第16讲横式问题完整版.docx

第16讲横式问题完整版.docx

《第16讲横式问题完整版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第16讲横式问题完整版.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第16讲横式问题完整版

第16讲横式问题

内容概述

横式中的填空格和字母破译问题。

熟练应用尾数分析、首尾估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目，一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题求解。

典型例题

兴趣篇

1．请在下面两个算式的口中填人适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称．

（1）12×23口=口32×21；

（2）口8×891=198×8口．

答案：

（1）12×231=132×21

（2）18×891=198×81

解析：

（1）根据等号右边乘积的个位数字是2，可知□中可填1或6，分别代入后，发现只有填l时等式成立：

12×231=132×21；

（2）根据等号左边乘积的个位数字是8，可知□中可填1或6，分别代入后，发觋只有填1时等式成立：

18×891=198×81.

2．在算式口17×2口=3口口3的口中填入适当的数字，使得等式成立．

答案：

117×29=3393

解析：

根据第二个乘数乘以7之后的个位数字是3，可知它的个位数字只能是9．另一方面．一个三位数乘以一个首位是2的两位数，得到一个首位是3的四位数，可知这个三位数的首位只能是1，且一定不会比1大，因为如果是2甚至比2大，那么左边乘积一定比200×20=4000还大，

因此这个算式是117×29=3393．

3．在“口、口8、口97”的三个口内分别填入恰当的数字，可以使这3个数的平均数是150.那么填人的3个数字的和是多少？

答案：

12

解析：

三个数的和是150×3=450，即有□+□8+□97=450.

方法一：

首先，只有l97有百位，所以它对和的影响是最大的．估算一下，首先它的百位数字不能是4或比4更大，否则三个数的和一定比497大．另外它的百位数字也不能是2或比2小，否则这三个数的和最多是9+98+297，一定比400小，不可能得到450.通过估算，可以确定口97的百位数字是3，可得到

□+□8=450-397=53.

同样方法再估算□8的十位数字只能是4，从而□是5，所填的三个数字是3、4、5，它们的和是12.

方法二：

把横式转化成竖式加法，三个数字的和是150×3=450．如图所示：

先分析加法竖式的尾数，可知第一个口只能填5才能使和的个位数字为O，个位之和为20，向前进2，因此十位上的田只能填4才能使和的十位数字为5，十位向前进1，从而百位数字□只能填3，所以三个数字的和是3+4+5=12.

4．在算式3×口口=口口口的5个口中，分别填入0～4这5个数字，使等式成立，请问：

得到的乘积是多少？

答案：

102

解析：

先估算等号右边的三位数，左边的两位数最大可填43，贝4右边的三位数最大可能是3×43=129，这说明三位数的百位只可能是1，即3×□□=1□□．

再考虑这5个数字中0比较特殊，因为0不能写在一个多位数的首位，且如果0出现在乘数数字，那么积的个位数字也必须是O，这样0就出现了两次，同理，O也不能出现在积的个位，因此O只能填在积的十位上，算式变成3×□□=10□．

此时还剩下2、3、4三个数字，所以乘数的个位数字只有下面三种情况：

①如果乘数的个位数字是2，则积的个位数字应该为6，但是6不在这四个数字中，不可能．

②如果乘数的个位数字是3，则积的个位数字应该为9，但是9不在这四个数字中，不可能．

③如果乘数的个位数字是二，则积的个位数字应该为2，得到3×34=102.

所以这个乘积是102.

5．在下面这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字,请把算式用数字表示出来．

答案：

932+9338=10270

解析：

题目中出现的字母较多，直接在横式中计算很困难，可把横式写成竖式来分析．如图1所示：

首先千位上相加时一定向前进位，并且最多只能进1，由此可知P=1．因为千位只有U，所以百位必然也向千位进位，百位上两个不同数字U和S相加，至

多向前进1，所以千位上U加上1后还要向前进1，只有U=9，从而E=3．如图2所示，

已知百位9和S相加后向前进1，如果十位上两个S相加后也向前进1，那么和的百位将也是S而不会是A，矛盾．所以两个S相加后一定不能产生进位，同时也知道A比S小1．

从而S只可能是4、3或2（O和1已经出现）．如果S=2，则A=1，出现重复数字，矛盾．

所以S只能是4或3，相应地A只能是3或2．

①如果S=4，A=3（如图3），分析个位可知R=7，从丽C=9，出现重复数字，矛盾，

②如果S=3，A=2（如图4），分析个位可知R=8．从而C=7，符合要求．

答案如图5所示：

因此这个横式为932+9338=10270.

