初中数学平面几何题20道学习辅助线的添加.docx
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初中数学平面几何题20道学习辅助线的添加
1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM,求证PM/PN=AC/AB
证明:
过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点;再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线)于P',A'两点。
由M'N'平行BC得:
AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P
由三角形AN'P全等三角形A'M'P得:
M'A'=AN'.所以,AC/AB=A'M'/AM'
由三角形AM'A'相似三角形AMP'得:
AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM
所以:
AC/AB=MP'/AM
由三角形MP'P相似三角形ANP得:
MP'/AN=MP/PN
而AN=AM
所以:
MP'/AM=MP/PN
所以:
AC/AB=MP/PN
1题图
2题图
2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边
证明:
过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。
则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A,即∠A=∠F.
又因为:
四边形AFDC是梯形
所以:
AC=DF=FE+DE
而AC=BD+DE
所以:
BD=FE
又因为:
AD=AE,∠BDA=∠FEA
所以:
三角形ABD和三角形AFE全等
所以:
∠B=∠F
所以:
∠B=∠BCD=∠BDC=60°
所以:
三角形BCD是等边三角形。
3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切),A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E,X的范围是?
解:
如图,当元O与三角形ABC三条边都相切时,x的值最大。
此时:
过B作BD垂直AC,则可求得BD=5(√3),DC=3
根据勾股定理求得BC=2(√21)
设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组:
x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21),
解这个方程组得:
x=9-(√21)
因此:
x的范围是(0,9-√21]
4、已知三角形ABE中C、D分别为AB、BE上的点,且AD=AE,三角形BCD为等边三角形,求证BC+DE=AC
证明:
过D点作BE的垂线DF,交AB于F点,过A点作BE的垂线AH,H是垂足,再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。
则:
四边形DHGF是矩形,有FG=DH.
而由△ADE是等腰三角形得知DH=HE,
所以:
FG=(1/2)DE.
又由于角B=60°,
所以:
∠BAH=30°
所以:
FG=(1/2)AF
所以:
AF=DE
而在直角△BDF中,由于∠B=∠BDC=60°
所以:
∠CDF=∠CFD=30°
所以:
CF=CD=BC
所以:
BC+DE=CF+AF
即:
BC+DE=AC
5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF
证明:
如图,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,连接DG,HG
则:
GH=DG
所以:
角1=∠2,
而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5
所以;∠4=∠5
所以:
AF=EF.
6、在△ABC中,D是BC边中点,O是AD上一点,BO,CO的延长线分别交AC,AB于E,F
求证:
EF平行BC。
证明:
分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。
则:
四边形MBCN是平行四边形。
由MB‖AO‖CN,得:
OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.(相似三角形对应边成比例)
而BM=CN
所以:
OF/FM=OE/EN
所以:
MN‖EF
而MN‖BC
所以:
EF‖BC.
7、已知:
在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.
求证:
△ABC≌△A'B'C'
证明:
分别过B,B'点作BE‖AC,B'E'‖A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点。
则:
△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'
所以:
AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.
所以:
BE=B'E',AE=A'E'
所以:
△ABE≌△A'B'E'
所以:
角E=∠E'角BAD=角B'A'D'
所以:
角BAC=角B'A'C'
所以:
△ABC≌△A'B'C'
8、四边形ABCD为菱形,E,F为AB,BC的中点,EP⊥CD,∠BAD=110º,求∠FPC的度数
解:
连接BD,交AC于O点,过A作CD的垂线,垂足为G,过O作BC的平行线交CD于H.
因为:
角DAB=110°,∠GAB=90°
所以:
∠DAG=20°。
由∠AOD=∠AGD=90°知AOGD四点共元,所以∠DOG=∠DAG=20°
由OH‖BC‖AD知:
∠HOC=∠DAC=(1/2)∠BAD=55°
所以:
∠GOH=90°-20°-55°=15°
而:
∠OHG=∠BCD=110°
所以:
∠OGH=180°-15°-110°=55°
由于:
不难证明∠FPC=∠OGH(过程略)
所以:
∠FPC=55°
9、已知:
E是正方形ABCD内的一点,且∠DAE=∠ADE=15°,
求证:
△EBC是等边三角形
证明:
过E点作AB的平行线EP,交BC于P点,交AD于Q点,以D为角顶点,DA为角的一边,向正方形ABCD内作∠ADF=30°,角的一边交EP于F点。
设DQ=√3,则:
FQ=1,DF=2,AD=2√3,PC=PB=AQ=√3,
由角平分线定理得:
QE/EF=QD/DF,
即:
QE/(1-QE)=(√3)/2
解得:
QE=2(√3)-3
所以:
PE=PQ-QE=2(√3)-[2(√3)-3]=3
在△EPC中由勾股定理得:
EC=√(PE²+PC²)=2√3
而:
BE=CE
所以:
BC=BE=CE=2√3
即:
△EBC是等边三角形。
10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E,求证,BD+CE>DE
证明:
如图,延长EM到E',使E'M=ME,则:
DE=DE',
由△BE'M≌△CEM得:
CE=BE'
在△BE'D中,有BD+BE'>DE'
等量代换得:
BD+CE>DE
11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN把△MCN翻折,使点C落在AB上设其落点
(1).如图一,当是AB的中点时,求证:
PA/PB=CM/CN
(2).如图二当P不是AB中点时,结论PA/PB=CM/CN是否成立?
