全等三角形提高含答案教师版.docx
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全等三角形提高含答案教师版
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD到E,使DE=AD,
则△ADC≌△EBD
∴BE=AC=2
在△ABE中,AB-BE ∴10-2<2AD<10+24 又AD是整数, ∴AD=5 2.已知: BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证: ∠1=∠2 证明: 连接BF和EF。 ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 ∴△BCF≌△EDF(边角边)。 ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在△BEF中,BF=EF。 ∴∠EBF=∠BEF。 又∵∠ABC=∠AED。 ∴∠ABE=∠AEB。 ∴AB=AE。 在△ABF和△AEF中, AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴△ABF≌△AEF ∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。 3. 已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC 证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G 则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴△ADC≌△GDE(AAS) ∴EG=AC ∵EF∥AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 4.已知: AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证: ∠B=2∠C 证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD(SAS) ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD,AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 5.已知: AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB=∠CEF=90° ∵EB=EF,CE=CE, ∴△CEB≌△CEF ∴∠B=∠CFE ∵∠B+∠D=180°, ∠CFE+∠CFA=180° ∴∠D=∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC=∠FAC 又∵AC=AC ∴△ADC≌△AFC(SAS) ∴AD=AF ∴AE=AF+FE=AD+BE 6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证: BC=AB+DC。 证明: 在BC上截取BF=BA,连接EF. ∵∠ABE=∠FBE,BE=BE, ∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB平行于CD, ∴∠A+∠D=180°; 又∵∠EFB+∠EFC=180°, ∴∠EFC=∠D; 又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE, ∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. ∴BC=BF+FC=AB+CD. 7. 已知: AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证: ∠F=∠C ∵AB∥ED,AE∥BD ∴AE=BD, 又∵AF=CD,EF=BC ∴△AEF≌△DCB, ∴∠C=∠F 8.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 证明: 延长AD至H交BC于H; BD=DC; ∴∠DBC=∠DCB; ∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB; ∴AB=AC; △ABD≌△ACD; ∠BAD=∠CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线 ∴AD⊥BC 9.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 证明: ∵AOM与MOB都为直角三角形、共用OM, 且∠MOA=∠MOB ∴MA=MB ∴∠MAB=∠MBA ∵∠OAM=∠OBM=90度 ∴∠OAB=90-∠MAB,∠OBA=90-∠MBA ∴∠OAB=∠OBA 10.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 证明: 作BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA∥BC ∴∠PAB+∠CBA=180°, 又∵AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90° ∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在△ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴△FAB为等腰三角形, AB=AF,BE=EF 在△DEF与△BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△BEC,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 11.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 证明: 在AB上找点E,使AE=AC ∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD ∴△ADE≌△ADC。 ∴DE=CD,∠AED=∠C ∵AB=AC+CD, ∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B 12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立请给予证明;若不成立请说明理由. 解: (1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF. 13.已知: 如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): (1) ∵DC∥AE,且DC=AE, ∴四边形AECD是平行四边形。 于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。 ∵AE=BE, ∴△AED≌△EBC。 (2) △AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 14.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. 证明: 延长BA、CE,两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 15、如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 证明: ∵BE∥CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 16、AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 证明: 在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 17、如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 证明: ∵AB=DCAE=DFCE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE≌△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DCBF=CE ∴△ABF≌△CDE ∴AF=DE 18..公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证明: ∵AB平行CD(已知) ∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等) ∵M在BC的中点(已知) ∴EM=FM(中点定义) 在△BME和△CMF中 BE=CF(已知) ∠B=∠C(已证) EM=FM(已证) ∴△BME全等与△CMF(SAS) ∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等) ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质) ∴E,M,F在同一直线上 19.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证: △ABE≌△CDF. 证明: ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴△ABE≌△CDF(SAS) 20.已知: 如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F, 求证: BE=CD. 证明: ∵AB=AC, ∴∠EBC=∠DCB ∵BD⊥AC,CE⊥AB ∴∠BEC=∠CDB BC=CB(公共边) ∴△EBC≌△DCB ∴BE=CD 21.已知: 如图,AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE.若AB=5, 求AD的长? 解: ∠C=∠E=90度 ∠B=∠EAD=90度-∠BAC BC=AE △ABC≌△DAE AD=AB=5 22.如图: AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠C 又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形 ∴△BEM全等于△CEM ∴MB=MC 23.在△ABC中, , ,直线 经过点 ,且 于 , 于 . (1)当直线 绕点 旋转到图1的位置时,求证: ① ≌ ;② ; (2)当直线 绕点 旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1)证明: ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E, ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 在Rt△ADC和Rt△CEB中, ∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠CBE, AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD; (2)不成立,证明: 在△ADC和△CEB中, ∠ADC=∠CEB=90°, ∠ACD=∠CBE, AC=CB, ∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE-CD=AD-BE; 24.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF (1)证明 ∵AE⊥AB ∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=90度 ∵AF⊥AC ∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90度 ∴∠EAC=∠BAF ∵AE=ABAF=AC ∴△EAC≌△FAB ∴EC=BF,∠ECA=∠F (2) (2)延长FB与EC的延长线交于点G ∵∠ECA=∠F(已证) ∴∠G=∠CAF ∵∠CAF=90度 ∴EC⊥BF 25.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN。 证明: (1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN (2) ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 26.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF 证明; 连接BF、CE, 证明△ABF≌△DEC(SAS), 四边形BCEF对边相等 证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 27.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗? 请证明。 在AB上取点N,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN,AE为公共边, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边, ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 28、如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE∥CF. 证明: ∵AD是中线 ∴BD=CD ∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE∥CF 29、已知: 如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足, . 求证: . 证明: ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠DEC=∠AFB=90°, 在Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD. 30、如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明 结论: CE>DE。 当∠AEB越小,则DE越小。 证明: 过D作AE平行线与AC交于F,连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形, 且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF<45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CEAF=DE ∴CE>DE 31、如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: AE=DE. 先证明△ABC≌△BDC ∠ABC=∠DCB 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE 32.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ∠ADC=∠BDE. 证明: 作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90° ∴∠ACG=∠DCG=45° ∵∠ACB=90°AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90° ∴∠CAF=∠DCF ∵AC=CB∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠BCD=BD ∴△CDG≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE
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