6．在算式

中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求这个算式的和．

答案：

10538

解析：

如图1所示：

发现和的首位只能E=1，进而得I=0，则百位向千位只能进1，所以F=9．算式变为图2的形式．

看个位，T比O大2，剩下的数字还有2、3、4、5、6、7、8．

①当O=2，T=4时，百位向千位不进位，矛盾，舍去；

②当0=3，T=5时，十位必须向百位进4，不可能，舍去；

③当0=4，T=6时，G=2，剩下的四个数字没法填，舍去；

④当O=0，T=7时，尝试剩下的五个数字都不满足题意；

⑤当0=6，T=8时，十位向百位进1，则G=5，得到答案如图3所示（2、4、7顺序可以互换）：

7．在算式

中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：

“

”所代表的四位数是什么？

答案：

2149

解析：

两个三位数相乘，得到一个五位数，先进行估算：

因为400×400=160000，积已经是六位数，则A只能为1、2或3．分情况进行讨论：

①如果A=3，再次估算：

因为320×320是一个六位数，所以此时B只可能是O或1．经验算，303×303，313×313，都不符合要求，

②如果A=2，根据个位数字可知C=4，得到

×

=

，此时只要能求出B即可，但横式已经不能再提供更多的信息了，可以把横式写成竖式来分析，如图所示：

乘积十位上的4是两个2×B的相加的个位数字，所以2×B的个位数字只能是2（不可能是7，因为7是奇数），从而B可能是1或6.

分剔代人验算，212×212=44944瞒足条件，而262×262=68644不满足条件，

③如果A=1，则根据个位数字可U得到C=1，出现重复数字，矛盾．

综上所述，只有一种可能212×212=44944，则“

”所代表的四位数是2149．

8．A将1～9这9个数字分别填人下面三个算式的口中（每个数字只能用一次）．使得各个等式都成立．

答案：

4+5=9，8-1=7，2×3=6或1+7=8．9-4=5，2×3=6

解析：

三个算式中，减法可以变成加法来分析，因此可以看作两个加法和一个乘法：

□+□=□，□+□=□，□×□=□，

乘法算式中，两个一位数相乘仍得到一个一位数，说明乘法算式比较特殊．

由于1不能作为乘数，否则积将和另一个乘数重复，经试验，只可能是2×4=8或2×3=6．

下面分两种情况讨论：

①假设乘法算式是2×4—8，还剩下1、3、5、6、7、9，要组成两个加法算式，最大的数9只能作为和，这些数中相加等于9的只有3和6．

所以必然有算式3+6=9，还剩l、5.7不能写成加法算式，没有符合要求的解．

②假设乘法算式是2×3=6，还剩下1、4、5、7、8、9，要组成两个加法算式，同样，9只能作为和，则可能的算式是1+8—9或4+l=9，分别试验剩下的三个数字，得唯一的可能是4+0=9，1+7=8。

因此两个加法和一个乘法是4+5=9，1+7=8，2×3=6，把其中任何一个加法写成减法形式就是原题的一种填法。

9．将0、1、2、3、4、5、7这7个数字分别填入下面算式的7个口内（每个数字只能用一次），使得等式成立，

口口十口一口×口一口口

答案：

13+7=4×5=20，17+3=4×5=20

解析：

用估算范围的方法、个位分析，发现都无法进行，这时候不妨看看特殊的数字0．

首先O不能出现在作为首位的第一、第六个空格．其次它也不能出现在第四、第五个空格，否则乘积为0．它同样不能出现在第三个空格，否则前后两个两位数柞同．最后，它不能出现在第二个空格，否则第三个空格将和第七个空格中的数相同，所以O只能填在第七个空格，算式变为□+□=□×□=□0.

因为O的位置确定了，所以5必须在乘法里才能得到乘积的个位数字是O，且另一个乘数只能选2或4．下面分两种情况讨论：

①□□+□=2×5=10，任何一个两位数再加上一个不是O的一位数，结果一定比10大，因此无解．

②□□+□=4×5=20，此时还剩下1、3、7三个数，经试验符合要求的填法有13+7=4×5=20，17+3=4×5=20．

10.将1～8这8个数字分别填人下面算式的口中，使得算式成立．有两种可能的填法，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？

