全国2卷文数.docx
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全国2卷文数
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第J卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第I卷时,选岀每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应題目的答案标号框涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题:
本大題共12小题。
每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
(1)已知集合A={1,2,3},B=(x\x2<9},则=
(A)
(C){123}(D){1,2}
{-2,-1,0,1,23}(B){-2,-1,04,2}
(2)设复数z满足z+i=3—i,则"
(A)-l+2i(B)l-2i(C)3+2i(D)3-2i
⑶函数y=Asin(a)x+(p)的部分图像如图所示,则
(A)y=2sin(2x--)
6
(B)y=2sin(2x--^)
(C)y=2sin(2x+-)
6
(D)y=2sin(2x+-)
3
(4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面枳为
(A)12k(B)—n(C)8兀(D)4兀
3
⑸设尸为抛物线C・y=4x的焦点,曲线产£(A>0)与C交于点只PFA-x轴,则
x
13
(A)—(B)1(C)-(D)2
22
(6)圆x+y-2x-8严13二0的圆心到克线日丹y-1二0的距离为1,则沪
(12)已知函数f(x)(%GR)满足fd)二若函数产/-2匸3|与尸f3图像的交
点为(xi,yi),(私旳),…,(忌儿),则工壬二
2.填空題:
共4小题,每小题5分.
(13)已知向量干S.4),戻(3.-2),且a//b,则沪
x-y+lno
(14)若x,y满足约束条件'x+y-3>0,则z=x~2y的最小值为
x-3<0
45
(15)△巾%'的内角/I,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=-,cosC=—,a=l,则
513
b=-.
(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲
看了乙的卡片后说:
"我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
"我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是•
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
等差数列{陽}中,a3+a4=4,@+"7=6
(I)求{%}的通项公式;
(II)设»=[""],求数列{»}的前10项和,其中W表示不超过x的最大整数,如
[]=0,[]=2
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度
的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
>5
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
>5
频数
60
50
30
30
20
10
(I)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求P(A)的估计值;
(II)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”・
求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度的平均保费估计值.
4
(20)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x+l)lnx-a(x-l).
(I)当d=4时,求曲线y=f(x)在(1,/
(1))处的切线方程;
(II)若当JG(1,-KX))时,f(X)X),求“的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
22
已知A是椭圆E:
y+y=1的左顶点,斜率为R(RX))的直线交E于A,M两点,点N在
E上,丄N4.
(I)当|AM|=|A^|时,求厶AMN的面积
(II)当2\AM\=\AN\时,证明:
y/3 请考生在第22'24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一題计分. (22)(本小题满分10分)选修4-1: 几何证明选讲 如图,在正方形力财中,E、G分别在边。 1,必上(不与端点重合),且DE二DG,过D 点作莎丄CE垂足为E (I)证明: B,C,6*.厂四点共圆; 在直角坐标系应k中,圆C的方程为(x+6)2+/=25. (I)以坐标原点为极点,%轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; x=tcosaf,_. 5)直线/的参数方程是严聞/为参数I与该于处两点山吐皿 求/的斜率. (24)(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 已知函数/(A-)=X-i+A-+|,"为不等式/(X)<2的解集. (I)求J/; (II)证明: 当弘bwM时,\a^b\<卩+"|・ 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案 第I卷 和3 三、解答题 (17)(本小题满分12分) 【答案】(I)5=辿二;(H)24. 【解析】 试题分析: (I)根据等差数列的性质求5,〃,从而求得山;(II)根据已知条件求仇,再求数列{亿}的前10项和. 试题解析: (I)设数列{an}的公差为d、由题意有2少一5〃=44一5〃=3,解得 2 q=1,〃=二, 所以W”}的通项公式为勺=岂二. 当0=1,2,3时,1S竺空<2心=1;当n=4,5时,2<^-^—<3,bH=2;当n=6,7,8时,3<<4,Z? /(=3: 当n=9,10时,4M竺空<5,仇=4,所以数歹U{$}的前10项和为1x3+2x2+3x3+4x2=24. 考点: 等茶数列的性质,数列的求和. 【结束】 (18)(本小题满分12分) 【答案】(I)由竺巴求P(A)的估计值;(II)由巴二巴求P(B)的估计值;(III)根200200 据平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析: 试题解析: (I)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数 小于2的频率为竺型=0.55, 200 故P(A)的估计值为. (II)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次 数大于】且小于4的频率为罟“3, 故P(B)的估计值为. (【【【)由題所求分布列为: 保费 a 2a 频率 调查200名续保人的平均保费为 O.85dxO.3O+dxO.25+1.25dxO.15+1.5dxO.15+1.75axO.3O+2dxO.lO=1.1925d,因此,续保人本年度平均保费估计值为•考点: 样本的频率、平均值的计算. 