等差数列学案.docx
- 文档编号:25676057
- 上传时间:2023-06-11
- 格式:DOCX
- 页数:52
- 大小:50.79KB
等差数列学案.docx
《等差数列学案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列学案.docx(52页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
等差数列学案
等差数列学案
§2等差数列
第1课时等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
1.通过实例,理解等差数列的概念,并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系,能用函数的观点解决等差数列问题.
4.掌握等差中项的定义,并能运用它们解决问题.
5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点:
等差数列的概念.
难点:
等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
1.等差数列的定义
(1)关于等差数列定义的理解,关键注意以下几个方面:
①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项起或第4项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这些常数不一定相同,当这些常数不同时,此数列不是等差数列.
③求公差时,要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).
(2)如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数(或an-an-1(n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:
判断一个数列是等差数列的定义式:
an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列,可举一个特例进行否定,也可以证明an+1-an或an-an-1(n>1)不是常数,而是一个与n有关的变数即可.
2.等差数列的通项公式
(1)通项公式的推导常用方法:
方法一(叠加法):
∵{an}是等差数列,
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得:
an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法):
∵{an}是等差数列,
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三(逐差法):
∵{an}是等差数列,则有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意:
等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法,应注意体会并应用.
(2)通项公式的变形公式
在等差数列{an}中,若m,n∈N+,则an=am+(n-m)d.推导如下:
∵对任意的m,n∈N+,在等差数列中,有
am=a1+(m-1)d①
an=a1+(n-1)d②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意:
将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d,从函数角度来看,an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时),其图像是一条射线上一些间距相等的点,其中公差d是该射线所在直线的斜率,从上面的变形公式可以知道,d=(n≠m).
(3)通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数.
3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是些正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.
当d>0时,{an}为递增数列,如图(甲)所示.
当d当d=0时,{an}为常数列,如图(丙)所示.
4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,
那么A叫做数a与b的等差中项.
注意:
(1)等差中项A=a,A,b成等差数列;
(2)若a,b,c成等差数列,那么b=,2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的;
(3)用递推关系an+1=(an+an+2)给出的数列是等差数列,an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.
知能自主梳理
1.等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的是,我们称这样的数列为等差数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做.
3.等差数列的判断方法
(1)要证明数列{an}是等差数列,只要证明:
当n≥2时,.
(2)如果an+1=对任意的正整数n都成立,那么数列{an}是.
(3)若a,A,b成等差数列,则A=.
4.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为,它的推广通项公式为.
5.等差数列的单调性
当d>0时,{an}是数列;当d=0时,{an}是数列;当d[答案]1.差同一个常数
2.a与b的等差中项
3.
(1)an-an-1=d(常数)
(2)等差数列(3)
4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d
5.递增常递减
思路方法技巧
命题方向等差数列的定义及应用
[例1]判断下列数列是否为等差数列.
(1)an=3n+2;
(2)an=n2+n.
[分析]利用等差数列定义,看an+1-an是否为常数即可.
[解析]
(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知,这个数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.
[说明]利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数,若是,即为等差数列,若不是,则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列,这些不再是我们研究的范畴.
1n=1
变式应用1试判断数列{cn},cn=是否为等差数列.
2n-5n≥2
[解析]∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数,不符合等差数列定义.
∴{cn}不是等差数列.
命题方向等差数列通项公式的应用
[例2]已知数列{an}为等差数列,且a5=11,a8=5,求a11.
[分析]利用通项公式先求出a1和d,再求a11,也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.
[解析]解法一:
设数列{an}的首项为a1,公差为d,由等差数列的通项公式及已知,得
a1+4d=11a1=19
解得.
a1+7d=5d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二:
∵a8=a5+(8-5)d,
∴d===-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
[说明]
(1)对于解法一,根据方程的思想,应用等差数列的通项公式先求出a1和d,确定通项,此法也称为基本量法.
(2)对于解法二,根据通项公式的变形公式为:
am=an+(m-n)d,m,n∈N+,进一步变形为d=,应注意掌握对它的灵活应用.
变式应用2已知等差数列{an}中,a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.
a10=a1+9d=29
[解析]设等差数列的公差为d,则有,
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3=3n-1.
令an=3n-1=91,得n=N+.
∴91不是此数列中的项.
命题方向等差中项的应用
[例3]已知a,b,c成等差数列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?
[分析]已知a,b,c成等差数列,由等差中项的定义,可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列,同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
[解析]因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.
[说明]本题主要考查等差中项的应用,如果a,b,c成等差数列,则有a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且x1、x4、x5成等差数列.求:
p,q的值.