口口口×口=口口口口

答案：

972

解析：

从2～8枚举试验一位乘数可得该算式为582×3=1740和453×6=2718，所以两个乘积的差是2718-1746=972．（注：

本题枚举过程较为复杂）．

拓展篇

1．请在下面两个算式的口中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称．

（1）12×46口=口64×21；

（2）口3×6528=8256×3口．

答案：

（l）2；

（2）4

解析：

（l）容易看出，等式右边乘积的个位数字一定是4，为了保证等式左边乘积的个位数字也为4，那么左边的方框内只能是2或7．

①如果左方框内填2，由于对称性，右方框内也应该填2，现在等式左边为12×462=5544，等式右边为264×21=5544，等式成立．

②如果左方框内填7，等式左边为12×467=5604，右边为764×21=16044，这种情况不成立，

所以方框内应填2．

（2）等式左边乘积的个位数字是4，那么右边乘积的个位数也为4，因此右边方框内只能填4或9．

①如果右方框内填4，那么左边是43×6528，右边是8256×34，估算一下可知，左右两边大致相等．

②如果右方框内填9，那么左边是93×6528，右边是8256×39，显然左边大于右边，这种情况不成立．

所以方框内应填4．

2．在算式6口口4÷56=口O口的每个口中填人一个恰当的数字，使得等式成立．

答案：

6104÷56=109

解析：

原等式可以变换为6□□4=□0□×56，等式左边的个位数字为4，则右边两数的乘积的个位数字也应该为4，所以右边的个位数框内可填4或9．

①如果右边个位数框内填4时，等式变为6□□4=□04×56，注意到左边数是6干多，右边的乘数之一是56，可大致估算一下，如果是204×56，结果已经是个五位数，所以，右边百位数字只能是1，而104×56=5824，千位数字为5，左右两边不可能相等．这种情况不可取，

②如果右边个位数框内填9，同理可知，百位上的数应填1，此时109×56=6104，满足条件．

所以，正确的等式应该为6104÷56=109.

3．在算式1口口+1口口+1口口+l口口=口口4的每个口内填入同一个数字，使得等式成立，所填的数字是多少？

答案：

6

解析：

仔细观察可以发现，等式左边相加的四个数实际上都是一样的，可以把加法变成乘法，使等式更简单：

4×1□□=□□4．可用个位分析的方法，等式右边个位数为4，为了使左右成立，那么左边的个位方框内只能填1或6．

①如果左边的个位方框内填1，由于方框内的数字都相同，等式左边应为4×111=444，等式右边为114，等式不成立，

②如果左边的个位方框内填6，等式左边应为4×166=664，等式有边为664，等式成立．

所以方框内应填6．

4．满足等式口口口口×口=8888口的被乘数是多少？

答案：

9876

解析：

这个等式是一个四位数乘一个一位数得到一个很大的五位数，大致估算可知，等式右边最小也为88880，如果左边的一位数为8，88880÷8=11110是一个五位数，不符合题意，所以，左边的那个一位数只能为9．

接下来，发现另外一个乘数完全没有一点线索，不妨将9移到等式的另一边作为已知条件集中，

将等式变形为□□□□=8888□÷9，列出竖式，如图所示：

列出竖式经过计算后，发现商的个位与9相乘得到5□，只有6×9=54满足条件，因此商的个位只能填6，商为9876.

所以，原等式为9876×9=88884.

5．等式

=39×

是由1～9这9个数字组成的，其中有5个数字已经填好，请问：

“

”所代表的四位数是多少？

答案：

7218

解析：

首先，根据题意可以确定高、思、学、校代表的数字一定是1、2、7、8，个位数字都已经确定，而最高位数没有确定，所以可用估算的方法．

由于“学”只能是1、2、7、8中的一个，等式的左边最大为8754，利用反推法可以知道“学”只能为1或2，将等式列成竖式，如图1所示，

根据竖式图能够很轻易地看出，C+8的个位数字是5，所以C=7，如图2所示．

观察召2中的

×9=

，校×9的个位数应该是2，因此校=8．

由分析可知，“学”只能是1或2，此时

就是186或286.由于286×39=11154是个五位数，因此“学”只能等于1．等式右边是39×186=7254.

于是“

”=7218，满足题意．

6．在乘法算式

中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：

最后的乘积是多少？

答案：

10404

解析：

发现首位数字全是A，首先，要满足是两个相同的三位数相乘，乘积是五位数，而400×400=160000是个六位数，所以A最大为3．

100×100一10000，200×200一40000，A如果为1，

×

的积的首位为1～3，满足；

200×200=40000，300×300=90000，A如果为2，

×

的积的首位为4~8，不满足；

容易知道如果A为3，若它的乘积是五位数，首尾只可能为9，不满足．所以，A只可能为1．

从个位数字也没办法再分析，不妨列竖式看看，如图1所示．

为了保证乘积的第二位是B，那么算式中第四行的首位一定为O，即

×B最多是两位数．由此可以推出，B肯定是O，如图2所示．

为了保证乘积的倒数第二位也是O，那么C×C不能进位，而C又不与A相同，所以C只能为2或3．

若C=2，则等式左边为102×102，乘积为10404，满足．

若C=3，则等式左边为103×103，乘积为10609，不满足，

所以，最后乘积为10404.

