力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡专题.docx
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力的合成与分解共点力作用下的物体的平衡专题
专题二:
力的合成与分解共点力作用下的物体的平衡
一、绳断问题
例1:
一根长为L的易断的均匀细绳,两端固定在天花板上的A、B两点。
若在细绳的C处悬一重物,已知AC>CB,如图所示。
则下列说法中正确的应是()
A.增加重物的重力,BC段先断
B.增加重物的重力,AC段先断
C.将A端往左移比往右移时绳子容易断
D.将A端往右移时绳子容易断
例2:
两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板的M、N点,M、N两点间的距离为s,如图所示,已知两绳所能经受的最大拉力均为T,则每根绳的长度不得短于______。
练习:
如图1—5—10所示,AO、BO、CO是完全相同的三条绳子,将一根均匀的钢梁吊起,当钢梁足够重时,结果AO先断,求BO与CO间夹角满足的条件?
°
例3:
如图所示,绳子AB能承受的最大拉力为100N,用它悬挂一个重50N的物体,现在其中点O施加一水平力F缓慢向右拉动,当绳子断裂时AO段与竖直方向的夹角为多大?
此时水平力F的大小为多少?
二、静态平衡问题
例1:
如图甲所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。
一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。
两小球的质量比
为()
A.
B.
C.
D.
解析:
此题设计巧妙,考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力,要求考生对于给出的具体事例,选择小球m1为对象,分析它处于平衡状态,再用几何图形处理问题,从而得出结论。
小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。
如图乙所示,由平衡条件得,F1=F2,
,得
。
故选项A正确。
练习:
两个力合力的大小随这两个力夹角θ变化的情况如图所示,由图中提供的数据求出这两个力的大小.
解析:
由题意知,F1、F2夹角为π时,F1、F2的合力为1N,夹角为
时,F1、F2的合力为5N,所以,
F1-F2=1①
=5②
由①②得:
F1=4N,F2=3N
答案:
4N;3N
例2:
如图
(1)所示,小球质量为m,用两根轻绳BO、CO系好后,将绳固定在竖直墙上,在小球上加一个与水平方向夹角60°的力F,使小球平衡时,两绳均伸直且夹角60°.则力F的大小应满足什么条件?
图
(1)图
(2)图(3)
解析:
本题为静力学类问题,并有临界条件需分析,当F力太小时,CO线会松驰,当FCD=0时物体受力如图
(2)有Fminsin60°×2=mg
所以Fmin=
mg
当F力太大时,OB线会松弛,当FOB=0时
受力如图(3)所示
所以Fmax=
mg
综上所述F应满足的条件为:
mg≤F≤
mg
点评:
静力学类问题,首要任务应认真画出各状态物体的受力图,再据受力图用正交分解等方法进行运算.临界点的正确判定是解题的关键.
练习:
用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来,如图1—2—7所示,今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力,对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力,最后达到平衡,表示平衡状态的图1—2—8中的()
解析:
方法1:
分别以小球a、b为研究对象.小球b受到重力m2g、外加恒力F2.线中张力FT2,平衡时,F2与FT2的合力必与m2g等值反向.小球a受到重力m1g、外加恒力F1、线中张力FT1、以及上面悬线张力FT(方向未定).由于FT1与FT2、F1与F2等值反向,因此,FT1与F1的合力R1也必定与R2等值反向,即为竖直向下,与m1g同向.由此可见,小球a平衡时上面悬线的张力FT也应在竖直方向(图1—2—9).
图1—2—9
方法2:
以小球a、b和它们之间的连线组成的整体为研究对象.这一整体受到的外力有:
重力m1g、m2g,外加恒力F1、F2,上面悬线弹力FT(方向未定).由于F1、F2等值反向,互相抵消.平衡时,悬线弹力FT必与两重力(m1+m2)g等值反向,即悬线应在竖直位置(图1—2—10).选项A正确.
图1—2—10
三、动态平衡问题
1、图解法:
例题:
如图所示,把球夹在竖直墙AC和木板BC之间,不计摩擦,球对墙的压力为FN1,球对板的压力为FN2.在将板BC逐渐放至水平的过程中,下列说法中,正确的是()
A.FN1和FN2都增大
B.FN1和FN2都减小
C.FN1增大,FN2减小
D.FN1减小,FN2增大
解析:
虽然题目中的FN1和FN2涉及的是墙和木板的受力情况,但研究对象还只能取球.由于球处于一个动态平衡过程,FN1和FN2都是变力,画受力图可以先画开始时刻的,然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律.