若成立,请给出证明
(1)、证明:
因为P是AB中点,
所以:
AP/PB=1,
因为:
P点是C点沿直线MN折叠的落点,
所以:
MN垂直平分PC,
所以:
CM=MP,
由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45°
所以:
CM=MN
所以:
CM/CN=1
所以:
PA/PB=CM/CN
(2)、结论仍然成立。
证明:
过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。
过C作CF垂直AB,F是垂足。
则:
S△APC=(1/2)AC*PE=(1/2)AP*CF
S△BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF
而AC=BC
所以:
PE/PD=AP/BP
由∠MCN=∠MPN=90°知MCNP四点共元
所以:
∠PME=∠PND
所以:
RT△PEM∽RT△PDN
所以:
PE/PD=PM/PN
而PM=MC,PN=NC
所以:
PE/PD=MC/NC
所以:
AP/BP=MC/NC
12、三角形ABC中,BC=5,M和I分别是三角形ABC的重心和内心,若MI平行于BC,则AB+AC的值是多少?
解:
设内心到三边的距离为r,BC边上的高为AE=h,
如图。
因为MI‖BC,AM=2MD
所以:
h=3r
而:
S△ABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)r
S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACE=(1/2))r(AB+AC+5)
所以:
(15/2)r=(1/2))r(AB+AC+5)
解得:
AB+AC=10
13、已知圆O是三角形ABC的外接圆CD是AB边上的高,AE是圆O的直径。
求证:
AC*BC=AE*CD
证明:
以E为圆心,以BC长为半径画弧交元O于F点。
连接EF,FA.则:
EF=BC,∠AFE=90°
所以:
∠EAF=∠DAC(弦相等,弦所对的圆周角相等)
所以:
RT△ADC∽RT△EFA
所以:
AC/AE=CD/EF即AC*EF=AE*CD
而:
EF=BC
所以:
AC*BC=AE*CD
14、已知:
D.E位△ABC内的两点
求证:
AB+AC>BD+DE+EC
证明:
设直线DE交AB于F,交AC于G,则:
在△AFG中,有AF+AG>FD+DE+EG
在△BFD中,有BF+FD>BD
在△EGC中,有EG+GC>EC
所以:
三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GC>FD+DE+EG+BD+EC
即:
AB+AC>DE+BD+EC
15、在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?
BC边上的中线是否一定过点O?
为什么?
答:
BO=2DO,BC边上的中线过O点。
证明:
连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点,连接EM,DN,则:
EM平行并等于AO的一半,DN平行并等于AO的一半
所以:
EM平行并等于DN
所以:
四边形EMND是平行四边形
所以:
MO=OD
所以:
BM=MO=OD
所以:
BO=2DO
延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则:
由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC
所以;BG=GC
所以;BC边上的中线过O点。
16、在△ABC中,AB,BE是△ABC的高,交于点H,边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O
求证:
OF=1/2AH,OG=1/2BH
证明:
连接CO并延长交△ABC的外接圆于M点。
则:
OC是元的直径。
OF=(1/2)BM,
∠MBC=∠MAC=∠ADB=∠BEA=90°
所以:
BM‖AD,AM‖BE
所以:
四边形MBHA是平行四边形
所以:
BM=AH
所以:
OF=(1/2)AH.
同理可证:
OG=(1/2)BH.
17、三角形中线分别为91215求三角形面积
解:
过F点作AE的平行线,交DC于H点,
则:
FH=(1/2)AM=5,MH=3,(三角形中位线定理,三中线交点分中线性质)
而:
MF=4
所以:
三角形FMH是直角三角形,即BM⊥DC.
所以:
S△BCD=(1/2)*9*8=36,
所以:
S△ADC=S△BCD=36(同高等底的两个三角形面积相等)
所以:
S△ABC=72
18、在△ABC中∠A=90°,AD⊥BC于D,M是AD的中点,延长BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F。
求证:
EF²=AE*CE
证明:
如图,延长BA,FE交于N.
因为:
AD‖FN
所以:
AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE
所以:
AM/NE=MD/EF
而:
AM=DM
所以:
NE=EF
由于:
角NAC=∠NFC=90°
所以:
AFCN四点共圆
所以:
AE*EC=EF*EN
所以:
EF^2=AE*EC
19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点,DE延长线交AB延长线与F,求证S△ABE=S△CEF。
证明:
分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G是垂足。
设BE=m,EC=n
由△BFE∽△CDE得:
BF/CD=m/n.即BF/(BF+CD)=m/(m+n)
也就是BF/AF=m/(m+n)(因为AB=CD,有AF=BF+CD)
由RT△BEG∽RT△BCH得:
HC/GE=(m+n)/m
所以:
(BF/CD)*(HC/GE)=1
而:
S△AFE=(1/2)AF*GE
S△BFC=(1/2)BF*CH
所以:
S△BFC/S△AFE=BF*HC/AF*GE=1
所以:
S△BFC=S△AFE
两边同时减去S△BFE得:
S△ABE=S△CEF。
20、等腰直角三角形,角A为90°,D,E两点为斜边上的动点,角DAE=45°,当D合B重合或E和C重合时,线段DE的长度等于BD+EC
当不重合时,DE 证明: 不重合时。 以A点为顶点,AC为一边向△ABC的外侧作∠CAB',使∠CAB'=∠DAB.截取AB'=AD. 又因为: AC=AB. 所以: △CAB'≌△BAD 所以: B'C=DB 因为: ∠BAC=90°,∠DAE=45°。 所以: ∠BAD+∠CAE=45°。 所以: ∠B'AE=∠B'AC+∠CAE=45°=∠EAD. 又AD=AB',AE=AE 所以: △B'AE≌△DAE 所以: DE=EB' 在△ECB'中,有EB' 而EB'=DE,CB'=BD 所以: DE 重合时,证明(略) 200首选上海丞贸! EPShanghai上海国际电力电工展上海芯银实业专业代理销售日本KUZE不锈钢BA管和EP管x
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