晶体的光学各向异性_精品文档.ppt
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4.1.14.1.1张量的基础知识张量的基础知识1.1.张量的概念张量的概念4.1晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性例如,矢量例如,矢量p与矢量与矢量q有关,则其一般关系应为:
有关,则其一般关系应为:
(2).把一个矢量与一个张量以等式的形式关把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来,其中的关联因子就是张量。
联起来,其中的关联因子就是张量。
(1).把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来,形式关联起来,其中的关联因子就是张量。
其中的关联因子就是张量。
式中,式中,是关联是关联pp和和qq的二阶张量。
在直角坐标系的二阶张量。
在直角坐标系O-O-xx11xx22xx33中,上式可表示为矩阵形式中,上式可表示为矩阵形式:
式中,三个矩阵分别表示矢量式中,三个矩阵分别表示矢量pp、二阶张量二阶张量和矢量和矢量qq。
二二阶张量有九个分量,每个分量都与一对坐标阶张量有九个分量,每个分量都与一对坐标(按一定顺序按一定顺序)相关。
张量也可以用其分量形式表示如下:
相关。
张量也可以用其分量形式表示如下:
其一般分量形式为:
其一般分量形式为:
按照爱因斯坦求和规则:
若在同一项中下标重复两次,则按照爱因斯坦求和规则:
若在同一项中下标重复两次,则可自动地按该下标求和,将上式简化为可自动地按该下标求和,将上式简化为ppii=TTijijqqjji,ji,j=1,2,3(4-5)=1,2,3(4-5)可以看出:
如果可以看出:
如果是张量,则是张量,则pp矢量的某坐标分量不仅与矢量的某坐标分量不仅与qq矢量的同一坐标分量有关,还与其另外两个分量有关。
矢量的同一坐标分量有关,还与其另外两个分量有关。
如果矢量如果矢量pp与两个矢量与两个矢量uu和和vv相关,其一般关系式为:
相关,其一般关系式为:
分量表示式为:
分量表示式为:
式中,式中,为三阶张量,它包含为三阶张量,它包含2727个张量元素,其矩阵形式为:
个张量元素,其矩阵形式为:
pi=Tijkujvki,j,k=1,2,3实实际际上上,一一个个标标量量可可以以看看作作是是一一个个零零阶阶张张量量,一一个个矢矢量量可可以以看看作作是是一一个个一一阶阶张张量量。
从从分分量量的的标标记记方方法法看看,标标量量无无下下标标,矢矢量量有有一一个个下下标标,二二阶阶张张量量有有两两个个下下标标,三三阶阶张张量量有有三三个个下下标标。
因因此此,下下标标的的数数目等于张量的阶数。
目等于张量的阶数。
2.2.张量的变换张量的变换原坐标系原坐标系中,某张量表示式为中,某张量表示式为TTijij新坐标系新坐标系中,张量表示式为中,张量表示式为TTijij则当原坐标系则当原坐标系OO-xx11xx22xx33与新坐标系与新坐标系的坐标变换的坐标变换矩阵为矩阵为aaijij时,时,与与的关系为的关系为:
其分量表示形式为其分量表示形式为:
这就是张量变换定律。
如果用张量的新坐标分量表示原坐标这就是张量变换定律。
如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量,可通过逆变换得到分量,可通过逆变换得到:
如果考虑的是矢量,则新坐标系中的矢量表示式如果考虑的是矢量,则新坐标系中的矢量表示式AA与与原坐标系中的表示式原坐标系中的表示式AA间的矩阵变换关系为间的矩阵变换关系为:
i,j,k,l=1,2,3其分量变换公式为其分量变换公式为:
i,j=1,2,33.3.对称张量对称张量一个二阶张量一个二阶张量TTijij,如果有如果有TTijij=TTjiji,称为对称张称为对称张量,它只有六个独立分量。
与任何二次曲面一样,二阶对称量,它只有六个独立分量。
与任何二次曲面一样,二阶对称张量存在着一个主轴坐标系,在该主轴坐标系中,张量只有张量存在着一个主轴坐标系,在该主轴坐标系中,张量只有三个对角分量非零,为对角化张量。
于是,当坐标系进行主三个对角分量非零,为对角化张量。
于是,当坐标系进行主轴变换时,轴变换时,二阶对称张量即可对角化。
例如,某一对称张二阶对称张量即可对角化。
例如,某一对称张量量:
经上述主轴变换后,经上述主轴变换后,可表示为可表示为:
最最后后应应指指出出,张张量量与与矩矩阵阵是是有有区区别别的的,张张量量代代表表一一种种物物理理量量,因因此此在在坐坐标标变变换换时时,改改变变的的只只是是表表示示方方式式,其其物物理理量量本本身身并并不不变变化化,而而矩矩阵阵则则只只有有数数学学意意义义。
因因此此,有有时时把把张张量量写写在在方方括括号号内内,把把矩矩阵阵写写在在圆圆括括号内,以示区别。
号内,以示区别。
4.1.24.1.2晶体的介电张量晶体的介电张量由电磁场理论已知,介电常数由电磁场理论已知,介电常数是表征介质电学特性的是表征介质电学特性的参量。
在各向同性介质中,电位移矢量参量。
在各向同性介质中,电位移矢量DD与电场矢量与电场矢量EE满足如满足如下关系:
下关系:
在此,介电常数在此,介电常数=00rr是标量,电位移矢量是标量,电位移矢量DD与电场与电场矢量矢量EE的方向相同,即的方向相同,即DD矢量的每个分量只与矢量的每个分量只与EE矢量的相应分量矢量的相应分量线性相关。
对于各向异性介质线性相关。
对于各向异性介质(例如晶体例如晶体),DD和和EE间的关系为间的关系为:
介电常数介电常数是二阶张量。
其分量形式为:
是二阶张量。
其分量形式为:
即电位移矢量即电位移矢量DD的每个分量均与电场矢量的每个分量均与电场矢量EE的各个分量线性相的各个分量线性相关。
在一般情况下,关。
在一般情况下,DD与与EE的方向不相同。
的方向不相同。
又由光的电磁理论,晶体的介电张量又由光的电磁理论,晶体的介电张量是一个对称张是一个对称张量,因此它有六个独立分量。
量,因此它有六个独立分量。
经主轴变换后的介电张量是对经主轴变换后的介电张量是对角张量,只有三个非零的对角分量,为:
角张量,只有三个非零的对角分量,为:
i,j=1,2,311,22,33称为主介电系数。
由麦克斯韦关系式:
称为主介电系数。
由麦克斯韦关系式:
还可以相应地定义三个主折射率还可以相应地定义三个主折射率nn11,nn22,nn33。
在主轴坐标系在主轴坐标系中,电位移矢量的分量形式可表为:
中,电位移矢量的分量形式可表为:
此外,由固体物理学知道,不同晶体的结构具有不同的此外,由固体物理学知道,不同晶体的结构具有不同的空间对称性,自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同,空间对称性,自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同,分为七大晶系:
立方晶系;四方晶系;六方晶系;三方晶分为七大晶系:
立方晶系;四方晶系;六方晶系;三方晶系;正方晶系;单斜晶系;三斜晶系。
系;正方晶系;单斜晶系;三斜晶系。
由于它们的对称性不同,所以在主轴坐标系中介电张量由于它们的对称性不同,所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同,各晶系的介电张量矩阵形式如表的独立分量数目不同,各晶系的介电张量矩阵形式如表4-14-1所所示。
由该表可见,三斜、单斜和正交晶系中,主介电系数示。
由该表可见,三斜、单斜和正交晶系中,主介电系数112233,这几类晶体在光学上称为双轴晶体;三方、这几类晶体在光学上称为双轴晶体;三方、四方、六方晶系中,主介电系数四方、六方晶系中,主介电系数11=2233,这几类晶体在这几类晶体在光学上称为单轴晶体;立方晶系在光学上是各向同性的,光学上称为单轴晶体;立方晶系在光学上是各向同性的,11=22=33。
4.1.34.1.3晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性七大晶系的光学性质简介七大晶系的光学性质简介表表4-14-1各晶系的介电张量矩阵各晶系的介电张量矩阵1.麦克斯韦方程组在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体晶体)中,若中,若没有自由电荷存在,麦克斯韦方程组为:
没有自由电荷存在,麦克斯韦方程组为:
4.2光在晶体中传播的解析法描述根据光的电磁理论,根据光的电磁理论,光在晶体中的传播特性光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。
仍然由麦克斯韦方程组描述。
物质方程为物质方程为为简单起见,我们只讨论单色平面光波为简单起见,我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。