方法1:
球所受的重力G产生的效果有两个:
对墙的压力FN1和对板的压力FN2.根据G产生的效果将其分解.如图甲所示,则F1=FN1,F2=FN2.从图中不难看出,当板BC逐渐被放平的过程中,FN1的方向保持不变而大小逐渐减小,FN2与G的夹角逐渐变小,其大小也逐渐减小.因此本题的正确答案为B.
图甲图乙
方法2:
由于球处于平衡状态,所以弹力FN1、FN2的合力F跟重力是一对平衡力,大小、方向均不变,如图甲所示,画出力的矢量三角形如图乙所示,在板BC逐渐放至水平的过程中,除合力F恒定外,墙对球的弹力FN1的方向也不改变,而FN2绕O点为轴顺时转动,α角逐渐减小到0,不难看出,FN1、FN2都逐渐减小,当木板水平时,
FN1=0,FN2=G
方法3:
由图图乙得
FN1=Ftanα=Gtanα
FN2=
由这个表达式不难看出,在BC木板逐渐转成水平的过程中,α角减小,FN1、FN2都逐渐减小.
点评:
利用图解法分析动态平衡问题,具有直观、简便等优点,但在使用中有两点需要注意:
1.本方法所适用的基本上都是“三力平衡”问题,且物体所受的三力中,有一个恒力(如G),还有一个是方向不变仅大小变的力(如FN1),另一个则是大小和方向都变的力(如FN2).否则,用图解法分析不一定简便.
2.作图时要规范,也可仅讨论其中的一个三角形,要特别注意方向变化的那个力,要切实搞清其方向变化的范围.
2、平衡方程式法:
例题:
人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船,若水的阻力不变,则船在匀速靠岸的过程中,下列说法中正确的是
(A)绳的拉力不断增大
(B)绳的拉力保持不变
(C)船受到的浮力保持不变
(D)船受到的浮力不断减小
解析:
船受到四个力的作用:
重力mg、阻力f、浮力F、拉力T,受力分析如图所示,由于小船匀速靠岸,所以受力平衡,正交分解有;
解得:
T=f/cosθ,F=mg-ftgθ.
在船靠岸的过程中,θ角不断变大,根据三角函数关系可以判断:
T不断变大,F不断变小,正确答案为(A)、(D).
点评:
平衡方程式法适用于三力以上力的平衡,且有一个恒力,通过它能够建立恒定不变的方程式。
根据其中一个力的变化情况,求出另一个力的变化情况。
练习1:
如图所示,一个重为G的匀质球放在光滑斜直面上,斜面倾角为α,在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态.今使板与斜面的夹角β缓慢增大,问:
在此过程中,球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化?
解析:
解法1:
(解析法)
选球为研究对象,球受三个力作用,即重力G、斜面支持力
、挡板支持力
,受力分析如图4—2—7所示,由平衡条件可得
cos(90°-α-β)-
sinα=0①
cosα-
sin(90°-α-β)-G=0②
联立求解并进行三角变换可得
=
讨论:
(1)对
:
①(α+β)<90°,β↑→cot(α+β)↓→
↓
②(α+β)>90°,β↑→|cot(α+β)|↑→
↓
(2)对
:
①β<90°,β↑→sinβ↑→
↓
②β>90°,β↑→sinβ↓→
↑
综上所述:
球对斜面的压力随β增大而减小;球对挡板的压力在β<90°时,随β增大而减小;在β>90°时,随β增大而增大;当β=90°时,球对挡板的压力最小.
解法2:
(图解法)
取球为研究对象,球受重力G、斜面支持力FN1、挡板支持力FN2.因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零,三个力构成封闭的三角形,当挡板逆时针转动时,FN2的方向也逆时针转动,作出如图4—2—8所示的动态矢量三角形,由图可见,FN2先减小后增大,FN1随β增大而始终减小.
点评:
(1)从上例的分析可以看出,解析法严谨,但演算较繁,解析法多用于定量分析.图解法直观、鲜明,多用于定性分析.
