欧拉方程的求解.docx

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欧拉方程的求解

欧拉方程的求解

1。

引言

在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕、然而,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?

他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuleｒ,１707--１783）、

几乎在每一个数学领域都能够看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线"、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数"欧拉依然许多数学符号的发明者,例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表示求和、表示虚数单位

以欧拉命名的数学名词有特别多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”、

在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采纳的是变量变换的方法、变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如的解,进而求得欧拉方程的解。

但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难、本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理、最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明、

２、几类欧拉方程的求解

定义1形状为

（1）

的方程称为欧拉方程、　　　　　　　　　　　（其中,,,,为常数）

2。

1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如的解）

二阶齐次欧拉方程:

、　　　　　　　

（2）

（其中,为已知常数）

我们注意到,方程

（2）的左边、和的系数都是幂函数（分别是、和）,且其次依次降低一次、因此依照幂函数求导的性质,我们用幂函数来尝试,看能否选取适当的常数,使得满足方程（２）、

对求一、二阶导数,并带入方程

（2）,得

或

消去,有　　。

　　　　　（3）

定义2　以为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程

（2）的特征方程、

由此可见,只要常数满足特征方程（3）,则幂函数就是方程

（2）的解、

因此,关于方程（２）的通解,我们有如下结论:

定理１方程

（2）的通解为

（ｉ）,　　（是方程（3）的相等的实根）

（iｉ）,　　　　（是方程（3）的不等的实根）

（iii）。

（是方程（3）的一对共轭复根）

（其中、为任意常数）

证明　（i）若特征方程（3）有两个相等的实根:

则

是方程

（2）的解,

且设,（为待定函数）也是方程

（2）的解（由于,即,线性无关）,将其带入方程（２）,得

约去,并以、、为准合并同类项,得

、

由因此特征方程（3）的二重根,

因此

或

因此,得

或

即　　　　　　　　　,

故　　　　、

不妨取,可得方程

（2）的另一个特解

因此,方程（２）的通解为

。

（其中,为任意常数）

（iｉ）若特征方程（3）有两个不等的实根:

　,则

是方程（２）的解、

又不是常数,即,是线性无关的。

因此,方程

（2）的通解为

。

（其中,为任意常数）

（ｉii）若特征方程（３）有一对共轭复根:

（）,则

是方程

（2）的两个解,

利用欧拉公式,有

显然,

和

是方程

（2）的两个线性无关的实函数解、

因此,方程

（2）的通解为

。

（其中,为任意常数）

例1求方程的通解。

解该欧拉方程的特征方程为

即　　　　　　　,

其根为:

　　,

因此原方程的通解为

、

（其中,为任意常数）

例2　求方程的通解、

解该欧拉方程的特征方程为

即　　　　　　　,

其根为:

　　　　,,

因此原方程的通解为

、

（其中,为任意常数）

例3求方程的通解、

解　该欧拉方程的特征方程为

即　　　　,

其根为:

　　　　　,

因此原方程的通解为

、

（其中,为任意常数）

２。

2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）

二阶非齐次欧拉方程:

。

　　　　　（4）　　

（其中,为已知实常数,为已知实函数）

为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程,不妨设

,　　　　　　　　（５）

则方程（4）变为

即

　　　（6）

依照韦达定理,由（5）式可知,,是一元二次代数方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）

的两个根、

具体求解方法:

定理２若,为方程（２）的两个特征根,则方程（4）的通解为

　　　　　、　　　（7）

证明　因为,为方程（２）的两个特征根,

因此方程（4）等价于方程（6）,

令　　　　,

代入方程（6）并整理,得

和

解之,得方程（4）的通解为

、

由定理2知,只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（４）的通解。

为了方便计算,给出如下更直截了当的结论、

定理3　若,为方程

（2）的两个特征根,则

（i）当是方程（２）的相等的实特征根时,方程（4）的通解为

（iｉ）当是方程

（2）的互不相等的实特征根时,方程（4）的通解为

（iiｉ）当是方程

（2）的共轭复特征根时,方程（4）的通解为

证明（ii）当是方程（２）的互不相等的的实特征根时,

将方程

（1）的通解（７）进行分部积分,得

　（8）

（iii）当是方程（２）的共轭复特征根时,,

再由欧拉公式有

将其代入（８）式,整理可得方程（４）的通解为

（i）的证明和（ii）类似、

例1求方程的通解、

解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为,

特征根为　　　　　　　,

因此由定理３,原方程的通解为

（其中,为任意常数）

例2求方程的通解、

解　该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为

特征根为　,,

因此由定理3,原方程的通解为

（其中,为任意常数）

例3求方程的通解。

解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为

特征根为　　　　　　,

因此由定理3,原方程的通解为

（其中,为任意常数）

在定理3中,若令,则得到二阶齐次欧拉方程

（2）的通解。

推论方程

（2）的通解为

（ｉ）,　　（是方程（２）的相等的实特征根）

（ｉi）,　　　　　（是方程（２）的不等的实特征根）

（ｉii）、（是方程

（2）的共轭复特征根）

（其中,为任意常数）

２、3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）

三阶非齐次欧拉方程:

、　　（9）

（其中,,为常数）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（9）对应的齐次方程为、　　　（１0）