7．下面两个算式是由1～9这9个数字组成的，其中数字5已经填好，请将其余的数字填入口中，使得各等式成立．

答案：

7×8=56,12×3÷9=4或12×3÷4=9

解析：

对于数字谜中的除法是很难直接分析的，因此除法可以改写成乘法来分析，改写为

□×□=□×□．

第一个算式中，积的十位数字已确定是5，两个一位数相乘只有6×9=54以及7×8=56两种可能，

情况一：

6×9=54，还剩1、2、3、7、8.其中，最小的数字1肯定不能填在右边，否则右边的乘积将是一位数，不可能与左边相等．

①如果1填在第三个空格，此时算式变成□□=□×□．还剩2、3、7、8，因为是两个一位数相乘得到一个两位数，所以两个乘数只能选择：

3和7、3和8、7和8，验算发现都不符合要求．

②如果1填在第二个空格，此时算式变成□1×□=□×□，分析个位：

右边两个数相乘的个位应该和第二个空格中的数相等，在剩下的四个数中，没有两个数乘积的个位足另一个数，没有符合要求的填法，

③如果1填在第一个空格，此时算式变成1□×□=□×□．要填入2、3、7、8．因为右边两个一位数乘积至少是个两位数，只能选择：

3和7、3和8、7和8．分别验算发现都不符合要求．

情况二：

7×8=56，还剩1、2、3、4、9，同样地，分析特殊数字1的位置，1只能填在第一个空格中，算式变为1□×□=□×□，要填入2、3、4、9，此时可以用上面的逐个试验的方法，也可以用个位分析的方法：

这四个数字要分成两组分别填在等号两边，每组的两个数字相乘的个位要相同，只能是2和3-组，4和9一组．经试验，发现只有一种符合要求的填法：

12×3=4×9．

所以原来两个算式的填法为：

7×8=56,12×3÷9=4或12×3÷4=9.

8．将1～9这9个数字分别填入下面四个算式的口中（每个数字只能用一次），使得四个等式都成立．

答案：

5-4=1,3+6=9.72÷8=9,1×9=9

解析：

观察4个等式，最后一个等式只有两种方法可以填：

3×3=9或1×9—9，由于每个数字只能用一次，所以最后一个等式只可能是1×9=1）．接下来我们要把剩下的7个数字填入三个等式中，

由于第一、二个等式较易满足，所以先考虑第三个等式，只可能有五种情况：

27÷3=9，36÷4=9，54÷6=9,63÷7=9,72÷8=9.

①当27÷3=9时，还剩4、5、6、8．可能是5-4=1或6-5=1，但6+8≠9，4+8≠9，不成立．

②当36÷4=9时，还剩2、5、7、8，，只可能是8-7=1，但2+5≠9，不成立．

③当54÷6=9时，还剩2、3、7、8，可能是3-2=1或8-7=1，但2+3≠9，7+8≠9，不成立．

④当63÷7=9时．还剩2、4、5、8，只可能是5-4=1，但2+8≠9，不成立．

⑤当72÷8=9时，还剩3、4、5、6，试验可知只有5-4=1，3+6=9满足要求．

所以，这四个等式是

5-4=1,3+6=9,72÷8=9,l×9=9.

9．将1～7这7个数字分别填人算式口×口=口÷口=口+口一口的口中（每个数字只能用一次），使得等式成立．

答案：

1×2=6÷3=4+5-7或2×3=6÷1=4+7-5

解析：

有加减的式子往往满足的情况有很多可能性，所以，可先从只有乘除法的等式人手．首先考虑等式□×□=□÷□，可以将其变为□×□×□=□，七个数字中，乘积最小也是1×2×3=6．所以，这个变形后的等式是1×2×3=6．