[分析]由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式,结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
[解析]由x1=3,得2p+q=3,①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3+25p+5q=25p+8q,②
由①②得q=1,∴p=1.
[说明]若三数a,b,c成等差数列,则a+c=2b,即b为a,c的等差中项,这个结论在已知等差数列的题中经常用到.
探索延拓创新
命题方向等差数列的实际应用
[例4]某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
[解析]由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n≥2,n∈N+),每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d
=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.
若an由an=-20n+22011,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.
[说明]关于数列的应用题,首先要建立数列模型将实际问题数列化.
变式应用42012年将在伦敦举办奥运会,伦敦将会有很多的体育场,为了实际效果,体育场的看台一般呈“辐射状”.例如,某体育场一角的看台座位是这样排列的:
第一排有150个座位,从第二排起每一排都比前一排多20个座位,你能用an表示第n排的座位数吗?
第10排可坐多少人?
[分析]分析题意知,看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.
[解析]由题意知,每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列,
∴an=a1+(n-1)d=150+(n-1)×20=20n+130,
则a10=330,即第10排可坐330人.
名师辨误做答
[例5]已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列?
说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
[误解]
(1)∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2(为常数),
∴{an}是等差数列.
(2)由上述可知,an=1+2(n-1)=2n-1.
[辨析]忽视首项与所有项之间的整体关系,而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上,数列{an}从第2项起,以后各项组成等差数列,而{an}不是等差数列,an=f(n)应该表示为“分段函数”型.
[正解]
(1)当n≥3时,an=an-1+2,
即an-an-1=2.
当n=2时,a2-a1=0不满足上式.
∴{an}不是等差数列.
(2)∵a2=1,an=an-1+2(n≥3),
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
当n≥3时,an-an-1=2.
∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不满足此式.
1(n=1)
∴an=.
2n-3(n≥2)
课堂巩固训练
一、选择题
1.(2011•重庆文,1)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=()
A.12B.14C.16D.18
[答案]D
[解析]该题考查等差数列的通项公式,由其两项求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为()
A.2B.3C.-2D.-3
[答案]C
[解析]∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
∴公差为-2,故选C.
3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为()
A.1B.2C.3D.4
[答案]C
[解析]设方程x2-6x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=6.
∴其等差中项为=3.
二、填空题
4.在等差数列{an}中,a2=3,a4=a2+8,则a6=.
[答案]19
[解析]∵a2=3,a4=a2+8,
a1+d=3a1=-1
∴,解得.
a1+3d=a1+d+8d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有个.[答案]1或2
[解析]∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c,
又Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
三、解答题
6.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an.
a1+4d=10a1=-2
[解析]由题意得,解得.
a1+11d=31d=3
∴an=-2+(n-1)×3=3n-5.
课后强化作业
一、选择题
1.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,它的项数为()
A.92B.47C.46D.45
[答案]C
[解析]∵a1=1,d=-1-1=-2,
∴an=1+(n-1)•(-2)=-2n+3,
由-89=-2n+3,得n=46.
2.如果数列{an}是等差数列,则()
A.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5
[答案]B
[解析]设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是它的第()
A.12项B.13项C.14项D.15项
[答案]C
[解析]由3(2n-1)=81,解得n=14.
4.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于()
A.-9B.-8C.-7D.-4
[答案]B
a1+d=-5
[解析]由题意,得,
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是()
A.49B.50C.51D.52
[答案]D
[解析]由2an+1=2an+1得an+1-an=,
∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
∴an=2+(n-1)=,
∴a101==52.
6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为()
A.B.C.D.
[答案]A
[解析]===.
7.设数列{an}是递增等差数列,前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为()
A.1B.2C.4D.3
[答案]B
a1+a2+a3=12a1+a3=8
[解析]由题设,,∴a2=4,∴
a1a2a3=48a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根,
又a3>a1,∴a1=2.
8.{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列,如果an=2012,则序号n等于()
A.1003B.1004C.1005D.1006
[答案]C
[解析]∵a1=4,d=2,
∴an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,
∴2n+2=2012,
∴n=1005.
二、填空题
9.三个数lg(-),x,lg(+)成等差数列,则x=.
[答案]0
[解析]由等差中项的运算式得
x===0.
10.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=,d=.
[答案]-2,3
a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2
[解析]由题意得,即,∴.
a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=3
11.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.
[答案]4
[解析]∵2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
12.在数列{an}中,a1=3,且对于任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则an=.
[答案]3n2
[解析]由题意得-=,
∴数列{}是首项为,公差为的等差数列,
∴=n,∴an=3n2.