特征方程为。

　　　　　　　（1１）

定理4设是方程（11）的根,是方程

的根,则（9）的通解为

。

　（１２）

证明　依照条件（为任意常数）是方程（10）的解。

设是方程（9）的解（其中是待定的未知数）,

将其代入方程（9）,整理得

　　（13）

因为是（1１）的根,则

因此（13）式化为

（１4）

这是以为未知函数的二阶欧拉方程。

设为（14）对应的齐次方程的特征方程,（15）

的根,则

、

从而、

故方程（１）的通解为

。

定理５设是方程（１1）的根,是方程（15）的根,则

（i）当是方程（１1）的单实根,是方程（15）的单实根,则（9）的通解为

（iｉ）当是方程（11）的单实根,是方程（１5）的单虚根,则（９）的通解为

（其中,）

（ｉii）当是方程（11）的单实根,是方程（１5）的重实根,则（9）的通解为

（iｖ）当是方程（11）的三重实根,方程（15）变为,有,则（９）的通解为

、

证明　（i）因为是方程（15）的单实根,得（１4）的通解为

则（9）的通解为

（iｉ）因为是方程（14）的单虚根,此时方程（1５）有一对共轭虚根

得（１４）的通解为

则（9）的通解为

（其中,）

（iii）因为是方程（15）的重实根,得（９）的通解为

。

（iv）当是方程（１０）的三重实根（）,方程（15）变为,有,将,代入（１2）式得

对上式分部积分得（9）的通解为

。

例1求三阶欧拉方程的通解、

解原方程对应的齐次方程为

其特征方程为

解得其特征根为,,,

取　　　　　　　　,

将,,,代入方程（15）,得

解得

或,

利用定理5（i）的通解公式有

、

（其中,,为任意常数）

例2求三阶欧拉方程的通解、

解　原方程对应的齐次方程为

其特征方程为

从而解得特征单实根为

将,,代入方程（１５）,得到

解得　　　　　　　　　、

令,则,,

利用定理5（ii）的通解公式有

（其中,,为任意常数）

2。

4阶齐次欧拉方程的求解（求形如的解）

令是方程

（1）的解,将其求导（需要求出、、）代入方程

（1）,并消去,得

、（16）

定义３以为未知数的一元次方程（16）称为阶齐次欧拉方程

（1）的特征方程。

由此可见,假如选取是特征方程（１6）的根,那么幂函数就是方程

（1）的解。

因此,关于方程

（1）的通解,我们有如下结论:

定理6方程

（1）的通解为

（其中,,为任意常数）,且通解中的每一项都有特征方程（１6）的一个根所对应,其对应情况如下表:

方程（１6）的根

方程

（1）通解中的对应项

单实根:

给出一项:

一对单共轭复根:

给出两项:

重实根:

给出项:

一对重共轭复根:

给出项:

例1求方程的通解、

解该欧拉方程的特征方程为

整理,得

其根为

,

因此原方程的通解为

。

（其中,,,为任意常数）

例2求方程的通解、

解该欧拉方程的特征方程为

整理,得

其根为

（即一对二重共轭复根）,

因此原方程的通解为

、

（其中,,,为任意常数）

3。

结束语

从前面的讨论过程来看,和教材中的变量变换法相比,本文中的解决方法更直截了当、更简单。

但需要说明的是,本文中的定理和例题都是在范围内对齐次欧拉方程求解的,假如要在范围内对其求解,则文中的所有都将变为,所得的结果和范围内的结果相似、

4、致谢

经过这好几个月忙碌的学习跟工作,本次毕业论文的写作差不多接近尾声了,但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多、

首先,自己要有特别好的专业知识的储备,这也是写作的基础、

其次,自己要有严谨的思维逻辑、

再次,自己要善于考虑,遇到不明白得问题就要勤于考虑,查资料,问老师、

最后,自己一定要有坚持不懈的精神、毕业论文的写作是一个长期的过程,在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程,但我们不能因此就放弃,而要做到坚持。

要相信“有付出就一定会有所收获”的。

在这个地方首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授、胡老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文时期,他都给予了我悉心的指导,细心地纠正论文中的错误并给予指导、假如没有他的大力支持,此次论文的完成将变得特别困难、除了敬佩胡老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习,并将积极影响我今后的学习和工作、然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导,为我们打下了坚实的专业知识的基础、最后祝各位评审老师身体健康,工作顺利!

5、参考文献

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常微分方程[Ｍ］、第3版、北京:

高等教育出版社,20０6:

14２-144。

[2］华东师范大学数学系。

数学分析（上）[Ｍ]、第3版。

北京:

高等教育出社,1９９9:

8７-199。

［3］钟玉泉、复变函数论［M］。

第３版、北京:

高等教育出版社,２00３:

10—1１、

［4］胡劲松。

一类欧拉方程特解的求解、重庆科技学院学报[J］,２０0９,１1

（2）:

143－144、

［5］胡劲松,郑克龙、常数变易法解二阶欧拉方程。

大学数学［J］,2005,２１

（2）:

１１６—１１９、

［6］米荣波,沈有建,汪洪波、三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法。

海南师范大学学报[J],２008,2１（３）:

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齐次欧拉方程的另一种求解方法、重庆工学院学报[J］,２０0４,18

（1）:

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［8］冀弘帅、认识伟大的数学家--－—欧拉。

数学喜好者[J],20０6,10:

5２—5３。

[9］卓越科学家欧拉、中学生数理化（北师大版）[J],2007,Z2:

1０１-10２、