实验二迭代法初始值与收敛性.docx
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实验二迭代法初始值与收敛性
实验二:
迭代法、初始值与收敛性
一:
实验要求
考虑一个简单的代数方程
210,xx--=
针对上述方程,可以构造多种迭代法,如211111,1,nnnnn
xxxxx+++=-=+
=代做实验,记录各算法的迭代过程。
二:
实验要求及实验结果
(1)取定某个初始值,按如上迭代格式进行计算,它们的收敛性如何?
重复选取不同放入初始值,反复实验。
请读者
自行设计一种比较形象的记录方式(如何利用Matlab的图形功能),分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。
(2)对三个迭代法中的某一个,取不同的初值进行迭代,结果如何?
试分析对不同的初值是否有差异?
实验内容:
ⅰ)对211nnxx+=-进行迭代运算,选取迭代次数n=20;分别选择初值-0.6,1.6进行实验,并画出迭代结果的趋势图。
编写MATLAB运算程序如下:
%迭代法求解
%令x=x^2-1
clear
n=30;
x=-0.5;
x1=x^2-1;
fori=1:
n
x1=x1^2-1;
xx(i)=x1;end
m=linspace(0,29,n);
plot(m,xx)
title('x=-0.5')
x=-0.6
x=1.6
如上图所示,选取初值分别为-0.6、1.6时,结果都是不收敛的。
分析:
2()1ngxx=-,'()2gxx=,要想在某一邻域上'()21,[1,1]gxxx=
∈-则但是()[1,1]gx?
-,所以不
存在某个邻域使得该迭代公式收敛。
即迭代公式对任何初值都是发散的。
ⅱ)对111nnxx+=+
进行迭代运算,选取迭代次数n=30;分别选择初值=-0.7,2.1进行实验,并画出迭代结果的趋势图。
编写MATLAB运算程序如下:
%迭代法求解
%令x=x^2-1
clear
n=20;
x=-0.5;
x1=1+1./x;
fori=1:
n
x1=1+1./x1;
xx(i)=x1;end
m=linspace(0,29,n);
plot(m,xx,'b')
title('x=-0.5')
x=-0.7
x=2.1
如上图所示,选取初值分别为-0.7、2.1时,结果都是收敛。
分析:
1()1,n
gxx=+设'21()[1.65,],[1.65,],()gxxgxx∈+∞?
∈+∞=-在[1.65,]+∞上有界,且'2
1()1,[1.65,]gxxx=
∈+∞则由迭代式对任意初始值0[1.65,]x∈+∞1()1,ngxx=+产生的序列都收敛。
同时由1()1,ngxx=+
可以看到,在0[,]x∈-∞+∞选取初值,在进行n次迭代后,都会存在一个1.65nx>,此时nx相当于是在[1.65,]+∞范围内的初始值,迭代公式产生的序列收敛。
所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。
ⅲ)
对1nx+=
n=20;分别选择初值=-0.6,2.1进行实验,并画出迭代结果的趋势图。
编写MATLAB运算程序如下:
%迭代法求解
%令x=sqrt(1+x)
clear
n=20;
x=-0.5;
x1=sqrt(1.+x);
fori=1:
n
x1=sqrt(1+x1);
xx(i)=x1;end
m=linspace(0,29,n);
plot(m,xx,'b')
title('x=-0.5')
x=-0.6
如上图所示,选取初值分别为-0.6、2.1时,结果都是收敛。
分析:
()gx=
设'()[1,],[1,],()gxxgx∈-+∞?
∈-+∞=
在[1,]-+∞实数域上有界,
且'()1,[1,]gxx=
∈-+∞则由迭代式对任意初始值0[1,]x∈-+∞()gx=()gx=0[,1]x∈-∞-选取初值,对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。
如初值选取
x=-3,得到20次的迭代结果如下:
实部收敛于1.618,虚部收敛于0,
Columns1through5
1.1688+0.6050i1.4867+0.2035i1.5782+0.0645i1.6058+0.0201i1.6143+0.0062i
Columns6through10
1.6169+0.0019i1.6177+0.0006i1.6179+0.0002i1.6180+0.0001i1.6180+0.0000i
Columns11through15
1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i
Columns16through20
1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i
x=-3
上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图,可以看出,当迭代结果为虚数时,迭代结果最终还是收敛的。
在进行n次迭代后,实部都会存在一个1nx>-,此时nx相当于是在[1,]-+∞范围内的初始值,迭代公式产生的序列收敛。
所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。
(3)线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。
比较线性与非线性问题迭代的差异,有何结论和问题。
ⅰ)对线性方程1212()()()faxbxafxbfx+=+,设()fxaxb=+,则'()fxa=。
若线性方程的迭代是收敛的,则有'()1,11fxaa=<-<<;对()fxaxb=+而言,在[,]-∞+∞上,都有
()[,]xfx∈-∞+∞,所以,对任何初值,方程的迭代都是收敛的,不受初值的影响。
若线性方程的迭代是发散的,则对任何初值都发散,方程迭代的收敛性也不受初值的影响。
ⅱ)对非线性方程的迭代,就复杂的多。
对于方程迭代发散的方程而言,无论初值如何选择,收敛性是不会改变的。
方程的迭代还是发散。
对方程迭代收敛的情况而言,若想要使得初值的选择不会影响收敛性,那必须要使得,()[,]xfx∈-∞+∞并且在某一
定点的邻域内'()1fx<,情况是很复杂的。
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- 实验 迭代法 初始值 收敛性