高等数学下册的的试题与标准答案分析doc.docx
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高等数学(下册)试卷
(一)
一、填空题(每小题3分,共计24分)
1、z=loga(x2
y2)(a
0)
的定义域为D=
。
2、二重积分
ln(x2
y2)dxdy的符号为
。
|x||y|1
3、由曲线
y
lnx及直线x
ye1,y
1所围图形的面积用二重积分表示
为
,其值为
。
4、设曲线L的参数方程表示为
x
(t)
(
x
),则弧长元素ds
。
y
(t)
5、设曲面∑为x2
y2
9介于z
0及z
3间的部分的外侧,则
(x2
y2
1)ds
。
6、微分方程dy
y
tany的通解为
。
dx
x
x
7、方程y(4)
4y
0的通解为
。
8、级数
1
的和为
。
n1n(n
1)
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)
1、二元函数z
f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是(
)
(A)f(x,y)在(x0,y0)处连续;
(B)fx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在;
(C)zf
x
(
x
0
y
0
)
xf
y
(
x
0
y
0
)
y当
(
)
2
(
)
2
0
时,是无穷小;
x
y
(D)lim
z
fx(x0,y0)x
fy(x0,y0)y
0。
0
x
(
x)2
(
y)2
y
0
2、设u
yf(x)
xf(y),其中f
具有二阶连续导数,则
x
2u
y
2u
等于(
)
y
x
x2
y2
(A)x
y;
(B)x;
(C)y;
(D)0
。
3、设
:
x2
y2
z2
1,z
0,则三重积分I
zdV等于(
)
(A)42d
2d
1
3sincosdr;
r
0
0
0
.
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(B)
2d
d
1
r2sindr;
0
0
0
2
2d
1
3sin
cos
dr;
(C)
d
r
0
0
0
2
d
1
3sin
cos
dr。
(D)
d
r
0
0
0
4、球面x2
y2
z2
4a2与柱面x2
y2
2ax所围成的立体体积
V=(
)
(A)42d
2acos
4a2
r2dr;
0
0
(B)42d
2acos
r2dr;
0
r4a2
0
(C)82d
2acos
r2dr;
0
r4a2
0
2d
2acos
r2dr。
(D)
0
r4a2
2
5、设有界闭区域D由分段光滑曲线
L所围成,L取正向,函数
P(x,y),Q(x,y)在D
上具有一阶连续偏导数,则
PdxQdy
()
L
(A)
P
Q
(
)dxdy
D
y
x
(C)
(P
Q)dxdy
D
x
y
6、下列说法中错误的是(
;
(B)
(
Q
P
y
)dxdy;
D
x
;
(D)
(
Q
P)dxdy。
D
x
y
)
(A)方程xy2yx2y0是三阶微分方程;
(B)
dy
dy
ysinx是一阶微分方程;
方程y
x
dx
dx
(C)
方程(x2
2xy3)dx
(y2
3x2y2)dy
0是全微分方程;
(D)方程dy
1x
2y是伯努利方程。
dx
2
x
7、已知曲线y
y(x)经过原点,且在原点处的切线与直线
2x
y60平行,而y(x)
满足微分方程
y
2y
5y
0,则曲线的方程为
y
(
)
.
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(A)exsin2x;(B)ex(sin2xcos2x);
(C)ex(cos2xsin2x);(D)exsin2x。
8、设limnun
0
则
un(
)
n
n
1
(A)收敛;
(B)发散;
(C)不一定;
(D)绝对收敛。
三、求解下列问题(共计
15分)
1、(7分)设
f,g均为连续可微函数。
u
f(x,xy),vg(xxy),求
u,
u。
x
y
2、(8分)设u(x,t)
x
t
u,
u。
xt
f(z)dz,求
x
t
四、求解下列问题(共计
15分)。
1、计算I
2
2
y2
dy。
(7分)
dx
e
0
x
2、计算I
(x2
y2)dV,其中
是由x2y2
2z,z1及z
2所围成的空间
闭区域(8分)。
五、(13分)计算I
xdy
ydx
,其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经
L
x
2
y
2
过原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。
六、(9分)设对任意
x,y,f(x)满足方程f(xy)
f(x)f(y)
,且f(0)存在,求
1
f(x)f(y)
f(x)。
七、(8分)求级数
(1)n(x2)2n1
的收敛区间。
n1
2n1
.
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高等数学(下册)试卷
(二)
一、填空题(每小题
3分,共计
24
分)
1、设2sin(x
2y3z)
x
2y3z
z
z
,则
。
x
y
3
9
xy
。
2、lim
xy
x
0
y
0
3、设I
2
2x
f(x,y)dy,交换积分次序后,
I
dx
。
0
x
4、设f(u)为可微函数,且
f(0)
0,则lim
1
3
f(x2
y2)d
。
t
0
t
x2
y2t2
5、设L为取正向的圆周
x2
y2
4,则曲线积分
y(yex
1)dx
(2yex
x)dy
。
L
6、设A
(x2
yz)i
(y2
xz)j
(z2
xy)k,则divA
。
7、通解为y
c1ex
c2e2x的微分方程是
。
8、设f(x)
1,
x
0
,则它的Fourier展开式中的an
。
1,
0
x
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)。
xy2
4,
x
2
y
2
0
1、设函数f(x,y)
x
2
y
则在点(0,0)处(
)
0,
x2
y2
0
(A)连续且偏导数存在;
(B)连续但偏导数不存在;
(C)不连续但偏导数存在;
(D)不连续且偏导数不存在。
2、设u(x,y)在平面有界区域
D上具有二阶连续偏导数,且满足
2u
0
及
2u
2u
0
,
xy
x
2
y2
则(
)
(A)最大值点和最小值点必定都在
D的内部;
(B)最大值点和最小值点必定都在
D的边界上;
(C)最大值点在D的内部,最小值点在D的边界上;
(D)最小值点在D的内部,最大值点在D的边界上。
3、设平面区域D:
(x2)2
(y1)2
1,若I1
(xy)2d,I2(xy)3d
D
D
.