(2)解答此类“动态型”问题时,一定要认清哪些因素保持不变,哪些因素是改变的,这是解答动态问题的关键.
四、求力的变化情况
例1:
如图4—2—12所示,用轻线将质量分别为mA、mB的A、B两物块连接起来,并跨在定滑轮上,现用水平向右的力F拉A物,试问:
若使A物缓缓向右沿水平桌面移动,拉力F的大小如何变化?
解析:
缓缓移动时,A、B都看做近乎静止,合力均为零,所以线的拉力为T=mBg,此时对A受力分析如下图所示.由ΣF=0得
F=F′sinα+Ff=F′sinα+μN
=F′sinα+μ(mAg-F′cosα)
=μmAg+mBg(sinα-μcosα)
当α从0°增大,最后趋近于90°,F从F=μ(mAg-mBg)开始增大,最后趋近于
F=μmAg+mBg
例2:
如图,轻绳的A端绕过固定在天花板上的小滑轮,握在站在地上的人手中,B端系一重为G的小球,小球靠在固定的光滑半球的侧面上,人将小球缓缓沿球面从D拉至顶点C的过程中,下列判断正确的是
①人的拉力逐渐变大
②球面对球的支持力逐渐变小
③人的拉力逐渐变小
④球面对球的支持力大小不变
A.①②B.③④
C.①④D.②③
解析:
小球被拉到任意位置时,受力如下图所示.由力的三角形和几何三角形相似得
所以FN=
·mgF=
mg
在缓慢拉起过程中,OO′、R不变,故FN不变.而O′B变小,故F变小.故选B.
例3:
有一个直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙,OB竖直向下,表面光滑。
AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m,两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡(如图所示)。
现将P环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是
A.FN不变,f变大B.FN不变,f变小
C.FN变大,f变大D.FN变大,f变小
解析:
以两环和细绳整体为对象求FN,可知竖直方向上始终二力平衡,FN=2mg不变;以Q环为对象,在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡,设细绳和竖直方向的夹角为α,则P环向左移的过程中α将减小,N=mgtanα也将减小。
再以整体为对象,水平方向只有OB对Q的压力N和OA对P环的摩擦力f作用,因此f=N也减小。
答案选B。
例4:
如图,细绳AO、BO等长,A点固定不动,在手持B点沿圆弧向C点缓慢运动过程中,绳BO的张力将()
A.不断变大
B.不断变小
C.先变小再变大
D.先变大再变小
解析:
方法一:
画出结点O的受力如图所示,由O点静止有:
TAsinα=TBsinβ
TAcosα+TBcosβ=G
TB=
α角一定,β角从90°减小到0°的过程中,sin(α+β)先增大,后减小,所以TB是先变小,再变大。
故C选项正确。
方法二:
由于G的大小和方向不变,TA的方向不变,而TA和TB的合力与G大小相等方向相反,画出矢量三角形如图所示。
从图中可知:
TB先减小后增大。
答案:
C
点评:
物体在三个共点力的作用下平衡,其中一个力的大小和方向不变,一个力的方向不变,讨论另外一个力的大小如何变化,或者求另外一个力的极值问题,一般用方法二先分析“极值点”,再求极值。
例5:
建筑工人要将建筑材料运送到高处,常在楼顶装置一个定滑轮(图中未画出),用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处,为了防止建筑材料与墙壁相碰,站在地面上的工人还另外用绳CD拉住材料,使它与竖直墙面保持一定的距离L,如图所示,若不计两根绳的重力,在建筑材料提起的过程中,绳AB和CD的拉力T1和T2的大小变化情况是()
A.T1增大,T2增大
B.T1增大,T2不变
C.T1增大,T2减小
D.T1减小,T2减小
解析:
以C点为研究对象,对其进行受力分析,受力图如图所示,建立坐标系,由平衡条件可得:
设绳AC与竖直方向的夹角为θ,tanθ=
,其中AE不变,CE单调变小,所以θ单调增大,如图所示,由①②式得mg=T2(cotθsinα-cosα),当α变小,cosα变大,sinα变小,θ变大,cotθ变小,故(cotθsinα-cosα)减小,T2增大,由②式得T1增大,故A项正确。
答案:
A
点评:
①作出物体的运动情景图是本题的一个关键点。
②作出受力图,应用共点力平衡条件分析,T1、T2的方向角α与θ如何变化是解题的突破口,设CD与竖直方向的夹角为α,tanα=
,其中DF不变,CF单调增大,α单调减小。
更简单的思维方法是:
因α变小,θ变大,则∠DCA变大,由于T1与T2的合力大小等于物体所受重力大小(合力一定),分力T1与T2必变大。
例6:
如图所示,保持θ不变,将B点向上移,则BO绳的拉力将()
A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.先减小后增大
D.先增大后减小
解析:
对结点O受力分析如图甲所示.由于结点O始终处于平衡状态,合力为零,故F1、FB、FA经过平移可构成一个矢量三角形,其中F1=mg,其大小和方向始终不变;FA方向也不变,大小可变;FB的大小、方向都在变.在绳向上偏移的过程中,可能作出一系列矢量三角形如图乙所示,显而易见在FB变化到与FA垂直前,FB是逐渐变小的,然后FB又逐渐变大.同时看出FA是逐渐变小的,故C正确.应用此方法可解决许多相关动态平衡问题.
