数学建模试验.docx
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数学建模试验
西南科技大学网络教育
《数学建模实验》实习实训指导书
一、实习实训基本信息
【实习实训名称】《数学建模实验》实习实训指导书
【课程归属】理学院
【适用专业】数学及应用数学
二、实习实训基本知识
[1]MATLAB软件入门;
[2]方程及方程组的求解;
[3]常微分方程的求解与定性分析;
[4]插值方法;
[5]数据拟合;
[6]回归分析;
[7]线性规划;
[8]非线性规划;
[9]计算机模拟;
三、实验实训基本操作方法
在装有WindowsXP系统的电脑上,运行Matlab程序,按照每个实训课题的操作步骤,逐一完成每个实训课题。
四、实习实训课题
课题1:
MATLAB软件入门
1.实训目的及意义
[1]熟悉MATLAB软件的用户环境;
[2]了解MATLAB软件的一般目的命令;
[3]掌握MATLAB数组操作与运算函数;
[4]掌握MATLAB软件的基本绘图命令;
[5]掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构。
通过该实验的学习,使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题,能借助MATLAB软件的绘图功能,对函数的特性进行探讨,广泛联想,大胆猜想,发现进而证实其中的规律。
2.实训内容
[1].MATLAB软件的数组操作及运算练习;
[2].直接使用MATLAB软件进行作图练习;
[3].用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件。
3.实训步骤
[1].在D盘建立一个自己的文件夹;
[2].开启软件平台——MATLAB,将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中。
[3].利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length,rand,size和diag的功能和用法。
[4].开启MATLAB编辑窗口,键入你编写的M文件(命令文件或函数文件);
[5].保存文件(注意将文件存入你自己的文件夹)并运行;
[6].若出现错误,修改、运行直到输出正确结果;
[7].写出实验报告,并浅谈学习心得体会。
4.实训要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下具体实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→算法与编程→计算结果或图形→心得体会)
(1)设有分块矩阵
,其中
分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵,试通过数值计算验证
。
(2)用两种方法在同一个坐标下作出
这四条曲线的图形,并要求用两种方法在图上加各种标注。
(3)作出下列曲面的3维图形,
1)
;
2)环面:
。
课题2:
方程及方程组的求解
1.实训目的及意义
[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法;
[2]掌握迭代算法;
[3]熟悉MATLAB软件编程环境;掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句);
[4]了解迭代过程的图形表示,分形与混沌学科等,学会参数的灵敏度分析;
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程;
通过该实验的学习,复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法(简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等),观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌,学习参数的灵敏度分析,初步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念,掌握数学的思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
2.实训内容
[1].方程求解和方程组的各种数值解法练习
[2].直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习
[3].针对实际问题,建立数学模型,并求解。
3.实训步骤
[1].开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口;
[2].根据各种数值解法步骤编写M文件
[3].保存文件并运行;
[4].观察运行结果(数值或图形);
[5].根据观察到的结果写出实验报告,并浅谈学习心得体会。
4.实训要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下具体实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会)
(1)将方程
改写成各种等价的形式进行迭代,观察迭代是否收敛,并给出解释。
(2)求解下列方程组
用迭代法和直接使用MATLAB命令:
solve()和fsolve()对方程组求解。
课题3:
常微分方程的求解与定性分析
1.实训目的及意义
[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法;
[2]掌握解析、数值解法,并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析;
