高中数学第一章三角函数121任意角的三角函数1学案新人教A版必修408223162.docx
- 文档编号:25666313
- 上传时间:2023-06-11
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:47.44KB
高中数学第一章三角函数121任意角的三角函数1学案新人教A版必修408223162.docx
《高中数学第一章三角函数121任意角的三角函数1学案新人教A版必修408223162.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章三角函数121任意角的三角函数1学案新人教A版必修408223162.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第一章三角函数121任意角的三角函数1学案新人教A版必修408223162
1.2.1 任意角的三角函数
(一)
学习目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义(重点).2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同的角的同一三角函数值相等(难点).
知识点1 三角函数的概念
1.任意角的三角函数的定义
前提
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)
定义
正弦
y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y
余弦
x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x
正切
叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数
2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α∈R且α≠kπ+,k∈Z}
【预习评价】
已知角α的终边经过点(-,-),则sinα=________,cosα=________,tanα=________.
解析 因为(-)2+(-)2=1,所以点(-,-)在单位圆上,由三角函数的定义知sinα=-,cosα=-,tanα=.
答案 - -
知识点2 三角函数值在各象限的符号
口诀概括为:
一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
【预习评价】
三角函数在各象限的符号由什么决定?
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此,三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.
知识点3 诱导公式一
1.语言表示:
终边相同的角的同一三角函数的值相等.
2.式子表示:
【预习评价】
计算:
sin(2π+)=________,cos=________.
解析 sin(2π+)=sin=,cos=cos(6π+)=cos=.
答案
考查
方向
题型一 任意角的三角函数的定义及应用
方向1 三角函数定义的直接应用
【例1-1】 在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,求tanα.
解 由题意,设点A的坐标为(x,),所以x2+()2=1,
解得x=或-.
当x=时,角α在第一象限,tanα==;
当x=-时,角α在第二象限,tanα==-.
方向2 含参数的三角函数定义问题
【例1-2】 已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.
解 r==5|a|,
①若a>0,则r=5a,角α在第二象限.
sinα===,cosα===-,
所以2sinα+cosα=-=1.
②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
sinα==-,cosα==.
所以2sinα+cosα=-+=-1.
方向3 已知三角函数值求参数值
【例1-3】 已知角α的终边经过点P(5m,12),且cosα=-,则m=________.
解析 cosα=-<0,则α的终边在第二或三象限,又点P的纵坐标是正数,所以α是第二象限角,所以m<0,由=-,解得m=-1.
答案 -1
规律方法 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值;
②在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sinα=,cosα=.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
题型二 三角函数在各象限的符号问题
【例2】
(1)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0,则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 由sinθ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的正半轴重合.由tanθ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
答案 D
(2)判断下列各式的符号:
①tan191°-cos191°;②sin2·cos3·tan4.
解 ①因为191°是第三象限角;
所以tan191°>0,cos191°<0.
所以tan191°-cos191°>0.
②因为2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角.
所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.
所以sin2·cos3·tan4<0.
规律方法 三角函数值符号的判断问题:
(1)由三角函数的定义可知sinα=,cosα=,tanα=(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x,y)的坐标确定的,故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题,应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限,则它们的公共象限即为所求.
【训练1】 判断下列三角函数值的符号:
(1)sin3,cos4,tan5;
(2)sin(cosθ)(θ为第二象限角).
解
(1)∵<3<π<4<<5<2π,
∴3,4,5分别在第二、三、四象限,
∴sin3>0,cos4<0,tan5<0.
