中考数学复习锐角三角函数测试题2带解析华东师大版.docx

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中考数学复习锐角三角函数测试题2带解析华东师大版

2015中考数学复习锐角三角函数测试题2（带解析华东师大版）

2015中考数学复习锐角三角函数测试题2（带解析华东师大版）

一．选择题（共8小题）

1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）

A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km

2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）

A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里

3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（）

A．B．C．D．

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）

A．B．C．D．

5．在△ABC中，若AC：

BC：

AB=5：

12：

13，则sinA=（）

A．B．C．D．

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（）

A．sin2AB．cos2AC．tan2AD．cot2A

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（）

A．B．C．D．

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）

A．B．C．D．2

二．填空题（共6小题）

9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为_________m（精确到1m）．

（参考数据：

sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为_________米（用含α的代数式表示）．

11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为_________m（结果保留根号）

12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________海里．

13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=_________．

14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=_________．

三．解答题（共9小题）

15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．

（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为_________m；

（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．

16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：

≈1.73，≈1.41）

17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．

（1）计算AB的长度．

（2）通过计算判断此车是否超速．

18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

（1）求改直的公路AB的长；

（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？

（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？

（结果保留到0.01米）

（参考数据：

sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：

2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：

≈1.414，≈1.732．提示：

坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．

21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？

（参考数据：

sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：

4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？

23．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

图形的变化——锐角三角函数2

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）

A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km

考点：

解直角三角形的应用-方向角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．

解答：

解：

如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，

∴AD=OA=2．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，

∴BD=AD=2，

∴AB=AD=2．

即该船航行的距离（即AB的长）为2km．

故选：

C．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）

A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里

考点：

解直角三角形的应用-方向角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．

解答：

解：

过点P作PC⊥AB于点C，

由题意可得出：

∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，

故CP=AP=40（海里），

则PB==40（海里）．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．

3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理．

专题：

网格型．

分析：

先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．

解答：

解：

在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，

∴AC===2，

∴cosC===．

故选B．

点评：

本题考查了锐角三角函数的定义：

在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义．

分析：

利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．

解答：

解：

∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴sinB===，

故不能表示sinB的是．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．

5．在△ABC中，若AC：

BC：

AB=5：

12：

13，则sinA=（）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．

分析：

先根据三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．

解答：

解：

∵△ABC中，AC：

BC：

AB=5：

12：

13，即52+122=132，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．

sinA==．

故选：

A．

点评：

本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（）

A．sin2AB．cos2AC．tan2AD．cot2A

考点：

锐角三角函数的定义．

分析：

求出∠=∠BCD，解直角三角形求出BC、求出BD即可得出答案．

解答：

解：

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=1，

∴BC=ABsinA=sinA，

∵CD为边AB上的高，

∴∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD，

∴BD=BCsin∠DCB=1×sinA×sinA=sin2A，

故选A．

点评：

本题考查了锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出BC的长和BD的长．

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．

分析：

根据斜边中线等于斜边一半得出AB，利用勾股定理求出BC，继而可计算sinA的值．

解答：

解：

∵CD是AB上中线，

∴AB=2CD=10，

BC==6，

∴sinA==．

故选C．

点评：

本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握直角三角形的斜边中线等于斜边一半．

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）

A．B．C．D．2

考点：

互余两角三角函数的关系．

分析：

由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．

解答：

解：

∵，∠C=90°，cosA=，

∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=．

故答案选：

C．

点评：

本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．

二．填空题（共6小题）

9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为59m（精确到1m）．

（参考数据：

sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

根据灯塔顶部B的仰角为35°，BC=41m，可得tan∠BAC=，代入数据即可求出观测点A到灯塔BC的距离AC的长度．

解答：

