高考数学理第二章函数的概念及其基本性质 课时撬分练29习题及答案.docx

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高考数学理第二章函数的概念及其基本性质课时撬分练29习题及答案

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　　时间：

90分钟

基础组

1.[2016·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函，其图象可能是（　　）

答案　A

解析　汽车加速行驶时，速度变越越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函图象上是一条直线，减速行驶时，速度变越越慢，但路程仍是增加的，故选A.

2．[2016·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供（　　）

A．3人洗澡B．4人洗澡

C．5人洗澡D．6人洗澡

答案　B

解析　设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝

时，y有最小值，此时共放水34×

＝289升，可以供4人洗澡．

3．[2016·枣强中学预测]若函f（x）＝a＋|x|＋log2（x2＋2）有且只有一个零点，则实a的值是（　　）

A．－2B．－1

C．0D．2

答案　B

解析　将函f（x）＝a＋|x|＋log2（x2＋2）的零点问题转为函f1（x）＝－a－|x|的图象与f2（x）＝log2（x2＋2）的图象的交点问题．因为f2（x）＝log2（x2＋2）在[0，＋∞）上单调递增，且为偶函，因此其最低点为（0,1），而函f1（x）＝－a－|x|也是偶函，在[0，＋∞）上单调递减，因此其最高点为（0，－a），要满足题意，则－a＝1，因此a＝－1.

4．[2016·冀州中学模拟]某购物站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总最少，他最少需要下的订单张为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　C

解析　为使花钱总最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张为3张，选C.

5.[2016·武邑中学预测]已知函f（x）＝（x－a）2＋（lnx2－2a）2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤

成立，则实a的值为（　　）

点击观看解答视频

A.

B.

C.

D．1

答案　A

解析　（x－a）2＋（lnx2－2a）2表示点P（x，lnx2）与点Q（a，2a）距离的平方．

易知点P在曲线g（x）＝2lnx上，点Q在直线y＝2x上．

因为g′（x）＝

，且直线y＝2x的斜率为2，

所以令

＝2，解得x＝1.

又当x＝1时，g（x）＝0，

从而与直线y＝2x平行的曲线g（x）＝2lnx的切线方程为y＝2（x－1），如图所示．

因为直线y＝2（x－1）与直线y＝2x间的距离为

＝

.

故|PQ|的最小值为

，

即f（x）＝（x－a）2＋（lnx2－2a）2的最小值为

2＝

.

又当|PQ|最小时，P点的坐标为（1,0），所以由题意知x0＝1，且

×2＝－1，解得a＝

.

6.[2016·衡水二中一轮检测]函f（x）＝x2＋ax＋b的部分图象如图所示，则函g（x）＝lnx＋f′（x）的零点所在的区间是（　　）

A.

B．（1,2）

C.

D．（2,3）

答案　C

解析　由图象得，a＋b＋1＝0,0

（1）＝a＋2>0，g

＝a＋1－ln2<0，∴函g（x）＝lnx＋f′（x）的零点所在的区间是

.

7．[2016·枣强中学猜题]某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物量P（单位：

mg/L）与过滤时间t（单位：

h）之间的函关系为P＝P0e－kt（k，P0均为正的常）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放（　　）

A.

hB.

h

C．5hD．10h

答案　C

解析　设原污染物量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝ae－5k，所以5k＝ln10.设th后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥ae－tk，所以tk≥2ln10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5h才可以排放．

8．[2016·枣强中学周测]如图

（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客x之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图

（2）（3）所示．

以下说法：

①图

（2）的建议是：

提高成本，并提高票价；

②图

（2）的建议是：

降低成本，并保持票价不变；

③图（3）的建议是：

提高票价，并保持成本不变；

④图（3）的建议是：

提高票价，并降低成本．

其中正确的序号是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案　C

解析　根据题意和题图

（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由题图（3）知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．故选C.

9．[2016·衡水二中周测]有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函f（m）＝1.06×（0.5[m]＋1）（元）决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________．

答案　4.24元

解析　∵m＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函解析式，得f（5.5）＝1.06×（0.5×6＋1）＝4.24元．

10．[2016·衡水二中模拟]对于任意两个实x1，x2，定义max（x1，x2）＝

若f（x）＝x2－2，g（x）＝－x，则max（f（x），g（x））的最小值为________．

答案　－1

解析　f（x）－g（x）＝x2－2－（－x）＝x2＋x－2，令x2＋x－2≥0，解得x≥1或x≤－2.

当－2

所以max（f（x），g（x））＝

作出图象，如图，由图象可知函的最小值为－1.

11．[2016·冀州中学周测]某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．（保留一位小，取1.15≈1.6）

答案　6.6

解析　第一年产值为1×（1＋10%）＝1.1，第二年产值为1×（1＋10%）2＝1.12，…，第五年的产值为1.15，故前5年总产值为

≈6.6.

