第四章运输问题.docx
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第四章运输问题
第四章运输问题
本章主要介绍运输问题的及其特殊情形——指派问题的求解方
法,其基本要求为:
1.能用表上作业法求简单
的运输问题的最优解
2.会用匈牙利算法求标准
指派问题的解。
.运输问题线性规划模型的特征
请与课本(102页)引例比较以下,看看模型的结构与形式是否一致,同时注意了解课本103页下面的加工问题和运输问题的联系。
由上面的模型可以看出,运输问题显然是一个线性规划问题,因我们学过的单纯形法求解,但求解时对每一个等式必须加上一个人工变量(参考当约束条件方程为等式约束时求初始基本可行解的方法),这样将使一个很小规模的运输问题变得较为烦琐。
本章主要介绍的表上作业法求解运输问题,要比一般单纯形法简便得多。
三.表上作业法介绍
最优解,若是就停止计算,否则就要对解进行调整、判定,直到求出最优解为止。
因为关于以上计算都可以在产销平衡表中进行,所以叫表上作业法。
第一节运输问题的线性规划模型
我们在这里再给出一个实际的运输问题的模型。
吨。
从各工厂到销售点的单位产品的运价为下表所示,问该公司应该如何调运产品,在满足各销售点需要量的前提下,使总运费最少?
销地
产地运费
Bi
B2
B3
B4
产量
Ai
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
20=20
解:
总产量为20吨,总需求量也为20吨,故产销平衡。
MinZ=3xii+11X12++10+耳囚+9盟竝+2x^5+业碑+7范31
+4^32+10x33+5^34
FX11+孟1?
+孟口+区旧=7
茎21+叢22+梵23+芸24=4
芷31+x卫+x33+x34=9
=3
=6
=5
=6
Xll
勒2
+X2L
+茎23
葢14
i=123;j=1,234
+5^34
设某种货物有m个产地Ai,A2,…,Am,产量分别为ai,a2,…,am
个单位;另外有n个销地Bi,B2,…,Bn,销量分别为bi,b2,…,bn个单位,
又假设产销是平衡的,即
此外,还知道由产地Ai向销地Bj运输每单位货物的运价为Cij。
问应该如何调
运这种货物才能使总的运费为最小?
解设xij为由产地Ai向销地Bj调运这种货物的数量,连同单位运价Cij,
可以列成表6-1及表6-2。
依题设,由Ai运出去的货物总量应该等于Ai的产量,所以有n
2XijF,i=1,2,…
j#
m。
同样,运进Bj的货物总量应该等于Bj的销量,可得
n
SXij=bj,j=1,2,…,n。
j#
产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
X11
X12
…
X1n
a1
A2
X21
X22
…
X2n
a2
1
■
■
Am
1
■
■
Xm1
h
■
■
Xm2
h
■
■
Xmn
h
■
■
am
销量
b1
b2
…
bn
在表6-2中,这两组等式为第i行的未知数Xil,Xi2,…,Xin的和等于第一一
行右端的ai,而第j列的未知数Xlj,X2j,…,Xmj的和等于这一列底下的bj。
从表6-1及表6-2中还可以看出,总的运费应该是
nn
z=ssCijXj。
i=1j=1
因此,我们可以把上面的问题归纳为下述线性规划问题
(6-1)
nn
minz=送送qXij
i壬j丑
n、
=送bj
j^丿
这就是运输问题的数学模型。
观察运输问题线性规划模型约束方程的系数矩阵结构具有以下特点。
元素非1即0
每一列正好有两个非零元素,所有变量在前m个(本例为3个)约束中各出现一
次,在后n个(本例为4个)约束里也都出现了一次。
所有的约束条件(不包括非负约束)都是等式。
(4)产量之和等于销量之和。
除了经常遇到的煤炭、粮食、钢铁、木材等物资的调运问题外,在其它工
作中有时也会遇到类似的问题。
例如设有m台机床,要加工n种零件。
第i台机床必须加工出ai个零件
nn
(i=1,2,…,m),而第j种零件必须有bj个(j=1,2,…,n),且2a^Zbj,cij为第i台机床上加工第j种零件时每一件的加工费。
问这些零件应如何分配给这m台机床,使总的加工费为最小?