(2)∵θ是第二象限角,∴-<-1 ∴sin(cosθ)<0. 题型三 诱导公式一的应用 【例3】 求下列各式的值: (1)cos+tan(-); (2)sin810°+tan1125°+cos420°. 解 (1)原式=cos(8π+)+tan(-4π+) =cos+tan=+1=; (2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+60°)=sin90°+tan45°+cos60° =1+1+=. 规律方法 利用诱导公式一化简求值的步骤 (1)定形: 将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z. (2)转化: 根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值: 若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值. 【训练2】 求下列各式的值: (1)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°; (2)sin+cos·tan4π. 解 (1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin45°cos30°+cos60°sin30°=×+×=+=. (2)原式=sin+cos·tan(4π+0)=sin+cos×0=. 课堂达标 1.sinπ等于( ) A.B. C.-D.- 解析 sinπ=sin(4π+)=sin=. 答案 A 2.若sinα·cosα<0,则α的终边在( ) A.第一或第二象限B.第一或第三象限 C.第一或第四象限D.第二或第四象限 解析 若sinα>0,cosα<0,则α的终边在第二象限; 若sinα<0,cosα>0,则α的终边在第四象限,故选D. 答案 D 3.已知角α的终边经过点(3,-4),则sinα+cosα的值为________. 解析 易知r==5,所以sinα=-,cosα=,故sinα+cosα=-. 答案 - 4.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cosα=,则tanα=________. 解析 ∵cosα==, ∴=5.∴y2=16,∵y<0,∴y=-4,∴tanα=-. 答案 - 5.已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的三角函数值. 解 因为x=2,y=-3, 所以r==. 于是sinα===-, cosα===, tanα==-. 课堂小结 1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数. 2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关,角α所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 3.终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同,更不一定有两角相等. 基础过关 1.cos1110°的值为( ) A.B. C.-D.- 解析 cos1110°=cos(3×360°+30°)=cos30°=. 答案 B 2.若角α的终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是( ) A.tanαB.sinα C.cosαD.都有意义 解析 由三角函数的定义sinα=,cosα=,tanα=,可知tanα无意义. 答案 A 3.设角α终边上一点P(-4a,3a)(a<0),则2sinα+cosα的值为( ) A.B.或- C.-D.与a有关 解析 ∵a<0,∴r==5|a|=-5a, ∴cosα==,sinα==-,∴2sinα+cosα=-. 答案 C 4.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第________象限. 解析 因为点P(tanα,cosα)在第三象限,则tanα<0且cosα<0,故角α的终边在第二象限. 答案 二 5.求值: cos+tan(-)=________. 解析 原式=cos(2π+)+tan(2π-) =cos+tan=+=. 答案 6.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα-3cosα+tanα的值. 解 当角α的终边在射线y=-x(x>0)上时,取终边上一点P(4,-3),所以点P到坐标原点的距离r=|OP|=5, 所以sinα===-, cosα==,tanα==-. 所以sinα-3cosα+tanα =---=-. 当角α的终边在射线y=-x(x<0)上时,取终边上一点P′(-4,3), 所以点P′到坐标原点的距离 r=|OP′|=5, 所以sinα==,cosα==-,tanα===-. 所以sinα-3cosα+tanα=-3×-=+-=. 7.求下列各式的值: (1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-2abcos(-1080°); (2)tan405°-sin450°+cos750°. 解 (1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-2abcos(-3×360°+0°)= a2sin90°+b2tan45°-2abcos0° =a2+b2-2ab=(a-b)2. (2)tan405°-sin450°+cos750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)= tan45°-sin90°+cos30°=1-1+=. 能力提升 8.已知角α的终边经过点P(m,-3),且cosα=-,则m等于( ) A.-B. C.-4D.4 解析 cosα==-,解得m=-4(m=4不合题意,舍去). 答案 C 9.某点从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动π弧长到达Q点,则Q点的坐标为( ) A.B. C.D. 解析 由三角函数定义可得: Q, cos=-,sin=. 答案 A 10.如果角α的终边经过点(2sin30°,-2cos30°),则sinα=________. 解析 所给点的坐标为(1,-),故sinα=-. 答案 - 11.使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角. 解析 要使原式有意义,必须cosαtanα>0, 即需cosα,tanα同号, 所以α是第一或第二象限角. 答案 一或二 12.判断下列各式的符号: (1)sin340°cos265°; (2)sin4tan; (3)(θ为第二象限角). 解 (1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角, ∴sin340°<0,cos265°<0, ∴sin340°cos265°>0. (2)∵π<4<,∴4是第三象限角, ∵-=-6π+, ∴-是第一象限角. ∴sin4<0,tan>0, ∴sin4tan<0. (3)∵θ为第二象限角, ∴0 ∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0, ∴<0. 13.(选做题)已知=-,且lg(cosα)有意义. (1)试判断角α所在的象限; (2)若角α的终边与单位圆相交于点M(,m),求m的值及sinα的值. 解 (1)∵=-, ∴sinα<0,① 由lg(cosα)有意义, ∴cosα>0.② 由①②得,角α在第四象限. (2)∵点M(,m)在单位圆上, ∴()2+m2=1,解得m=±. 又α是第四象限角, ∴m<0,∴m=-. 由三角函数定义知,sinα=-. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 三角函数 121 任意 新人 必修 408223162