三、解答题
13.在等差数列{an}中:
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
a1+(5-1)d=-1a1=-5
[解析]
(1)由题意知,解得.
a1+(8-1)d=2d=1
a1+a1+(6-1)d=12a1=1
(2)由题意知,解得,
a1+(4-1)d=7,d=2
∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
14.已知函数f(x)=,数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2,且n∈N+)确定.
(1)求证:
{}是等差数列;
(2)当x1=时,求x100.
[解析]
(1)xn=f(xn-1)=(n≥2,n∈N+),
所以==+,
-=(n≥2,n∈N+).
所以{}是等差数列;
(2)由
(1)知{}的公差为.
又因为x1=,即=2.
所以=2+(n-1)×,
=2+(100-1)×=35.
所以x100=.
15.已知等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,a5•a6•a7=45,求数列{an}的通项公式.
[分析]显然a6是a5和a7的等差中项,可利用等差中项的定义求解a5和a7,进而求an.[解析]设a5=a6-d,a7=a6+d,
则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10a5=1a5=9
由已知可得,解得或
a5•a7=9a7=9a7=1
当a5=1时,d=4,
从而a1=-15,an=-15+(n-1)×4=4n-19.
当a5=9时,d=-4,从而a1=25.
∴an=25+(n-1)×(-4)=-4n+29.
所以数列{an}的通项公式为an=4n-19或an=-4n+29.
16.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
(2)2008年北京奥运会是第几届?
2050年举行奥运会吗?
[解析]
(1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,这个数列的通项公式为
an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N+).
(2)假设an=2008,由2008=1892+4n,得n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
所以2008年北京奥运会是第29届,2050年不举行奥运会.
第2课时等差数列的性质
知能目标解读
1.掌握等差数列的项与序号的性质.
2.理解等差数列的项的对称性.
3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
重点难点点拨
重点:
等差数列的性质.
难点:
应用等差数列的性质解决一些实际问题.
学习方法指导
1.等差数列的公差与斜率的关系
(1)一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的图像是一条直线,斜率k=(x1≠x2).
当k=0时,对于常数函数f(x)=b,上式仍然成立.
(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率.
特别地,如果已知等差数列{an}的任意两项an,am,由an=am+(n-m)d,类比直线方程的斜率公式得d=(m≠n).
2.等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;
(3)若{kn}是等差数列,则{akn}也是等差数列.
知能自主梳理
1.等差数列的项与序号的性质
(1)两项关系
通项公式的推广:
an=am+(m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质:
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),则=ap+aq.
特别地,若m+n=2p(m、n、p∈N+),则am+an=.
2.等差数列的项的对称性
有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍),即a1+an=a2+=ak+=2a(其中n为奇数且n≥3).
3.等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列:
①{c+an}(c为任一常数)是公差为的等差数列;
②{c•an}(c为任一常数)是公差为的等差数列;
③{ank}(k∈N+)是公差为的等差数列.
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p、q是常数)是公差为的等差数列.
[答案]1.(n-m)dam+an2ap
2.an-1an-k+1
3.dcdkdpd1+qd2
思路方法技巧
命题方向运用等差数列性质an=am+(n-m)d(m、n∈N+)解题
[例1]若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为()
A.p+qB.0C.-(p+q)D.
[分析]本题可用通项公式求解.
利用关系式an=am+(n-m)d求解.
利用一次函数图像求解.
[答案]B
[解析]解法一:
∵ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
a1+(p-1)d=q①
∴
a1+(q-1)d=p②
①-②,得(p-q)d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①,有a1+(p-1)(-1)=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.∴应选B.
解法二:
∵ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+[(p+q-p)]d=q+q(-1)=0.∴应选B.
解法三:
不妨设p由△ABE∽△BCF,
得=.
∴=.
∴1=.
得m=0,即ap+q=0.∴应选B.
[说明]本题采用了三种方法,第一种方法使用的是方程思想,由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式,通过解方程组,达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式an=am+(n-m)d.第三种方法使用的是函数的思想,通过点(p,ap),(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解,这也是解决本类问题较简便的方法.
变式应用1已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
[解析]解法一:
∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,
a1+14d=8
∴,
a1+59d=20
a1=
解得
d=
∴a75=a1+74d=+74×=24.
解法二:
∵a60=a15+45d,
∴45d=a60-a15=20-8=12,
∴d=.
∴a75=a60+15d=20+15×=24.
命题方向运用等差数列性质am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+,且m+n=p+q)解题
[例2]在等差数列{an}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求数列的通项公式.
[分析]要求通项公式,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等差数列