显见,当设xij为第i台机床加工第j种零件的个数时,就化为一个运输问题。
运输问题既然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解。
但由于这个问题具有一种固定的结构,比较特殊,所以可以采用另外简便的解法。
本章介绍表上作业法及匈牙利方法。
第二节初始基本可行解的求法
和用单纯形法解线性规划问题一样,运输问题的最优解也一定可以在基本可行解中找到。
当找到初始基本可行解以后,要判别是否是最优解,不是最优解时就要进行调整,直到找到最优解为止。
下面先来研究运输问题的基本可行
解所具有的特征。
运输问题有m+n个约束条件,包含m>h个变量。
在讨论线性规划的标准
型式时,一般都假设约束方程组中没有多余方程。
但在产销平衡的运输问题的约束方程组中,其增广矩阵的前m行的和减去后n行的和恰好得到一个零向量。
因此,约束方程组的增广矩阵的行是线性相关的。
也就是说,约束方程组中存在多余方程。
可以证明,在m+n个约束方程式中的任意m+n-1个都是线性无
关的,从而运输问题的每一组基应由m+n-1个基变量组成。
怎样的m+n-1个变量Xji,程)2,…,Xjs(s=m+n-1)组成一组基呢?
为此,我们先引入闭回路的概念,然后给出有关定理。
定义凡是能排列成下列形式的变量的集合称为一个闭回路:
其中ii,i2,…,i3互不相同,ji,j2,…,j3互不相同,这些出现在式(6-5)
中的变量称为这个闭回路的顶点。
例如,设m=3,n=4,则X2i,X22,X13,X14,X34,X31就是一个闭回路。
这里ii=2,i2=1,ji=1,j2=3,j3=4o若把闭回路的顶点在表中画出,并且把相邻的两个变量(以及最后一个变量与第一个变量)用一条直线相连(称这些线为
闭回路的边),那末上述闭回路就具有表6-3所示形状。
们画在表上分别如表6-4及表6-5所示。
表6-5
产地
Bi
B2
B3
B4
Ai
r
1
1
A2
I
-1
A3
1
1
要条件是它不含闭回路。
(证略)
有了上述准备,下面介绍几种常用的运输运输的的初始基本可行解的求法。
、西北角法
为清楚起见,用下例介绍这个方法,并将运价表和平衡表合并在一个表中,
将单位运价Cj写在左下角,Xij写在右上角。
例1根据表6-6,求初始基本可行解。
表6-6
'7^*销地
产地
Bi
B2
B3
B4
产量
Ai
2Xii
9
X12
―Xi3
10
7
Xi4
9
A2
1X2i
3
X22
X23
4
2
X24
5
A3
8X31
/X32
4
2X33
UX34
5
7
销量
3
8
4
6
解首先,由于最下一行各数字之和与最右一列各数字之和都为21,故满
足平衡条件。
从左上角的变量X11开始,先给X11以尽可能大的值,为此令
X11=min{3,9}=3
由X11=3可以看出,X21与X31必须为0,即已经决定了3个未知量的值了。
通常,先画好一张空格表,把求出的未知数以值填在表上。
我们约定,在3的
外面画一个圈,在0的地方打上&然后再决定X12的值(即未求出Xj值的表的左上角的变量),仍旧使X12取尽可能大的值,不准看出,这时应取
Xi2=min{9—3,8}=6
在表内X12的位置上填上6并画圈,X13,X14这时应为0,故打上&用同样的方法,可以得出X22=2,X32=0,X23=3,X24=0,X33=1,X34=6(见表6-7)。
B1
B2
B3
B4
销地
产地
表6-7
A1
2
③
9
⑥
X
X
9
10
7
A2
1
X
3
②
4
③
2
X
5
A3
8
X
4
X
2
①
5
⑥
7
产量
3
8
4
6
不难看出,填在表上的数(卅弋表0)是一组可行解。
此外,画圈的数共有m+n—1个,并且可以证明,用这种方法求得的解是一组基本可行解,而且m+n—1个画圈的地方正好是基变量。
例2根据表6-8,求初始基本可行解。
A1
7
X11
9
X12
10
X13
7
X14
3
A2
2
X21
3
X22
4
X23
2
X24
5
A3
1
X31
4
X32
2
X33
5
X34
8
销量
2
1
7
6
