
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0U?
U?
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a?
ln2 板内的极化强度为 P?
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x?
a?
ln2?
0U?
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0U?
1在x?
0介质表面上,束缚电荷面密度为 1?
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0Ux?
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ax?
a?
ln2a?
x?
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P0?
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0 在x?
a介质表面上束缚电荷面密度为 ?
U?
Pa?
P?
0介质中束缚电荷体密度为 2ln2a ?
P?
?
12、解:
对称性和高斯定理得 当r>R1时E=0 当R1?
R?
R2时 ?
Ua?
x?
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0?
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所以 34?
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R2?
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0?
r4?
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R2时 D?
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r2?
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D?
所以 Q4?
r2 E?
Q4?
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0r2 13、解:
A、B板和B、C板各组成电容器,其电容分别为 C1?
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0Sd C2?
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0?
rSd 取垂直B板的圆柱形高斯面,如图所示,根据高斯定理 ?
S?
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D?
dS?
Q得 D的法线连续性D1=D2=D得 D1S?
D2S?
Q Q2S ?
D?
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再根据D?
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0?
rE得 QQE1?
E2?
2?
0S2?
0?
rS U1?
E1d?
此可得AB之间和BC之间的电势差为 A、B极板所带电量为 QdQdU2?
E2d?
2?
0S 2?
0?
rS Q1?
U1C1?
B、C极板所带电量为 ?
0SQdQ?
d2?
0S2 Q2?
U2C2?
?
0?
rSdQd2?
0?
rS?
电荷守恒定律知 A、C板的内侧带-Q/2电荷,外侧带Q/2电荷。
B板两侧各带Q/2电荷。
14、解:
均匀极介板内无极化电荷,设表面上极化电荷的面密度为?
?
P,如图13-1所示。
在板内,极化电荷产生的电场强度为 Q2 EP?
?
?
P?
n?
0?
?
① ?
为表面外法线方向上的单位矢量 式中n根据场强叠加原理,板内的电场强度为 以上三者关系如图13-2所示,图可知 2E?
EP?
E02?
2EPE0cos(1800?
450)?
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② ?
n?
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E0?
P?
PE?
EP?
E0 极化电荷电密度为 ?
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0(?
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图13-1?
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P?
n?
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0?
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0(?
r?
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整理上式得 ?
r450?
P?
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将已知数据代入③式得 ?
0(?
r?
1)E0co?
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③ ?
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12(6?
1)E?
P?
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200?
200?
102V?
cos450m6 图13-2 ?
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10?
7Cm2 15、解:
在点电荷q的周围将出现负的极化电荷,煤油表面出现正的极化电荷。
在煤油表面A点,极化电荷面密度最大,随着离A的距离增加,极化电荷面密度迅速减少,A点附近的液面两边的场强法向分量,可用叠加原理求得 ?
10?
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10?
7222E?
()?
(200?
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2?
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200?
2?
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10?
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106?
200?
106?
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106?
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104Vm 在空气中 E空n?
E油n在煤油中 ?
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Aq?
4?
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rh22?
0 ?
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Aq?
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0 D空n?
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0E空n?
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0?
rE油n,得 ABh?
qr边界条件 q4?
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0?
rh整理上式得 2?
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qAA?
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r22?
04?
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0?
rh2?
0 ?
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A?
2)同理,B点附近的液面两边场强法向分量为 ?
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1q?
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rh2E空nE油n在空气中在煤油中 ?
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B?
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rr2r2?
0 ?
qh?
B?
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rr2r2?
0 q边界条件D空n?
D油n,得 整理上式得 ?
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Bqh?
B?
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r4?
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0?
rr2r2?
04?
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0?
rr2r2?
0 q?
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B3)以A点为圆心,在液面上距A为x处选一小圆环,设小圆环边缘离q的间距为r。
显 ?
r?
1qh?
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r?
12?
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rr3 2122,小圆环面积ds?
2?
xdx,小圆环上极化电荷为然r?
dQ?
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r?
1qh?
2?
xdx3?
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12?
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rr qhxdx?
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12 2322?
所以 s?
r?
1?
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r?
1Q?
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ds?
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0?
16、 解:
电容器极板上的电量为 ?
6?
2Q?
CU?
900?
10?
900?
81?
10C0 ?
r?
1q?
rr 电容器在空气中的储蓄的能量为 1Q21812?
10?
4W0?
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?
62C22?
900?
100 能量损失为 ?
W?
W?
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W0?
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并联后总电容为并联后总电量为 C?
C0?
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rC0?
C0 所以并联后电压为 Q总?
2Q 2Q2?
81?
10?
2U?
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?
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600V?
6CC?
900?
10r0 Q总并联前的能量:
并联后的能量:
1Q21Q2W前?
?
?
?
?
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rC0 11CU
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