[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令;
[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程;
通过该实验的学习,使学生掌握微分方程(组)求解方法(解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等),对常微分方程的数值解法有一个初步了解,同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令,学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念,掌握数学的分析思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
2.实训内容
[1]微分方程及方程组的解析求解法;
[2]微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法;
[3]直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解);
[4]利用图形对解的特征作定性分析;
[5]建立微分方程方面的数学模型,并了解建立数学模型的全过程。
3.实训步骤
[1].开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口;
[2].根据微分方程求解步骤编写M文件
[3].保存文件并运行;
[4].观察运行结果(数值或图形);
[5].根据观察到的结果和体会写出实验报告。
4.实训要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论)
(1)求微分方程的解析解,并画出它们的图形,
y’=y+2x,y(0)=1,0 y”+ycos(x)=0,y(0)=1,y’(0)=0; (2)用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y(0)=1(0≤x≤1,h=0.1)的数值解,要求编写程序,并比较两种方法的计算结果,说明了什么问题? 课题4: 插值方法 1.实训目的及意义 [1]了解插值的基本原理 [2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想; [3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想; [4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法; [5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程; 通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题,提高探索和解决问题的能力。 通过撰写实验报告,促使自己提炼思想,按逻辑顺序进行整理,并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。 提高写作、文字处理、排版等方面的能力。 2.实训内容 [1].编写拉格朗日插值方法的函数M文件; [2].用三种插值方法对已知函数进行插值计算, 通过数值和图形输出,比较它们的效果; [ 3].针对实际问题,试建立数学模型,并求解。 3.实训步骤 [1].开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口; [2].根据各种数值解法步骤编写M文件 [3].保存文件并运行; [4].观察运行结果(数值或图形); [5].写出实验报告,并浅谈学习心得体会。 4.实训要求与任务 根据实验内容和步骤,完成以下具体实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会) 1)一维插值利用以下一些具体函数,考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。 (1) ,x[-5,5]; (2)sinx,x[0,2];(3)cos10x,x[0,2]. 注意: 适当选取节点及插值点的个数;比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异,或采用两个函数之间的某种距离。 2)高维插值对于二维插值的几种方法: 最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等,利用如下函数进行插值计算,观察其插值效果变化,得出什么结论? (1) ,参数p=1/2000~1/200;采样步长为: t=4ms~4s;x=5~25m. (2) 参数=1~2;x,y[1,1]。 (3)将 (2)中的函数推广到三维情形,进行同样的处理,体会高维插值的运用。 课题5: 数据拟合 1.实训目的及意义 [1]了解最小二乘拟合的基本原理和方法; [2]掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法; [3]通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题,注意与插值方法的区别。 [4]了解各种参数辨识的原理和方法; [5]通过范例展现由机理分析确定模型结构,拟合方法辨识参数,误差分析等求解实际问题的过程; 通过该实验的学习,掌握几种基本的参数辨识方法,了解拟合的几种典型应用,观察不同方法得出的模型的准确程度,学习参数的误差分析,进一步了解数学建模过程。 这对于学生深入理解数学概念,掌握数学的思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 2.