版高中数学 第三章 概率 321 古典概型学案 新人教A版必修3.docx

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版高中数学第三章概率321古典概型学案新人教A版必修3

3.2.1　古典概型

1．了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．（易错易混点）

2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．（难点）

3．会用列举法求古典概型的概率．（重点）

[基础·初探]

教材整理1　基本事件的特点

阅读教材P125例1以上的部分，完成下列问题．

1．任何两个基本事件是互斥的．

2．任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有（　　）

A．1个　　　B．2个　　　

C．3个　　　D．4个

【解析】　基本事件有（数学，计算机），（数学，航空模型），（计算机，航空模型）共3个．

【答案】　C

教材整理2　古典概型

阅读教材P126～P127“探究”以上的部分，完成下列问题．

1．古典概型的特点

如果某类概率模型具有以下两个特点：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等．

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

2．古典概型的概率公式

对于任何事件A，P（A）＝

.

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．（　　）

（2）“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．（　　）

（3）从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．（　　）

（4）一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是

.（　　）

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）

A.

　　　B.

C.

　　　D.

【解析】　基本事件有：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：

P＝

＝

.

【答案】　C

3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．

【解析】　从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为

.

【答案】　

[小组合作型]

基本事件和古典概型的判断

（1）抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是（　　）

A．向上的点数是奇数

B．向上的点数是3

C．向上的点数是4

D．向上的点数是6

（2）下列是古典概型的是（　　）

A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件

C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

【精彩点拨】　结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型要两个特征——有限性和等可能性．

【尝试解答】　

（1）向上的点数是奇数包含三个基本事件：

向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．故选A.

（2）A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．

【答案】　

（1）A　

（2）C

1．基本事件具有以下特点：

①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．

2．判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．

[再练一题]

1．下列试验是古典概型的为________.

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

【解析】　①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．

【答案】　①②④

基本事件的计数问题

　有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：

用（x，y）表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“朝下点数之和大于3”；

（3）事件“朝下点数相等”；

（4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．

【精彩点拨】　根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．

【尝试解答】　

（1）这个试验的基本事件为：

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．

（2）事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．

（3）事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：

（1,1），（2,2），（3,3），（4,4）．

（4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：

（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（2,3），（3,2），（3,3），（3,4），（4,3），（4,4）．

1．在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写．

2．确定基本事件是否与顺序有关．

3．写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法．

[再练一题]

2．连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．

（1）写出这个试验的所有基本事件；

（2）求这个试验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？

【解】　

（1）这个试验包含的基本事件有：

（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）．

（2）这个试验包含的基本事件的总数是8.

（3）“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：

（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）．

简单的古典概型的概率计算

　袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．

（1）写出所有不同的结果；

（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；

（3）求至少摸出1个黑球的概率．

【精彩点拨】　

（1）可以利用初中学过的树状图写出；

（2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；（3）找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．

【尝试解答】　

（1）用树状图表示所有的结果为：

所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，

则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，

所以P（A）＝

＝0.6，

即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.

（3）记“至少摸出1个黑球”为事件B，

则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，

所以P（B）＝

＝0.7，

即至少摸出1个黑球的概率为0.7.

1．求古典概型概率的计算步骤

（1）确定基本事件的总数n；

（2）确定事件A包含的基本事件的个数m；

（3）计算事件A的概率P（A）＝

.

2．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：

一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．

[再练一题]

3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：

（1）三次颜色恰有两次同色；

（2）三次颜色全相同；

（3）三次摸到的红球多于白球．

【解】　每个基本事件为（x，y，z），其中x，y，z分别取红、白球，故基本事件个数n＝8个．全集I＝{（红，红，红），（红，红，白），（红，白，红），（白，红，红），（红，白，白），（白，红，白），（白，白，红），（白，白，白）}．

（1）记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．

∵A中含有基本事件个数为m＝6，

∴P（A）＝

＝

＝0.75.

（2）记事件B为“三次颜色全相同”．

∵B中含基本事件个数为m＝2，

∴P（B）＝

＝

＝0.25.

（3）记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．

∵C中含有基本事件个数为m＝4，

∴P（C）＝

＝0.5.

[探究共研型]

基本事件的特征

探究1　为什么说基本事件是彼此互斥的？

【提示】　基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述．在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述．

探究2　基本事件的表示方法有哪些？

【提示】　写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．

古典概型的特征

探究3　古典概型有何特点？

何为非古典概型？

【提示】　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：

有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．

下列三类试验都不是古典概型：

（1）基本事件个数有限，但非等可能；

（2）基本事件个数无限，但等可能；

（3）基本事件个数无限，也不等可能．

探究4　举例说明古典概型的概率与模型选择无关？

【提示】　以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝

＝

；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝

.

　先后抛掷两枚大小相同的骰子．

（1）求点数之和出现7点的概率；

（2）求出现两个4点的概率；

（3）求点数之和能被3整除的概率．

【精彩点拨】　明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．

【尝试解答】　如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．

（1）记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：

（6,1），（5,2），（4，

3），（3,4），（2,5），（1,6）．故P（A）＝

＝

.

（2）记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即（4,4）．故P（B）＝

.

（3）记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：

（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（3,6），（6,3），（4,5），（5,4），（6,6）．故P（C）＝

＝

.

1．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数．

2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．

[再练一题]

4．抛掷两颗骰子，求：

（1）点数之和是4的倍数的概率；

（2）点数之和大于5小于10的概率．

【解】　如图，基本事件共有36种．

（1）记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：

（1,3），（2,2），（2,6），（3,1），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），（6,6），所以P（A）＝

.

（2）记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个．即（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1），（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），（3,6），（4,5），（5,4），（6,3）．所以P（B）＝

.

1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是（　　）

A．3　　　　B．4　　　　

C．5　　　　D．6

【解析】　事件A包含的基本事件有6个：

（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）．

【答案】　D

2．下列关于古典概型的说法中正确的是（　　）

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝

.

A．②④B．①③④

C．①④D．③④

【解析】　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．

【答案】　B

3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为（　　）

A.

B.

C.

D．1

【解析】　从甲、乙、丙三人中任选两人有：

（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝

.

【答案】　C

4．在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是________．

【解析】　∵4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，

∴P＝

＝

.

【答案】　

5．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：

（1）小球是不放回的；

（2）小球是有放回的．

分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．

【解】　随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），（5,6），（6,7），（7,8），（8,9），（9,10），（2,1），（3,2），（4,3），（5,4），（6,5），（7,6），（8,7），（9,8），（10,9）共18种．

（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果（x，y），共有可能结果90种．

因此，事件A的概率是

＝

＝

.

（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果（x，y），则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果100种．

因此，事件A的概率是

＝

.