复数代数形式的加减运算及其几何意义.docx
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复数代数形式的加减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[学习目标] 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.
知识点 复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且,不共线
加法
减法
运算法则
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1-z2=(a-c)+(b-d)i
几何意义
复数的和z1+z2与向量+=的坐标对应
复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应
运算律
交换律
z1+z2=z2+z1
结合律
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
思考
(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
(2)若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
答案
(1)是复数,唯一确定.
(2)不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.
题型一 复数加、减法的运算
例1
(1)计算(2+4i)+(3-4i);
(2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i).
解
(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5.
(2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.
反思与感悟 复数的加、减法运算,就是实部与实部相加减作实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类比多项式加减中的合并同类项.
跟踪训练1 计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2011-2012i)-(2012-2013i).
解 方法一 原式=(1-2+3-4+…+2011-2012)+(-2+3-4+5+…-2012+2013)i=-1006+1006i.
方法二 (1-2i)-(2-3i)=-1+i,
(3-4i)-(4-5i)=-1+i,…,
(2011-2012i)-(2012-2013i)=-1+i.
将上列1006个式子累加可得
原式=1006(-1+i)=-1006+1006i.
题型二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解
(1)因为=0-(3+2i)=-3-2i,
所以所表示的复数为-3-2i.
因为=,
所以所表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,
所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线=+=+,
所以所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
所以||==.
反思与感悟 复数z与复平面内的向量是一一对应的关系,复数的加法可以按照向量的加法来进行,即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
类比实数减法的意义,复数的减法也是加法的逆运算:
减去一个复数等于加上这个复数的相反数.
若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离,则d=||=|z1-z2|,其中z1,z2是复平面内的两点Z1,Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.
跟踪训练2 满足条件|z+1-i|=|4-3i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A.一条直线B.两条直线
C.一个圆D.一个椭圆
答案 C
解析 根据复数减法的几何意义,|z+1-i|表示复平面内复数z对应的点Z到点(-1,1)的距离,而|4-3i|表示复数4-3i的模,等于5,故满足|z+1-i|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,5为半径的圆.
题型三 复数加、减法的综合应用
例3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
解 方法一 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴a2+b2=c2+d2=1,①
(a-c)2+(b-d)2=1,②
由①②得2ac+2bd=1,
∴|z1+z2|=
==.
方法二 设O为坐标原点,
z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C.
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴△OAB是边长为1的正三角形,
又以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,
且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,
∴|z1+z2|=||
==.
反思与感悟
(1)设出复数z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为x,y满足的关系式,利用方程思想求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
(2)在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:
①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
跟踪训练3 已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i,求复数z1,z2及|z1-z2|.
解 由于|z1+z2|==1,设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,,,则因||=||=||=1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,1为半径的圆上,如图所示,由平行四边形法则和余弦定理易得
cos∠AOC==,
故∠AOC=60°,所以平行四边形OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=120°.
又∵与x轴正半轴的夹角为60°,故点A在x轴上,即A(1,0).
而xB=||cos120°=-,yB=||sin120°=,
∴B的坐标为.
∴或
方法一 |z1-z2|==.
方法二 由结论|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)知,|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2-|z1+z2|2=3,
∴|z1-z2|=.
方法三 由余弦定理可得
||2=||2+||2-2||||cos120°=3,
又∵z1-z2=-=,
∴|z1-z2|=||=||=.
因对复数加、减法的几何意义理解不到位致误
例4 在平行四边形ABCD中,A,B,C三个顶点所对应的复数分别为3+3i,-5i,-2+i,求第四个顶点对应的复数.
错解 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=,∴-=-,
∴=-+,故对应的复数为3+3i-(-2+i)+(-5i)=5-3i.
∴第四个顶点D对应的复数为5-3i.
错因分析 =-,而不是=-.
正解 ∵=,∴-=-,
∴=+-.
∴对应的复数为3+3i-2+i+5i=1+9i.
∴第四个顶点D对应的复数为1+9i.