此时还需将1×2×3=6还原成□×□=□÷□的形式，有三种情况：

1×2=6÷3=2，1×3=6÷2=3，2×3=6÷1=6．

还剩下4、5、7三个数字，为了满足□×□=□÷□=□+□-□．□+□-□的值应为2或3或6．

简单试验可知，有4+5-7=2或4+7-5=6满足要求．

所以，这个等式可以填成1×2=6÷3=4+5-7或2×3=6÷1=4+7-5．

10.将0～6这7个数字进行适当组合后填入算式○×○=口=○÷○的○和口中，

每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式．请问：

填在口内的数是多少？

答案：

12

解析：

将7个数字填入5个空位内，这5个数中一共l有3个一位数，2个两位数

通过规察等式○×○=□一○÷○可知，等式5最右边的被除数比其他所有的数都大，肯定是个两位数．剩下的一个两位数可能是方框也可能是除数．

①如果除数是两位数，那么在○×○=□由，只可能是2×3=6，而对于○÷○=6，要用O、1、4、5组成两个两位数，它们的商是6，尝试可知无法得到．

②方框内是两位数，等式可以写成a×b=

=

÷g，a～g分别是0～6中的一个．

考虑O～6这7个数中较特殊的O，它不能单独作为一位数出现，又不能作为两位数的十位数字，所以，它只能是两位数的个位数字，于是等式

=

÷g可以变化为

×g=

，如果d等于0，f也必然重复为0所以f为0．为了使

×g的末尾是0，那么d和g之间必然有一个是5，另一个是偶数．

如果d=5，由a×b=

可知，a、b中至少有一个也为5，违反题意，所以g=5．

在

×g=

中，f=0且g=0，于是等式可以写成

×5=

．由于只能填人0~6这7个数，因此满足条件的填法只有12×5=60．对于余下的两个位置a×b，填入3×4=12恰好满足要求，因此题中等式为3×4=12=60÷5．

11．将1～9这9个数字填入算式口十口=口口口÷口口口+1=6-口的口中（每个

数字只能用一次），使等式成立．请问：

除法算式中的被除数是多少？

答案：

956

解析：

首先观察这个连等式，□+□=6-□比较特殊，可从这个等式入手分析，

这个等式可以变形为□+□+□=6，三个不同数字之和为6，这个等式只能为：

+2+3=6．

剩下4～9这六个数字要填入□□□÷□□□之中，对于等式□□□÷□□□□+1=6-□，等式右边可以为6-1、6-2或6-3，则□□□÷□□□可能等于2或3或4．而除数和被除数都是三位数，且除数最小为456，所以，□□□÷□□□只可能等于2．

于是等式可以变成

1+2=□□□÷□□□+1=6-3．

易知，除数的最高位必须是4，否则被除数不可能为三位数，又因为除数最小为456，456×2=912，所以被除数的最高位必须是9，则等式化为

9□□÷4□□□=2．

再考虑个位，可知除数的个位数字只能是8，而被除数的个位数字是6，等式变为9□6÷4□8=2．

剩下两个数字5、7，易知应是956÷478□2．

所以除法算式中的被除数是956.

12．在算式

中，“小”、“山”、“羊”各代表一个不同的数字．那么“

”所代表的三位数是什么？

答案：

142

解析：

首先观察到一个三位数“

”乘以一个两位数“

”，得到的数比2000小，因200×20=4000，已经比2000大，所以“小”只能是1．算式变为

×

+

=2000.

因为“

”是一个10刭20之间的数，则“

×

”应该是一个1980到1990之间的数．

估算“山”的取值：

因为140×14=l960比1980小，150×15=2250比1990大，所以“山”只能是4．

此时变成

×14+

=2000羊，逐个将C到9代入．分析左边的尾数，发现“羊”只能是O、2、4、6、8中的一个，再通过枚举验算得到“羊”只能是2．

所以“

”代表的三位数是142．

13.在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“迎十春十杯”等于多少？

13.答案：

18

解析：

这是一道含有多个等式的数字谜问题，以特殊的式子作为突破口．

很容易发现，第二个式子实际上可以表示为：

一个两位数的数字和的平方正好是这个数本身．

首先，这个两位数的数字和一定是一位数，可多次尝试，发现这个数字和为9.9×9恰好等于81，而8+1=9，于是第二个等式是（8+1）×（8+1）=8l，所以迎=8，杯=1.

由于迎=8，第一个式子为8+春×春=8春，等式右边至少为80.而等式左边，春×春>80-8>70，所以春必须为9，此时等式左边为8+9×9=89，等式右边为89，符合题意．

所以，迎+春+杯=8+9+1=18．

14．在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“四川地震”所代表的四位数是什么？

答案：

4351

解析：

题目中第一个等式未知的汉字多，第二个等式的未知汉字少，因此不妨从第二个式子人手解题，

经估算可知，“四”只可能为3或4，经过试验可知，四=4，川=3．第二个等式为4×3+43=55.

将四=4、川=3代入第一个式子后得

汶×3×