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则有(
)
(A)I1
I2;
(B)I1
I2;
(C)I1
I2;
(D)不能比较。
4、设
是由曲面z
xy,y
x,x
1及z
0所围成的空间区域,则
xy2z3dxdydz
=(
)
(A)1;
(B)1;
(C)1
;
(D)1。
361
362
363
364
5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为
x
(t)
(
t
),
y
(t)
其中
(t),
(t)在[
]上具有一阶连续导数,且
2(t)
2(t)
0,则曲线积
分
f(x,y)ds
(
)
L
(A)
f(
(t),
(t))dt;
(B)
f(
(t),
(t))
2(t)
2(t)dt
;
(C)
f(
(t),
(t))
2(t)
2(t)dt;
(D)
f(
(t),
(t))dt。
6、设
是取外侧的单位球面x2
y2
z2
1,
则曲面积分
xdydz
ydzdx
zdxdy=(
)
(A)0;
(B)
2
;
(C)
;
(D)4
。
7、下列方程中,设
y1,y2是它的解,可以推知
y1
y2也是它的解的方程是(
)
(A)
y
p(x)y
q(x)
0
;
(B)
y
p(x)y
q(x)y
0
;
(C)
y
p(x)y
q(x)y
f(x);
(D)
y
p(x)y
q(x)
0。
8、设级数an为一交错级数,则()
n1
(A)该级数必收敛;(B)该级数必发散;
(C)该级数可能收敛也可能发散;(D)若an0(n0),则必收敛。
三、求解下列问题(共计15分)
1、(8分)求函数uln(xy2z2)在点A(0,1,0)沿A指向点B(3,-2,2)
的方向的方向导数。
.
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2、(7分)求函数f(x,y)x2y(4xy)在由直线xy6,y0,x0所围成的闭
区域D上的最大值和最小值。
四、求解下列问题(共计
15分)
1、(7分)计算I
dv
,其中
是由x0,y
0,z0及xyz1
yz)3
(1x
所围成的立体域。
2、(8分)设f(x)为连续函数,定义F(t)[z2f(x2y2)]dv,
其中(x,y,z)|0zh,x2y2t2,求dF。
dt
五、求解下列问题(15分)
1、(8分)求I(exsinymy)dx(excosym)dy,其中L是从A(a,0)经
L
yaxx2到O(0,0)的弧。
2、(7分)计算I
x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中
是x2
y2
z2(0za)
的外侧。
六、(15分)设函数
(x)具有连续的二阶导数,并使曲线积分
[3(x)
2(x)xe2x]ydx(x)dy与路径无关,求函数(x)。
L
.
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高等数学(下册)试卷(三)
一、填空题(每小题
3分,共计
24分)
1、设u
yzt2
dt,则
u
。
e
z
xz
2、函数f(x,y)
xy
sin(x2y)在点(0,0)处沿l
(1,2)的方向导数
f
(0,0)
=
。
l
3、设
为曲面z1x2
y2,z0所围成的立体,如果将三重积分
I
f(x,y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分,则I=
。
4、设f(x,y)为连续函数,则I
lim12
f(x,y)d
,其中
t0
t
D
D:
x2
y2
t2
。
5、(x2
y2)ds
,其中L:
x2
y2
a2。
L
6、设
是一空间有界区域,其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果
函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在
上具有一阶连续偏导数,
则三重积分与
第二型曲面积分之间有关系式:
,该关系
式称为
公式。
7、微分方程y
6y
9y
x2
6x
9的特解可设为
y*
。
8、若级数
(
1)n1
发散,则
p
。
np
n
1
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)
1、设fx(a,b)存在,则lim
f(x
a,b)
f(a
x,b)=(
)
x0
x
1fx(a,b)。
(A)fx(a,b);(B)0;(C)2fx(a,b);(D)
2
2、设z
xy2
,结论正确的是(
)
(A)
2z
2z
0
;
(B)
2z
2z
0;
xy
yx
xy
yx
(C)
2z
2z
0;
(D)
2z
2z
0。
xy
xy
yx
yx
3、若f(x,y)为关于x的奇函数,积分域D关于y轴对称,对称部分记为D1,D2,f(x,y)
.
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在D上连续,则f(x,y)d()
D
(A)0;(B)2f(x,y)d;(C)4f(x,y)d;(D)2f(x,y)d。
D1D1D2
4、设:
x2y2z2R2,则(x2y2)dxdydz=()
(A)8R5;(B)4R5;(C)8R5;(D)16R5。
331515
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L,在点(x,y)处的线密度为(x,y),则曲线
弧L的重心的x坐标x为()
(A)x=1
x
(x,y)ds;(B)x=
1
x(x,y)dx;
M
L
M
L
(C)x=
x
(x,y)ds;
(D)x=
1
xds,
其中M为曲线弧L的质量。
L
M
L
6、设
为柱面x2
y2
1和x
0,y0,z
1在第一卦限所围成部分的外侧,则
曲面积分
y2zdxdy
xzdydz
x2ydxdz=(
)
(A)0;
(B)
;
5
;
(D)。
4
(C)
24
4
7、方程y
2y
f(x)的特解可设为(
)
(A)A,若f(x)
1;
(B)Aex,若f(x)
ex;
(C)Ax4
Bx3
Cx2
DxE,若f
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