这样处理,可不在晶体中的传播特性。
这样处理,可不考虑介质的色散特性,同时,对于任意考虑介质的色散特性,同时,对于任意复杂的光波,因为光场可以通过傅里叶复杂的光波,因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多不同频率的单色平面光变换分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加,所以也不失其普遍性。
波的叠加,所以也不失其普遍性。
2.光波在晶体中传播特性的一般描述光波在晶体中传播特性的一般描述l
(1).单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性A.晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构波动方程波动方程B.B.能量密度能量密度根据电磁能量密度公式有:
根据电磁能量密度公式有:
图图4-14-1平面光波的电磁结构平面光波的电磁结构C.C.相速度和光线速度相速度和光线速度相速度相速度vvpp:
光线速度光线速度vvrr:
相速度与光线速度之间的关系:
相速度与光线速度之间的关系:
图图4-24-2vvpp与与vvrr的关系的关系(ABAB表示波阵面表示波阵面)
(2).
(2).光波在晶体中传播特性的描述光波在晶体中传播特性的描述A.A.晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程广义本征值方程广义本征值方程由矢量叉乘的恒等式由矢量叉乘的恒等式得到:
得到:
即即A(BC)=B(AC)-C(AB)D=0n2E-k(kE)图图4-34-3EE和和DD的定义的定义B.B.菲涅耳方程菲涅耳方程.菲涅耳方程的第一种形式菲涅耳方程的第一种形式波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(即波法线方程即波法线方程).菲涅耳方程的第二种形式菲涅耳方程的第二种形式.菲涅耳方程的第三种形式菲涅耳方程的第三种形式图图4-44-4与给定的与给定的kk相应的相应的DD、EE和和ss.菲涅耳方程的第四种形式菲涅耳方程的第四种形式光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)3.3.光在几类特殊晶体中的传播规律光在几类特殊晶体中的传播规律上面从麦克斯韦方程组出发,直接推出了光波在晶体中上面从麦克斯韦方程组出发,直接推出了光波在晶体中传播的各向异性特性,并未涉及具体晶体的光学性质。
下传播的各向异性特性,并未涉及具体晶体的光学性质。
下面,结合几类特殊晶体的具体光学特性,从晶体光学的基本面,结合几类特殊晶体的具体光学特性,从晶体光学的基本方程出发,讨论光波在其中传播的具体规律。
方程出发,讨论光波在其中传播的具体规律。
(1).
(1).各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体的主介电系数各向同性介质或立方晶体的主介电系数11=22=33=nn0022根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路,根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路,将波法线菲涅耳方程通分、整理将波法线菲涅耳方程通分、整理,得到:
得到:
代入代入11=22=33=nn0022,并注意到并注意到kk2121+kk2222+kk2323=1=1,该式简该式简化为:
化为:
由此得到重根由此得到重根nn=nn=nn00。
这就是说,在各向同性介质这就是说,在各向同性介质或立方晶体中,沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率或立方晶体中,沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率nn00,或者说,光波折射率与传播方向无关。
或者说,光波折射率与传播方向无关。
进一步,把进一步,把nn=nn=nn00的结果代入的结果代入(4-42)(4-42)式,可以得到三式,可以得到三个完全相同的关系式:
个完全相同的关系式:
kk11EE11+kk22EE22+kk33EE33=0=0图
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