甲乙
答案:
C
五、求力的取值范围
例题:
跨过定滑轮的轻绳两端,分别系着物体A和物体B,物体A放在倾角为θ的斜面上(如图(甲)所示),已知物体A的质量为m,物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ 解析: 先选物体B为研究对象,它受到重力mBg和拉力T的作用,根据平衡条件有: T=mBg① 再选物体A为研究对象,它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用,假设物体A处于将要上滑的临界状态,则物体A受的静摩擦力最大,且方向沿斜面向下,这时A的受力情况如图(乙)所示,根据平衡条件有: N-mgcosθ=0② T-fm-mgsinθ=0③ 由摩擦力公式知: fm=μN④ 以上四式联立解得mB=m(sinθ+μcosθ) 再假设物体A处于将要下滑的临界状态,则物体A受的静摩擦力最大,且方向沿斜面向上,根据平衡条件有: N-mgcosθ=0⑤ T+fm-mgsinθ=0⑥ 由摩擦力公式知: fm=μN⑦ ①⑤⑥⑦四式联立解得mB=m(sinθ-μcosθ) 综上所述,物体B的质量的取值范围是: m(sinθ-μcosθ)≤mB≤m(sinθ+μcsθ) 练习1: 把一个力分解为两个力F1和F2,已知合力F=40N,分力F1与合力F的夹角为 30°。 若F2取某一数值,可使F1有两个大小不同的数值,则F2的取值范围是。 解析: 作出合力与分力的矢量图,由图来分析分力F2的动态变化情况。 如图所示,当F2>Fsin30°=20N的某一值时(如图中AC=AD,表示F2的大小),则F1必有两解(OC和OD分别为F1对应的值)。 但当F2逐渐增大到F2≥F时,则Fl便只有一解了。 所以F2的取值范围应为20N 练习2: 用与竖直方向成α=30°斜向右上方,大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。 求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。 解析: 从分析木块受力知,重力为G,竖直向下,推力F与竖直成30°斜向右上方,墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡,所以N=F/2,墙对木块的摩擦力是静摩擦力,其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定: 当 时,f=0;当 时, ,方向竖直向下;当 时, ,方向竖直向上。 练习3: 如图所示,用光滑的粗铁丝做成一直角三角形,BC水平,AC边竖直,∠ABC=α,AB及AC两边上分别套有细线套着的铜环,当它们静止时,细线跟AB所成的角θ的大小为(细线长度小于BC) A.θ=α B.θ> C.θ<α D.α<θ< 解析: 若铜环Q质量为零,则它仅受线的拉力和铁丝AC的弹力,它们是一对平衡力,由于铁丝对Q环的弹力垂直于AC,则细线必定垂直于AC,此时θ=α,由于Q环的质量大于零,故θ>α,同样的道理,若铜环P的质量为零,则θ= ,而铜环P的质量大于零,则θ< ,故α<θ< .选项D正确. 答案: D 六、用力的合成与分解求解平衡问题: 1、直角三角形法: 适用于对三力构成直角三角形进行分解,利用三角函数关系求解。 例1: 重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。 静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。 求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。 解: 以AC段绳为研究对象,根据判定定理,虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点(如图中的A、C、P点),但它们必为共点力。 