【结束】 (19)(本小题满分12分) 69 【答案】(【)详见解析;(1【)匕・ 4 【解析】 试题分析: (I)证AC//EF.再证AC//HD.(II)证明OD丄OH.再证OD丄平面ABC.最后呢五棱锥D-ABCEF体积. 试题解析: (I)由已知得,AC丄BD.AD=CD・ sp「F 又由AE=CF得——=——,故AC//EF・ ADCD 由此得丄丄HD,所以AC//HD'.. (II)由EF//AC得丝=兰=丄. DOAD4 由AB=5,AC=6得DO=EO=Jab2_AO2=4. 所以OH=\、D'H=DH=3. 于是OD,2+OH2=(2V2)2+F=9=D'H2,故OD丄OH. 由(I)知AC丄HD,又AC丄BD,BD・HD=H, 所以AC丄平面BHD: 于是AC丄OD. 又由0DfLOH.ACr\OH=O9所以,Q7丄平面ABC. 又由—=—得EF=—・ ACDO2 11Q69 五边形ABCFE的面积S=—x6x8——x-x3=—・ 2224 所以五棱锥D—ABCEF体积V=lx—x2V2=^I. 342 考点: 空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【结束】 (20)(本小题满分12分) 【答案】(I)2x+y—2=0.;(II)(y,2].. 【解析】 y=fM在(1J⑴) 处的切线方程为2x+y—2=0.(II)构造新函数g(x)=lnx-S^U,对实数a分类讨论,用导数法求解. x+1 试题解析: (I)/(X)的定义域为(0,+8).当0=4时, /(x)=(x+l)lnx_4(x_l),广(x)=lnx+1_3,广⑴=_2J(l)=0・曲线y=f(x) x 在(1,/仆))处的切线方程为2x+y—2=0・ (II)当xe(l,+ x+1 令g(x)=lnx-~~,则 x+1 2a ("IF X2+2(l-a)x+l x(x+l)2 (i)当d<2,xe(l,+s)时,F+2(1—a)x+lnx2—2x+l>0,故g'(x)>0,g(x)在xe(l,+oo)上单调递增,因此g(x)>0. (ii)当a>2时,令gM=0得 X]=a_1_J(d_1)__x2=a_1+J(a_1)__1♦ 由*2>1和x}x2=1得<1,故当xe(l,x2)时,g'(x)<0,g(x)在xe(l,x2)单调递减, 因此g(x)<0・ 综上,“的取值范围是(-8,2]・ 考点: 导数的几何意义,函数的单调性. 【结束】 (21)(本小题满分12分) 【答案】(I)嘗;(II)(返,2). 【解析】 试题分析: (I)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求"MN的面积;(II)设M(召,yj,,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组,消去y,用斤表示召,从而表示IAMI,同理用k表示IANI,再由1\AM\=\AN\^k. 试题解析: (I)设则由题意知比>0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为冬, 4 又人(一2,0),因此直线AM的方程为y=x+2・ 将x=y-2代入y+^-=1得7/-12y=0, 1212 解得y=0或y=y,所以 11212144 因此皿肋的面积5SB/iV=2xix—X—=—. 皿27749 22 (2)将直线AM的方程y=R(x+2)伙>0)代入—+^-=1得 43 (3+4疋庆+16心+16/一12=0. 故IAMI=Jl+疋|召+21=以山亠* 3+4L 由题设,直线^的方程为)一扣+2),故同理可得肋二悟 7k 由21AM1=1ANI得=,即4疋一6k2+3k—8=0. 3+4疋4+3疋 设/(0=4f-6r2+3r-8,则斤是/(『)的篆点,/V)=12r2-12r+3=3(2r-l)2>0,所以/⑴在(0,+s)单调递增,又/(>/3)=15>/3-26<0,/ (2)=6>0,因此/(f)在(0,+s)有唯一的零点,且篆点k在(、疗,2)内,所以J亍vk<2. 考点: 椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1: 几何证明选讲 【答案】(I)详见解析;(II)丄. 2 【解析】 试题分析: (I)证3GF〜ACBF,再证B、C,G,F四点共圆;(II)证明 Rt^BCG〜RfABFG,四边形BCGF的面积S是AGCB面积Sscc[{的2倍. 试题解析: (I)因为DF丄EC.所以2EF〜4CDF, DFDEDG 则有ZGDF=ZDEF=ZFCB,—=——=——, CFCDCB 所以ADGF〜'CBF、由此可得ZDGF=ZCBF、 由此ZCGF+ZCBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆. (II)由B、C、G、F四点共圆,CG丄CB知FG丄FB,连结GB, 由G为RtADFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt^BCG〜RZFG、 因此四边形BCGF的面积S是AGCB面积Ssccli的2倍,即 考点: 三角形相似、全等,四点共圆 【结束】 (23)(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 【答案】(【)p2+12/? cos6>+ll=0;(II)± 【解析】试题分析: (I)利用p2=x2+y2.x=pcos&可得C的极坐标方程;(II)先将直线/的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得/的斜率. 试题解析: (I)由x=pcosO.y=ps\n3可得C的极坐标方程”+I2pcos&+11=0. (II)在(I)中建立的极坐标系中,直线/的极坐标方程为6=agR)由所对应的极径分别为口,门,将/的极坐标方程代入C的极坐标方程得p1+12/7COS6Z+11=0. 于是px+p2=-12cosa/]°2=11, IAB1=1p、-p;1=J(Qi+°)'-4口门=J144cos‘a-44, O/lc 由IAB1=>/r()得cos2a=tana=±———, 83 所以/的斜率为至或一並. 33 考点: 圆的极坐标方程与普通方程互牝,直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】 (24)(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 【答案】(I)M={xl—lvxvl};(II)详见解析. 【解析】 试题分析: ⑴先去掉绝对值,再y,-耳弓和呜三种情况解不弑即 可得M;(II)釆用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a9beM^9\a+b\<卩+川? |. 试题解析: (I)/(%)= 22 2x,x>—. 2 当X<-1时,由f{x)<2得一2xv2,解得X>-1; 当一一vx<—时,/(%)<2; 22 当A>|时,由f(x)<2得2xv2,解得x<\. 所以fM<2的解集M={划一1vxvl}. (II)由(I)知,当a.be.M时,一1Vdvl,-lvbv1,从而 (a+b)2一(1+ab)2=a2+b2-a2b2-\=(a2-l)(l-Z? 2)<0,因此\a+h\<\\+ab\. 考点: 绝对值不等式,不等式的证明. 【结束】
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