三角函数公式大全很详细.docx
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三角函数公式大全很详细
高中三角函数公式大全[图]
1三角函数得定义1、1三角形中得定义
图1在直角三角形中定义三角函数得示意图
在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:
∙正弦函数ﻫ
∙余弦函数
∙正切函数
∙余切函数ﻫ
∙正割函数
∙余割函数
1、2直角坐标系中得定义
ﻫ图2在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:
∙
正弦函数ﻫ
∙余弦函数ﻫ
∙正切函数ﻫ
∙余切函数ﻫ
∙正割函数
∙余割函数
2转化关系2、1倒数关系
2、2 平方关系
ﻫ
2 与角公式
ﻫﻫﻫ
3倍角公式、半角公式
3、1倍角公式
ﻫ
ﻫ
3、2半角公式
ﻫﻫ
3、3万能公式
4积化与差、与差化积
4、1 积化与差公式
证明过程
首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。
证明过程见《与角公式与差角公式得证明》)
因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦与角公式)
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于就就是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式)
将正弦得与角、差角公式相加,得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化与差公式”之一)
同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ
于就就是
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(余弦与角公式)
那么
cos(α-β)
=cos[α+(-β)]
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(余弦差角公式)
将余弦得与角、差角公式相减,得到
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
则
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2(“积化与差公式”之二)
将余弦得与角、差角公式相加,得到
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2(“积化与差公式”之三)
这就就就是积化与差公式:
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2
4、2 与差化积公式
部分证明过程:
sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα
cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
诱导公式
∙sin(-a)=-sin(a)
∙cos(-a)=cos(a)
∙sin(pi/2-a)=cos(a)
∙cos(pi/2-a)=sin(a)
∙sin(pi/2+a)=cos(a)
∙cos(pi/2+a)=-sin(a)
∙sin(pi-a)=sin(a)
∙cos(pi-a)=-cos(a)
∙sin(pi+a)=-sin(a)
∙cos(pi+a)=-cos(a)
∙tgA=tanA=sinA/cosA
两角与与差得三角函数
∙sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
∙cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
∙sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
∙cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
∙tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
∙tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
三角函数与差化积公式
∙sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
∙sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
∙cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
∙cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化与差公式
∙sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
∙cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
∙sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
∙sin(2a)=2sin(a)cos(a)
∙cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
半角公式
∙sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
∙cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
∙tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
万能公式
∙sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
∙cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
∙tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
∙a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中,tan(c)=b/a]
∙a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中,tan(c)=a/b]
∙1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
∙1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其她非重点三角函数
∙csc(a)=1/sin(a)
∙sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
∙sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
∙cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
∙tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表
(一)
1。
乘法公式
(1)(a+b)²=a2+2ab+b2
(2)(a-b)²=a²-2ab+b² (3)(a+b)(a-b)=a²-b²
(4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) (5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
2、指数公式:
(1)a=1(a≠0)
(2)a=(a≠0) (3)a=
(4)aa=a (5)a÷a==a (6)(a)=a
(7)(ab)=ab (8)()= (9)()=a
(10)=|a|
3、指数与对数关系:
(1)若a=N,则
(2)若10=N,则b=lgN
(3)若=N,则b=㏑N
4、对数公式:
(1), ㏑e=b
(2),e=N
(3) (4)(5)
(6) (7)(8)㏑=
5、三角恒等式:
(1)(Sinα)²+(Cosα)²=1
(2)1+(tanα)²=(secα)²
(3)1+(cotα)²=(cscα)²(4) (5)
(6) (7) (8)
6、特殊角三角函数值:
α
0
sina
0
1
0
--1
0
cosa
1
0
--1
0
1
tana
0
1
∞
0
--∞
0
cota
∞
1
0
--∞
0
∞
7、倍角公式:
(1)
(2)
(3)
8、半角公式(降幂公式):
(1)()=(2)()=
(3)==
9、三角函数与反三角函数关系:
(1)若x=siny,则y=arcsinx
(2)若x=cosy,则y=arccosx
(3)若x=tany,则y=arctanx (4)若x=coty,则y=arccotx
10、函数定义域求法:
(1)分式中得分母不能为0,( α≠0)
(2)负数不能开偶次方, ( α≥0)
(3)对数中得真数必须大于0,(N>0)
(4)反三角函数中arcsinx,arccosx得x满足:
(--1≤x≤1)
(5)上面数种情况同时在某函数出现时,此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系:
(1)ﻩ直线形式:
点斜式:
斜截式:
y=kx+b
两点式:
(2)直线关系:
平行:
若,则
垂直:
若,则
常用公式表
(二)
1、求导法则:
(1)(u+v)=u+v (2)(u-v)=u-v
(3)(cu)=cu(4)(uv)=uv+uv (5)
2、基本求导公式:
(1)(c)=0
(2)(x)=ax (3)(a)=alna
(4)(e)=e (5)(㏒x)= (6)(lnx)=
(7)(sinx)=cosx (8)(cosx)=-sinx
(9)(tanx)==(secx)
(10)(cotx)=-=-(cscx)
(11)(secx)=secx*tanx (12)(cscx)=-cscx*cotx
(13)(arcsinx)= (14)(arccosx)=-
(15)(arctanx)= (16)
3、微分
(1)函数得微分:
dy=ydx
(2)近似计算:
|Δx|很小时,f=f(x)+f(x)*
4、基本积分公式
(1)
kdx=kx+c
(2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)(8)
(9)
(10) (11)
5、定积分公式:
(1)
(2)
(3) (4)
(5)若f(x)就就是[-a,a]得连续奇函数,则
(6)若f(x)就就是[-a,a]得连续偶函数,则:
6、积分定理:
(1)
(3)若F(x)就就是f(x)得一个原函数,则
7、积分表
8、积分方法
;设:
;设:
;设:
;设:
分部积分法:
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