四年级杯赛备战讲义奥数最大公因数与最小公倍数.docx
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四年级杯赛备战讲义奥数最大公因数与最小公倍数
一、约数的概念与最大公约数
(0被排除在约数与倍数之外)
1.求最大公约数的方法
(1)分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.
例如:
,
,所以
;
(2)短除法:
先找出所有共有的约数,然后相乘.例如:
,所以
;
(3)辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:
先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止.那么,最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的).
例如,求600和1515的最大公约数:
;
;
;
;
;所以1515和600的最大公约数是15.
2.最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;
②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;
③几个数都乘以一个自然数
,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
.
3.求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;
即为所求.
二、倍数的概念与最小公倍数
1.求最小公倍数的方法
(1)分解质因数的方法;
例如:
,
,所以
;
(2)短除法求最小公倍数;
例如:
,所以
;
(3)
.
2.最小公倍数的性质
(1)两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.
(2)两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.
(3)两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数.
3.求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数
;求出各个分数分母的最大公约数
;
即为所求.例如:
注意:
两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如:
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1.两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
如果
为
、
的最大公约数,且
,
,那么
互质,所以
、
的最小公倍数为
,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:
(1)
,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;
(2)最大公约数是
、
、
、
及最小公倍数的约数.
2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
,此性质比较简单,学生比较容易掌握。
3.对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为
(1)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如:
,210就是567的最小公倍数
(2)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如:
,而6,7,8的最小公倍数为
性质(3)不是一个常见考点,但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系,即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
【例1】写出72的所有因数,写出72的所有质因数。
【巩固】写出48的所有因数,写出48的所有质因数。
【例2】用短除法对90进行分解质因数。
【巩固】用短除法对90进行分解质因数。
【例3】求(28,36)和[28,36]
【巩固】求(40,50)和[40,50]
【例4】填空:
(1)A、B都是自然数,如果A÷B=5,A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(2)如果m和n是互质数,那么它们的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(3)数a和数b是互质数,它们的最小公倍数是最大公因数的()倍。
(4)A=2×3×a,B=2×a×7,已知A、B的最大公约数是6,那么a=( );A和B的最小公倍数是( )。
(5)两个数的积是96,它们的最大公因数是4,则它们的最小公倍数是()。
【巩固】填空:
(1)A、B都是自然数,如果A=6B,A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(2)如果a和b是互质数,那么它们的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(3)数m和数n是互质数,它们的最小公倍数是最大公因数的()倍。
(4)A=2×5×a,B=2×a×7,已知A、B的最大公约数是14,那么a=( );A和B的最小公倍数是( )。
(5)两个数的积是104,它们的最大公因数是8,则它们的最小公倍数是()。
【例5】三个连续自然数的和是30,这三个自然数分别是(),这三个数的最大公约数是(),最小公倍数是()。
【巩固】三个连续偶数的和是48,这三个偶数分别是(),这三个数的最大公约数是(),最小公倍数是()。
【例6】两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
【巩固】两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
【例7】两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
【巩固】已知两个数的积是3072,最大公约数是16,求这两个数。
【例8】用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
【巩固】用一个数去除20、30、45,都能整除,这个数最大是多少?
【例9】一所学校的同学排队做操,排成14行、16行、18行都正好能成长方形,这所学校至少有多少人?
【巩固】一个数用7、11、13除都能整除,这个数最小是多少?
【例10】一袋糖,平均分给15个小朋友或20个小朋友后,最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块?
【巩固】学校六年级有若干个同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人。
六年级最少多少人?
【例11】有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1。
这个自然数最小是多少?
【巩固】有一批水果,总数在1000个以内。
如果每24个装一箱,最后一箱差2个;如果每28个装一箱,最后一箱还差2个;如果每32个装一箱,最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个?
【例12】一个数能被3、5、7整除,但被11除余1。
这个数最小是多少?
【巩固】一个数能被2、3、7整除,但被5除余2。
这个数最小是多少?
【例13】一个长方体长27厘米、宽18厘米、高15厘米,要把它切成大小相等的正方体小块,要求正方体的棱长是整厘米数,那么这些小正方体的棱长最多是多少厘米?
【巩固】一个长方体长30厘米、宽20厘米、高15厘米,要把它切成大小相等的正方体小块,要求正方体的棱长是整厘米数,那么这些小正方体的棱长最多是多少厘米?
【例14】一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?
【巩固】用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?
【例15】从学校到少年宫的这段公路上,一共有37根电线杆,原来每两根电线杆之间相距50米,现在要改成每两根之间相距60米,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动?
【巩固】插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米,现在改为5米。
如果起点一面不移动,还可以有几面不移动?
【作业1】写出60的所有因数,写出60的所有质因数
【作业2】用短除法对48进行分解质因数
【作业3】求(60,72)和[60,72]
【作业4】填空:
(1)A、B都是自然数,如果A=8B,A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(2)如果a和b是互质数,那么它们的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(3)数m和数n是互质数,它们的最小公倍数是最大公因数的()倍。
(4)A=3×5×a,B=2×a×7,已知A、B的最大公约数是14,那么a=( );A和B的最小公倍数是( )。
(5)两个数的积是60,它们的最大公因数是3,则它们的最小公倍数是()。
【作业5】三个连续奇数的和是21,这三个奇数分别是(),这三个数的最大公约数是(),最小公倍数是()。
【作业6】两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
【作业7】已知两个数的积是1014,最大公约数是13,求这两个数。
【作业8】用一个数去除40、50、60,都能整除,这个数最大是多少?
【作业9】一个数用8、10、16除都能整除,这个数最小是多少?
【作业10】有一批乒乓球,总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个?
【作业11】一盒围棋子,4颗4颗数多3颗,6颗6颗数多5颗,15颗15颗数多14颗,这盒棋子在150至200颗之间,问共有多少颗?
【作业12】一个数能被4、5、6整除,但被7除余5。
这个数最小是多少?
【作业13】有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?
【作业14】一个长方体长20厘米、宽16厘米、高12厘米,要把它切成大小相等的正方体小块,要求正方体的棱长是整厘米数,那么这些小正方体的棱长最多是多少厘米?
【作业15】一行小树苗,从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树,由于小树长大了,必须改为每隔5米植一棵。
如果两端不算,中间有几棵不必移动?
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