X2i=0,X31=0。
按上方法,令Xi2=min{3
解容易看出,应该取X11=2,—2,1}=1。
这时,显然X13,X14,上打X,即或在行上,或在列上打X,=0,此时在X22处写上0,并画上圈,
X22及X32都必须为0。
但我们只在一个方向然后决定X22的值,它应该等于min{0,5}而在X32处打上X继续做下去,可以得到
^肖地
产地
B1
B2
B3
B4
丿量
A1
②
7
8
①
1
X
4
X
8
A2
X
2
6
©
5
⑤
8
X
5
A3
X
1
4
X
2
②
7
⑥
8
表6-9
销量
X23=5,X24=0,X33=2,X34=6,(见表6-9)。
2
1
7
6
在X22处写0并画圈的目的是使带圈的个数保持为m+n-1个。
因为前面已
经说过,画圈的地方正好是基变量,而基变量必须是m+n-1个。
从以上例子可以看出,西北角法的一般步骤为:
1.先决定左上角变量的值,令这个变量取尽可能大的值,并在这个位置上所填的数外面画上圈。
2.在填数的格子所在行或列的应该为0的格子上打X。
若行或列都应该取0,则在行上打了X以后,就不能在列上打X。
反之,在列上打X后就不能在行上打X。
3.对没有填数及打X的地方重复上述步骤,若剩余空格的左上角的变量应
取0,则应写上0并画圈。
二、最小元素法
用西北角法求初始基本可行解时没有考虑Cij的值,若能将Cij的值考虑进去,常可使求得的基本可行解对应的目标函数
的值小些。
这就能够接近于最优解,从而减小迭代次数。
然后在X11,X31处打上X。
做完上一步后,在没
Gj的最小值,这时C24=2,C33=2,都是最小,故
仍以例1为例,最小元素法不是从X11开始,而是从Gj取最小值的空格开始(若有几个地方同时达到最小,则可任取一个)。
在例1中,C21=1最小,故我们先定X21的值,和西北角法一样,给X21以尽可能大的值,即令X21=min{3,5}=3,在X21处填上3并画圈,有填数和打X的空格内财找一个
3
8
4
6
地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
X
2
⑤
9
X
10
④
7
9
A2
③
1
X
3
X
4
②
2
5
A3
X
8
③
4
④
2
X
5
7
表6-10
销量
我们分别来计算一下上面例1中用西北角法及最小元素法求得的基本可行
解对应的目标函数值Z1及Z2,可得
z1=2X3+9X3+3X2+4X3+2X1+5X3=110
Z2=1X3+9X5+4X3+2>4+7X4+2X2=100
由此可见,用最小元素法求出的初始基本可行解更好些。
在用最小元素法时,也会遇到前面例2中的情况,这时我们仍旧只在行或列上打X,并用与前面一样的方法处理。
最后我们再提出一点。
用最小元素法时,如果只剩下一行或一列未填数和打X的格子时,只准填数,不准打Xo这样做的目的是为了保证画圈的个数为
m+n—1个o
例3根据表6-11,用最小元素法求初始基本可行解。
表6-11
产地r
B1
B2
B3
丿量
A1
1X11
2
X12
2
X13
1
A2
3X21
1
X22
3
X23
2
A3
2X31
8
X32
1
X33
4
销量
1
2
4
1
最后令
先令X11=1,在X12及x13处打上X,再令X22=2,在X21及x23处打上X
X33=4,这时还未填数的格子只剩下一行,不能打X,只能写成X31=0,
表6-12
地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
①
1
2
X
2
X
1
A2
X
3
1
②
8
X
2
A3
(S)
2
8
(S)
1
④
4
销量
1
2
4
此时,若在X31,X32处也的上X,那末画圈的个数只有3个,显然不是基本可行解了。
三、差值法
差值法一般能得到一个比用上两种方法更好的初始基本可行解。
这个方法与最小元素法不同的地方是在需要考虑的空格中,首先计算各行各列中最小的
Cij与次小的Cij之间的算述差值,在具有最大差值的那个行或列中,选择具有最小的Cij的空格来决定基变量值。