解：

在Rt△ABC中，

∵∠BAC=35°，BC=41m，

∴tan∠BAC=，

∴AC==≈59（m）．

故答案为：

59．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．

解答：

解：

∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，

∴=tanα，

∴BC=ACtanα=7tanα（米）．

故答案为：

7tanα．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．

解答：

解：

作CE⊥AB于点E，

在Rt△BCE中，

BE=CD=5m，

CE==5m，

在Rt△ACE中，

AE=CEtan45°=5m，

AB=BE+AE=（5+5）m．

故答案为：

（5+5）．

点评：

本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．

考点：

解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：

根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．

解答：

解：

根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，

∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，

∴∠CAD=30°=∠ACB，

∴AB=BC=20海里，

在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，

∴sin60°=，

∴CD=12×sin60°=20×=10海里，

故答案为：

10．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=．

考点：

锐角三角函数的定义．

分析：

根据三角函数的定义解答．

解答：

解：

观察图形可知，tan∠BAC==．

点评：

本题考查锐角三角函数的概念：

在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=．

考点：

锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．

分析：

过A作AD⊥BC于D，求出BD，根据勾股定理求出AD，解直角三角形求出即可．

解答：

解：

过A作AD⊥BC于D，

∵AB=AC=5，BC=8，

∴∠ADB=90°，BD=BC=4，

由勾股定理得：

AD==3，

∴sinB==，

故答案为：

．

点评：

本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

三．解答题（共9小题）

15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．

（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为23.5m；

（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．

考点：

解直角三角形的应用．

专题：

应用题．

分析：

（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；

（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．

解答：

解：

（I）∵点C是AB的中点，

∴A'C'=AB=23.5m．

（II）设PQ=x，

在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，

∴MQ=，

在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，

∴NQ=，

∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，

解得：

x≈97．

答：

解放桥的全长约为97m．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．

16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：

≈1.73，≈1.41）

考点：

解直角三角形的应用．

专题：

几何图形问题．

分析：

根据题意得出AP，BP的长，再利用三角形面积求法得出NP的长，进而得出容器中牛奶的高度．

解答：

解：

过点P作PN⊥AB于点N，

∵由题意可得：

∠ABP=30°，AB=8cm，

∴AP=4cm，BP=ABcos30°=4cm，

∴NP×AB=AP×BP，

∴NP===2（cm），

∴9﹣2≈5.5（cm），

答：

容器中牛奶的高度约为：

5.5cm．

点评：

此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出PN的长是解题关键．

17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．

（1）计算AB的长度．

（2）通过计算判断此车是否超速．

考点：

解直角三角形的应用．

专题：

应用题．

分析：

（1）已知MN=30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；

（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．

解答：

解：

（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，

∴AN=MNtan∠AMN=30．

在Rt△BMN中，

∵∠BMN=45°，

∴BN=MN=30．

∴AB=AN+BN=（30+30）米；

（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，

∴此车的速度为：

（30+30）÷6=5+5≈13.66，

∵60千米/时≈16.66米/秒，

∴13.66＜16.66

∴不会超速．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．

18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

（1）求改直的公路AB的长；

（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？

（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

考点：

解直角三角形的应用．

专题：

几何图形问题．

分析：

（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；

（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．

解答：

解：

（1）作CH⊥AB于H．

在Rt△ACH中，CH=ACsin∠CAB=ACsin25°≈10×0.42=4.2（千米），

AH=ACcos∠CAB=ACcos25°≈10×0.91=9.1（千米），

在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），

∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．

故改直的公路AB的长14.7千米；

（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），

则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．

答：

公路改直后比原来缩短了2.3千米．

点评：

此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？

（结果保留到0.01米）

（参考数据：

sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

考点：

解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．

解答：

解：

过A点作AE⊥CD于E．

在Rt△ABE中，∠ABE=62°．

∴AE=ABsin62°=25×0.88=22米，

BE=ABcos62°=25×0.47=11.75米，

在Rt△ADE中，∠ADB=50°，

∴DE==18米，

∴DB=DE﹣BE≈6.58米．

故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．

点评：

考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．

20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：

2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：

≈1.414，≈1.732．提示：

坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．

考点：

解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．

解答：

解：

作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，

由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：

2.5，

在Rt△ABE中，=，

∴AE=50米．

在Rt△CFD中，∠D=30°，

∴DF=CFcot∠D=20米，

∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．

故坝底AD的长度约为90.6米．

点评：

本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．

21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？

（参考数据：

sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

考点：

解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题：

几何图形问题．

分析：

在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.3﹣5.7范围内即可．

解答：

解：

由题意得：

Rt△ACB中，AB=6米，∠A=20°，

∴AC=ABcos∠A≈6×0.94