实训内容 [1].用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合,作出误差图; [2].用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合,作出误差图; [3].针对预测和确定参数的实际问题,建立数学模型,并求解。 3.实训步骤 [1].开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口; [2].根据各种数值解法步骤编写M文件 [3].保存文件并运行; [4].观察运行结果(数值或图形); [5].根据观察到的结果写出实验报告,并浅谈学习心得体会。 4.实训要求与任务 根据实验内容和步骤,完成以下具体实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会) 旧车价格预测 某年美国旧车价格的调查资料如下表,其中 表示轿车的使用年数, 表示相应的平均价格。 试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据,并预测使用4-5年后轿车的平均价格大致为多少? 表1 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 课题6: 回归分析 1.实训目的及意义 [1]学习回归分析的统计思想和基本原理; [2]掌握建立回归模型的基本步骤,明确回归分析的主要任务; [3]熟悉MATLAB软件进行回归模型的各种统计分析; [4]通过范例学习,熟悉统计分析思想和建立回归模型的基本要素。 通过该实验的学习,使学生掌握回归分析的统计思想,认识面对什么样的实际问题可以建立回归模型,并且对回归模型作统计分析,同时使学生学会使用MATLAB软件进行回归分析和计算的基本命令,了解统计软件的功能和作用。 熟悉处理大量数据的要领和方法是本科生重要的必备知识,具有十分重要的意义。 2.实训内容 [1].多元线性回归模型的建立与分析步骤(问题假设→模型→参数估计→模型检验→确定最优回归方程→预测); [2].非线性回归模型的建立与分析步骤; [3].使用MATLAB命令对回归模型进行计算与分析(包括模型检验与预测); [4].利用某些数值与图形对统计特征作定性分析; 3.实训步骤 [1]开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口; [2]打开其它数据存放的软件平台,如excel、txt等软件; [3]在Matlab平台上调用数据文件; [4]根据问题和数据,建立的线性(或非线性)回归模型,并编写统计分析的M文件; [5]保存文件并运行; [6]观察运行结果(数值或图形); [7]根据观察到的结果和体会,写出实验报告。 4.实训要求与任务 根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论) (1)确定企业年设备能力与年劳动生产率的关系 某市电子工业公司有14个所属企业,各企业的年设备能力与年劳动生产率统计数据如表2。 试分析企业年设备能力与年劳动生产率的关系。 若该公司计划新建一个设备能力为9.2千瓦/人的企业,估计劳动生产率将为多少? 表2 企业 设备能力 (千瓦/人) 劳动生产率 (千元/人) 企业 设备能力 (千瓦/人) 劳动生产率 (千元/人) 1 2.8 6.7 8 4.8 9.8 2 2.8 6.9 9 4.9 10.6 3 3.0 7.2 10 5.2 10.7 4 2.9 7.3 11 5.4 11.1 5 3.4 8.4 12 5.5 11.8 6 3.9 8.8 13 6.2 12.1 7 4.0 9.1 14 7.0 12.4 (2)某公司出口换汇成本分析 对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如表3。 试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。 表3 公司 出口换汇成本 人民币元/美元 商品流转费 用率(%) 公司 出口换汇成本 人民币元/美元 商品流转费 用率(%) 1 2 3 4 5 6 7 1.40 1.20 1.00 1.90 1.30 2.40 1.40 4.20 5.30 7.10 3.70 6.20 3.50 4.80 8 9 10 11 12 13 1.60 2.00 1.00 1.60 1.80 1.40 5.50 4.10 5.00 4.00 3.40 6.90 课题7: 线性规划 1.实训目的及意义 [1]学习最优化技术和基本原理,了解最优化问题的分类; [2]掌握线性规划的建模技巧和求解方法; [3]学习灵敏度分析问题的思维方法; [4]熟悉MATLAB软件求解线性规划模型的基本命令; [5]通过范例学习,熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。 通过该实验的学习,使学生掌握最优化技术,认识面对什么样的实际问题,提出假设和建立优化模型,并且使学生学会使用MATLAB软件进行线性规划模型求解的基本命令,并进行灵敏度分析。 解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程,因此,本实验对学生的学习尤为重要。 2.实训内容 [1].最优化问题的提出,提出不同的假设可以建立不同的最优化模型; [2].建立线性规划模型的基本要素和步骤; [3].使用MATLAB命令对线性规划模型进行计算与灵敏度分析; [4].利用优化数值解与图形解对最优化特征作定性与定量分析; 3.实训步骤 [1].开启MATLAB软件平台,开启MATLAB编辑窗口; [2].根据问题,建立的线性规划模型,并编写求解规划模型的M文件; [3].保存文件并运行; [4].