12.[2016·衡水中学期中]某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：

万元）与日产量x（单位：

吨）满足函关系式C＝3＋x，每日的销售额S（单位：

万元）与日产量x的函关系式S＝

已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.

点击观看解答视频

（1）求k的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

解　

（1）由题意可得，L＝

因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋

＋2.

解得k＝18.

（2）当0

＋2，

所以L＝2（x－8）＋

＋18

＝－

＋18

≤－2

＋18＝6.

当且仅当2（8－x）＝

，即x＝5时取得等号．

当x≥6时，L＝11－x≤5.

所以当x＝5时，L取得最大值6.

所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．

13．[2016·武邑中学一轮检测]随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140<2a<420，且a为偶），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人不得小于现有职员的

，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则

y＝（2a－x）（b＋0.01bx）－0.4bx＝－

[x2－2（a－70）x]＋2ab.

依题意2a－x≥

·2a，∴0

.又140<2a<420，70

（1）当0

，即70

（2）当a－70>

，即140

，y取到最大值；

所以当70

当140

人，经济效益取到最大值．

能力组

14.[2016·枣强中学仿真]国家规定个人稿费纳税办法为：

不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为（　　）

A．3000元B．3800元

C．3818元D．5600元

答案　B

解析　由题意可建立纳税额y关于稿费x的函解析式为y＝

显然由0.14（x－800）＝420，可得x＝3800.

15．[2016·枣强中学期末]已知函f（x）的定义域为R.若存在常c>0，∀x∈R，有f（x＋c）>f（x－c），则称函f（x）具有性质P.给出下列三个函：

①f（x）＝2x；②f（x）＝sinx；③f（x）＝x3－x.

其中，具有性质P的函的序号是________．

答案　①③

解析　①若f（x）＝2x，则由f（x＋c）>f（x－c）得2x＋c>2x－c，即x＋c>x－c，所以c>0恒成立，所以①具有性质P.②若f（x）＝sinx，则由f（x＋c）>f（x－c）得sin（x＋c）>sin（x－c），整得cosxsinc>0，所以不存在常c>0，∀x∈R，有f（x＋c）>f（x－c）成立，所以②不具有性质P.③若f（x）＝x3－x，则由f（x＋c）>f（x－c）得（x＋c）3－（x＋c）>（x－c）3－（x－c），整得3x2＋c2>1，所以只要c>1，则f（x＋c）>f（x－c）成立，所以③具有性质P，所以具有性质P的函的序号是①③.

16.[2016·冀州中学热身]已知函f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）．对于不相等的实x1，x2，设m＝

，n＝

.现有如下命题：

点击观看解答视频

①对于任意不相等的实x1，x2，都有m>0；

②对于任意的a及任意不相等的实x1，x2，都有n>0；

③对于任意的a，存在不相等的实x1，x2，使得m＝n；

④对于任意的a，存在不相等的实x1，x2，使得m＝－n.

其中的真命题有________（写出所有真命题的序号）．

答案　①④

解析　因为f（x）＝2x在R上是单调递增的，所以对于不相等的实x1，x2，m＝

>0恒成立，①正确；因为g（x）＝x2＋ax，所以n＝

＝x1＋x2＋a，正负不定，②错误；由m＝n，整得f（x1）－g（x1）＝f（x2）－g（x2）．令函p（x）＝f（x）－g（x）＝2x－x2－ax，则p′（x）＝2xln2－2x－a，令t（x）＝p′（x），

则t′（x）＝2x（ln2）2－2，又t′

（1）＝2（ln2）2－2<0，t′（3）＝8（ln2）2－2>0，从而存在x0∈（1,3），使得t′（x0）＝2x0（ln2）2－2＝0，于是p′（x）有极小值p′（x0）＝2x0ln2－2x0－a＝

－2log2

－a，所以存在a＝－2log2

，使得p′（x0）＝

>0，此时p（x）在R上单调递增，故不存在不相等的实x1，x2，使得f（x1）－g（x1）＝f（x2）－g（x2），不满足题意，③错误；由m＝－n，得f′（x）＝－g′（x），即－a＝2xln2＋2x.设h（x）＝2xln2＋2x，则h′（x）＝2x（ln2）2＋2>0，所以h（x）在R上是单调递增的，且当x→＋∞时，h（x）→＋∞；当x→－∞时，h（x）→－∞，所以对于任意的a，y＝－a与y＝h（x）的图象一定有交点，④正确．

17．[2016·枣强中学周测]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函，求该函的解析式及定义域；

（2）求矩形BNPM面积的最大值．

解　

（1）作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝（8－y）米，EQ＝（x－4）米．

又△EPQ∽△EDF，所以

＝

，即

＝

.

所以y＝－

x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

（2）设矩形BNPM的面积为S平方米，则

S（x）＝xy＝x

＝－

（x－10）2＋50，

S（x）是关于x的二次函，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S（x）单调递增．

所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．