设它们延长线的交点为O,用平行四边形定则作图可得: 例2: 量为m的匀质正方形木板平放在动摩擦因数为μ的水平面上,现将其割成如图所示的三部分,现用力F沿水平方向垂直于A的底边推A,为使三块不分离,且一起匀速运动,求A对C的摩擦力的大小。 解析: 分析C在水平方向的受力如图所示,由整体法知 fC= 由C处于平衡状态知 fAC=fCcosθ 由几何三角形知 cosθ= 即fAC= 答案: fAC= 练习: 两根等长的细线,一端拴在同一悬点O上,另一端各拴一个小球,两球质量分别为m1和m2,两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度,分别为45°和30°,如图所示,则m1: m2=___________ 解析: 两线张开的角度一定,说明两球处于静止状态,即每一小球所受合外力为零,据此可分别找出它们的重力与相互间恒定斥力的关系,进而求解质量关系。 分别分析m1、m2受力情况如图所示,因为两线等长,所以∠OAB=∠OBA=α,利用正弦定理有: 对m1: F/sin45°=m1g/sinα ① 对m2: F/sin30°=m2g/sinα ② ①/②得m1/m2=sin30°/sin45° 即m1: m2=1: 答案: 1: 2、相似三角形法: 适用于对三力构成的斜三角形进行分解,找出与力的矢量三角形相似的三角形及其边角关系,用相似三角形对应边成比例求解。 例题: 如图5所示,轻绳长为L,A端固定在天花板上,B端系一个重量为G的小球,小球静 止在固定的半径为R的光滑球面上,小球的悬点在球心正上方距离球面最小距离为h,则轻绳对小球的拉力和半球体对小球的支持力分别是多大? 解: 由图6可知: △BCD∽△AOB G/(R+h)=N/R=T/L N=GR/(R+h) T=GL/(R+h) 练习: 如图所示,光滑半球的半径为R,有一质量为m的小球用一细线挂靠在半球上,细线上端通过一个定滑轮,当用力将小球缓慢往上拉的过程中,细线对小球的拉力大小F1和小球紧压球面的力F2变化情况是() A.两者都变小 B.两者都变大 C.F变小,F2不变 D.F不变,F2变小 解析: 当小球往上移动的过程中,小球所受的重力不变,拉力F与重力的分力F1大小相等方向相反,并且随着小球上移,Fl与F2的方向均发生变化,此时力的平行四边形的形状变化规律不直观,力随角度变化的关系也难建立。 而此处所求的力的变化关系是由于OA段细线缩短引起的,因此可建立与OA线段长之间的变化关系。 如图7所示,设OA段长为L,小球半径为r,O点到半球顶的距离为d。 利用三角形相似得 当小球往上移动时,L减小,d、r和R都不变,因此F1减小(即F减小)F2不变,故选项C正确。 答案: C 3、正交分解法: 适用于对较复杂的多力平衡问题进行分解,列出平衡方程式求解。 一般以较多已知力的方向建立直角坐标系。 例题: 如图,绳AO能承受的最大张力为150牛顿,绳BO能承受的最大张力为100牛顿,绳CO的强度能吊起足够重的重物.α=60°,β=30°,求此装置能悬挂的最大重物是多少牛顿? 解: 以绳的结点O为研究对象,其受力情况如图,建立正交坐标系可得: ① ② 由①、②得 ③ 由题意: 当 时, .OA绳子断; 当 时, ,OB绳还未断.故保证OA、OB皆完全的最大受力情况是: OA绳拉力小于150N,将 代入①式 解得: 即此装置能悬挂的最大重物为 N. 点评: ①此题的正交坐标系也可以以水平和坚直方向为轴建立,再列平衡方程求解. ②这类涉及最值的问题,用极端假设的方法来分析能够简化解题过程. 练习: 如图,甲为质量m=5kg的物体,置于倾角为θ=30°的粗糙斜面上,M=40kg.用平行于斜面的大小为40牛顿的力推物体,使其沿斜面向上匀速运动M仍静止不动.求地面对斜面M的静擦力是多大? 解析: 方法一: 对m、M分别受力分析如图.对m有: ①, ② 代入数据解得: , . 对M列水平方向平衡方程,得: ③ 又因为 , , 代入③式解得 方法二: 将m、M看作一个整体,该整体处于平衡状态,受力分析如图: 列水平方向平衡方程: 得 .
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