这样就可以避免将运量分配到这一行(或列)具有次小的Cij的空格中,以保证有较小的目标函数值。
此外,用最小法时需要注意的地方在这里仍然适用,以保证基变量的个数为m+n-1个。
仍以例1为
例。
A3
由表6-13中Cjj可见,在第一行中,次小与最次小Cjj间的差值为7—2=5,第一列为2—1=1,其余如表6-13所示。
在所有行及列中,第一行的差值5为最
大,在第一行的Cij中,C11=2最小,故先决定X11的值。
和上这两种方法一样,给X11以尽可能大的值,即令X11=minfe,9}=3,以心处填上3,并画上圈。
此时第一列已满足,故在X21,X31处打上X,在剩余空着的格子中,以同样的方法重复做下去,最后得出一组基本可行解如表6-14所示。
表6-14中,初始基本可行解对应的目标函数值为
z=2X+9><5+X3+2X4+7X1+2X5=88
可见用差值法求出的结果比上面两种方法都好些。
以上介绍了在表格上直接找初始基本可行解的几种方法,并且可以证明如下定理。
4
定理2用西北角法、最小元素法及差值法得到的Xij的值是一组基本可行
解,而画圈的地方正好是基变量。
(证略)
第二章曾说过,有些线性规划问题存在最优解,而且些线性规划问题没有最优解,即可行解可以使目标函数值没有限界。
在运输问题中则有如下定理。
定理3任何运输问题都有最优解。
证由定理2可知,任何运输问题都有基本可行解。
又因为Cj都是非负的,即可行解必使
mn
Z=送送CijXij
izij=1
永远取非负值,所以目标函数必有下界,这就证明了任何运输问题必有最优解。
第三节求检验数的方法
和用单纯形法解线性规划问题一样,在求出初始基本可行解以后,就应检查这组基本可行解是不是最优解。
在求目标函数值极小化的线性规划问题中,若所有的检验数Cj-Zj都非负,表示所检验的基本可行解是最优解;若有负检
验数,就需要迭代。
运输问题是线性规划问题的特殊情况,有其独特的求检验数的方法,但在求出检验数以后,上述判别基本可行解是否最优解的准则也是适用的。
下面介绍两种求运输问题检验数的方法。
、闭回路法
前面已经介绍了闭回路的概念,以及求初始基本可行解的方法。
在用闭回路法求检验数时,还需用到下述定理。
定理4设变量组X」,xi2j2,…,xisjs(s=m+n-1)
中,存在唯一的闭路。
(证略)
下面介绍求检验数的闭回路法。
设xj是一个非基变量,按照定理4,在表各中可以找到唯一的闭回路。
以Xj作为第一个顶点,沿着一个方向将闭回路所有奇数顶点对应的Cj值取为正,所有偶数顶点的Cj值取为负,求它们的代数和即为x所对应的格子的检验数,填入相应的格子内。
例4仍以例1为例,如果已用最小元素法求出的初始基本可行解如表6-10所示,求诸非基变量(空格)的检验数。
解X11对应的闭回路为X11,X14,X24,X21。
X11空格对应的检验数为
Xii=5一G4+C24-C21=2一7+2-1=-4
X23空格对应的检验数为
^23=C23—024+Ci4-C12+C32—C33
=4-2+7-9+4-2=2
其它非变量对应的检验数用同样的方法求出,把求出的检验数记入另一张表中,见表6-15。
方格中右上角画圈的数字为基变量,不画圈的数字为检验数。
地
产地'7-
B1
B2
B3
B4
丿量
A1
2-4
⑤
9
3
10
④
7
9
14
A3
从表6-15可见,存在负数的检验数,故这一组基本可行解不是最优解。
利用闭回路法求检验数可作如作如下的经济解释。
例如,在X11对应的空格
处把调运方案改变一下,由产地A1生产的物资调一个单位给B1,为了保持平衡,就要在X14处减少一个单位,即要找一条除X11这一空格外,其余均为有数字格为顶点组成的闭回路。
显见,调整后的方案X11处使目标函数值增加2,X14处使目标函数数值减少7,X24处使目标函数值增加2,X21处使目标函数减少1,增减相抵,总的目标数值减少4。
可见调运方案的这一改变是有利的。
反之,
如果某一个空格的检验数为正,则说明这一格调整方案是不可取的。
如果求出的检验数全部大于或等于零,表明对调运方案作任何改变都不会使目标函数数值减少,即给定的基本可行解已是最优解。
二、位势法