防范措施 可依据复数的几何意义,找出相应A,B,C三点的坐标,然后推测D点的大致位置,再依据平行四边形的性质,并结合向量知识确定点D的坐标.
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0B.2i
C.6D.6-2i
答案 D
解析 z=3-i-(i-3)=6-2i.
2.复数i+i2在复平面内表示的点在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案 B
解析 i+i2=-1+i,对应的点在第二象限.
3.在复平面内,O是原点,,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为( )
A.2+8iB.-6-6i
C.4-4iD.-4+2i
答案 C
解析 =-=-(+)=3+2i-(1+5i-2+i)=4-4i.
∴表示的复数为4-4i.
4.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在( )
A.实轴上B.虚轴上
C.第一象限D.第二象限
答案 B
解析 ∵|z-1|=|z+1|,∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.
5.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.
答案 -1
解析 z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数,∴解得a=-1.
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、选择题
1.复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于( )
A.0B.+i
C.-iD.-i
答案 C
解析 z1+z2=-i=-i.
2.若z+3-2i=4+i,则z等于( )
A.1+iB.1+3i
C.-1-iD.-1-3i
答案 B
解析 z=4+i-(3-2i)=1+3i.
3.复数z1=3+i,z2=-1-i,则z1-z2等于( )
A.2B.2+2i
C.4+2iD.4-2i
答案 C
4.设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为( )
A.1+iB.2+i
C.3D.-2-i
答案 D
解析 由得∴a+bi=-2-i.
5.如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是( )
A.1B.
C.2D.
答案 A
解析 设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,Z1Z2=4,所以复数z的几何意义为线段Z1Z2,如图所示,问题转化为:
动点Z在线段Z1Z2上移动,求ZZ3的最小值.
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0,则Z3与Z0的距离即为所求的最小值,Z0Z3=1.故选A.
6.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,则||等于( )
A.5B.C.D.
答案 B
解析 如图,
设D(x,y),F为▱ABCD的对角线的交点,则点F的坐标为,
所以即
所以点D对应的复数为z=3+3i,
所以=-=(3,3)-(1,0)=(2,3),
所以||=.
二、填空题
7.若复数z1+z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=.
答案 4+i
解析 两式相加得2z1=8+2i,∴z1=4+i.
8.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是.
答案 1
解析 由|z-2|=|z+2|,知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(-2,0)距离相等的点,即虚轴.|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z-1|min=1.
9.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是.
答案 +i
解析 设这个复数为x+yi(x,y∈R),
∴x+yi+=5+i,
∴∴
∴x+yi=+i.
三、解答题
10.计算:
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);
(2)+(2-i)-.
(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
解
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
(2)+(2-i)-
=+i+2-i-+i
=+i=1+i.
(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
11.已知ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数.
解 方法一 设D点对应的复数为x+yi(x,y∈R),
则D(x,y),又由已知A(1,3),B(0,-1),C(2,1).
∴AC中点为,BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分,
∴∴即点D对应的复数为3+5i.
方法二 设D点对应的复数为x+yi(x,y∈R).
则对应的复数为(x+yi)-(1+3i)
=(x-1)+(y-3)i,
又对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i,
由于=.∴(x-1)+(y-3)i=2+2i.
∴∴即点D对应的复数为3+5i.
12.集合M={z||z-1|≤1,z∈C},N={z||z-1-i|=|z-2|,z∈C},集合P=M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形;
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.
解
(1)由|z-1|≤1可知,集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心,以1为半径的圆的内部及边界;由|z-1-i|=|z-2|可知,集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l,因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB,如图所示.
(2)圆的方程为x2+y2-2x=0,
直线l的方程为y=x-1.
解得
A(,),B(,-).
∴|OA|=,|OB|=.
∵点O到直线l的距离为,且过O向l作垂线,垂足在线段BE上,∴<.
∴集合P中复数模的最大值为,最小值为.
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- 复数 代数 形式 加减 运算 及其 几何 意义
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