观察运行结果(数值或图形),并不断地改变参数设置观察运行结果; [5].根据观察到的结果和体会,写出实验报告。 4.实训要求与任务 根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论) (1)两种面包产品的产量配比问题 田园食品公司生产的面包很出名。 他们生产两种面包: 一种是叫“唐师”的白面包,另一种是叫“宋赐”的大黑面包。 每个唐师面包的利润是0.05元,宋赐面包是0.08元。 两种面包的月生产成本是固定的4000元,不管生产多少面包。 该公司的面包生产厂分为两个部: 分别是烤制和调配。 烤制部有10座大烤炉,每座烤炉的容量是每天出140台,每台可容纳10个唐师面包或5个更大的宋赐面包。 可以在一台上同时放两种面包,只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。 调配部每天可以调配最多8000个唐师面包和5000个宋赐面包。 有两个自动调配器分别用于两种面包的调配而不至于发生冲突。 田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量配比,即确定两种面包的日产量,使得在公司面包厂的现有生产条件下利润最高。 课题8: 非线性规划 1.实训目的及意义 [1]学习非线性规划模型的标准形式和建模方法; [2]掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法; [3]熟悉MATLAB软件求解非线性规划模型的基本命令; [4]通过范例学习,了解建立非线性规划模型的全过程,与线性规划比较其难点何在。 通过该实验的学习,使学生掌握最优化技术,认识面对什么样的实际问题,提出假设和建立优化模型,并且使学生学会使用MATLAB软件进行非线性规划模型求解的基本命令,并进行灵敏度分析。 解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程,因此,本实验对学生的学习尤为重要。 2.实训内容 [1].建立非线性规划模型的基本要素和步骤; [2].熟悉使用MATLAB命令对非线性规划模型进行计算与灵敏度分析; [3].学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。 3.实训步骤 [1].开启MATLAB软件平台,开启MATLAB编辑窗口; [2].根据问题,建立非线性规划模型,并编写求解规划模型的M文件; [3].保存文件并运行; [4].观察运行结果(数值或图形),并不断地改变参数设置观察运行结果; [5].根据观察到的结果和体会,写出实验报告。 4.实训要求与任务 根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论) (1)求解无约束优化 1)画出该曲面图形,直观地判断该函数的最优解; 2)使用fminunc命令求解,能否求到全局最优解? (2)求解非线性规划 试判定你所求到的解是否是最优? 课题9: 计算机模拟 1.实训目的及意义 [1]学习连续系统和离散系统的计算机模拟建模思想; [2]掌握连续和离散系统的计算机模拟的基本方法; [3]熟悉MATLAB软件编程的基本命令; [4]通过范例学习,初步了解计算机仿真技术。 通过该实验的学习,使学生掌握利用计算机技术对连续系统和离散系统进行模拟,了解计算机模拟技术适合于解决那些规模大、难以解析化以及不确定的数学模型,从而深刻体会计算机模拟技术在工程计算中的重要性。 2.实训内容 [1]连续系统模拟技术的基本要素和步骤; [2]离散系统模拟技术的基本要素和步骤; [3]熟悉使用MATLAB命令的编程要领; 3.实训步骤 [1].开启MATLAB软件平台,开启MATLAB编辑窗口; [2].根据问题,建立计算机模拟的数学模型,并写出算法步骤和编写M文件; [3].保存文件并运行; [4].观察运行结果(数值或图形),并不断地改变参数设置观察运行结果; [5].根据观察到的结果和体会,写出实验报告。 4.实训要求与任务 根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论) (1)盐水浓度问题 某水池有2000立方米的水,其中含盐2千克,以每分钟6千克的速度向池中注入含盐率为0.5千克/立方米的盐水,同时又以每分钟4立方米的速度从水池流出搅拌均匀的盐水.每隔10分钟计算水池中水的体积、含盐量和含盐率,列出一表.从表中查出含盐量达到0.2千克/立方米时用去多少时间? (2)定货策略问题 在物资的供应过程中,由于到货与销售不可能做到同步、同量,故总要保持一定的库存储备.如果库存过多,就会造成积压浪费以及保管费用的上升;如果库存过少,会造成缺货。 如何选择库存和订货策略,就是一个需要研究的问题。 现要研究以下问题: 某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略,当库存降低到P辆自行车时就向厂家订货Q辆,如果某一天的需求量超过了库存量,商店就有销售损失和信誉损失,但如果库存量过多,将会导致资金积压和保管费增加.若现在已有如表4中的五种库存策略,试比较选择一种策略以使花费最少.已知该问题的条件 1)从发出订货到收到货物需隔3天; 2)每辆自行车保管费为0.75元/天,每辆自行车的缺货损失为1.80元/天,每次的订货费为75元; 3)每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布; 4)原始库存为115辆,并假设第一天没有发出订货. 表4 方案编号 1 2 3 4 5 重新订货量P辆 125 125 150 175 175 重新订货量Q辆 150 250 250 250 300
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