用闭回路法求检验数,需要对每一个空格寻找闭回路,然后再去求检验数。
当一个运输问题的产销点很多时,这种方法的计算工作量是很大的,不如位势法简便。
下面介绍位势法。
设给定一组基本可行解,它的基变量为
Xiiji,X2j2,…,xisjs(s=m+n-1)
现在引时的m+n个未知数儿比UmMS,
“2并且由上述基本可行解出发建立一个议程组如下:
Ui1ri1二九,
5202=%,
Ui1中Ui1=Ci.i
方程组(6-6)中一共有m+n个未知数,m+n-1个方程。
在这m+n个未知数中,可以任取一个为零,一般可取U1=0,这样就可以解出方程组(6-6),我们把方程组(6-6)的解叫做位势。
仍以例1为例说明方程组的造法,表6-10中给出的一组基本可行解,x12,
因此,这时方程组(6-6)
x14,X21,X24,x32,x33是此基本可行解中的基变量。
应该是:
只须使要求出一组
有cij=Ui+Uj,如前
在求位势时,可在表上直接进行,不必写出方程组,
U1,U2…Um,5…,。
对每一个画有图的数的格子来说,
所述,取柑1=0,不难看出,绥u3仝,u3仝,可得4=7,曲4=7,可得2=^由u2=-5,可得u1=6,将这些数字分别填在6-16的左边与上边。
表6-16
产地
销地
B1
B2
B3
B4
丿量
0
A1
2
⑤
9
10
④
7
9
-5
A2
1③
3
4
2②
5
-5
A3
8
③
4
④
2
5
7
销
量
3
8
4
6
现在再来求各空格(对应一个非基变量)的检验数。
例如,先求^11,由闭
回路法可得
%=C11—04+C24—C21
=5-(U1+V4)+(U2+V4)-(U2+V1)
一般来说,求检验数有下面的定型.
定理5设给出一组基本可行解,U1,U2,…,u,v,v,…,Vn上此基本可以解对应的位势,则对于每一个非基变量xj而言,它对应的检验数妬为
几ij=Cij-ui-Vjo
(证略)
利用定理5,将表6-16中的检验数都求出来,并且填在相应的格子中就有表6-17。
表6-17
产地
6
B1
9
B2
7
B3
7
B4
产量
0
A1
2-4
9
⑤
10
3
7
④
9
-5
A2
1③
3
-1
4
2
2
②
5
-5
A3
87
4
③
2
④
5
8
7
销
量
3
8
1
4
6
可以看出,表6-17中的检验数与表6-15中用闭回路法求出的检验数是样的。
第四节方案的调整
在已求得的基本可行解及检验数的平衡表中,若有负的检验数,按判别准
则,它就不是最优解,应进行调整,以求出另一组基本可解,使目标函数值下降(设基本可行解中基变量的值均不为零)
要求出下一组基本可行解,首先要决定哪一个非基变量要进入基中去,哪
一个基变量要从基中取出来,同单纯形法一样,在负的检验数中,一般取检验数最小的(即色对值最大的)非基变量作为换入变量。
根据定理4,设y为起
点,可以找到唯一的闭回路。
把这条闭回路上的顶点排队,y是第一个,然后
按下述办法确定换出变量与调整量:
在由y出发的偶顶点上,Xij的最小值就是调整量,其中使Xij取最小值的变量就是换出变量,若有两个偶顶点同时有同一最小值时,则任取一个作为换出变量。
例如,表6—17已求出检验数,表中有两个负的检验数,其中值最小的是
—4。
因此,应该把X11作为换入变量,X11对应的闭回路如表6-18所示。
表6-18
X地
产地
B1
B2
B3
B4
曰.产量
A1
2
-4
9
⑤
10
3
7
④
9
A
1
③
3
-1
4
2
2
②
5
A
8
7
4
③
2
④
5
3
7
销量
3
8
4
6
从xii出发的第2个顶点xi4的值为4,第4个顶点X21的值是3,最小值为
3。
因此,X21是换出变量,调整量是3。
按照上述调整办法,在X11,X24处,Xij的值应该加3,在X14、X21处,Xij的值应该减去3。
这样
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- 第四 运输 问题
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