整理柯西中值定理.docx
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整理柯西中值定理
§2 柯西中值定理和不等式极限
一 柯西中值定理
定理(6.5)设
、
满足
(i) 在区间
上连续,
(ii)在
内可导
(iii)
不同时为零;
(iv)
则至少存在一点
使得
柯西中值定理的几何意义
曲线
由参数方程
给出,除端点外处处有不垂直于
轴的切线,
则
上存在一点P处的切线平行于割线
.。
注意曲线AB在点
处的切线的斜率为
,
而弦
的斜率为
.
受此启发,可以得出柯西中值定理的证明如下:
由于
,
类似于拉格朗日中值定理的证明,作一辅助函数
容易验证
满足罗尔定理的条件且
根据罗尔定理,至少有一点
使得
,即
由此得
注2:
在柯西中值定理中,取
,则公式(3)可写成
这正是拉格朗日中值公式,而在拉格朗日中值定理中令
,则
. 这恰恰是罗尔定理.
注3:
设
在区间I上连续,则
在区间I上为常数
,
.
三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性
1、利用其几何意义
要点:
由拉格朗日中值定理知:
满足定理条件的曲线上任意两点的弦,必与两点间某点的切线平行。
可以用这种几何解释进行思考解题:
例1:
设
在(a,b)可导,且
在[a,b]上严格递增,若
,则对一切
有
。
证明:
记A(
),
,对任意的x
,记C(
),作弦线AB,BC,应用拉格
朗日中值定理,
使得
分别等于AC,BC弦的斜率,但因
严格递增,所以
<
,从而
<
注意到
,移项即得
<
,
2、利用其有限增量公式
要点:
借助于不同的辅助函数,可由有限增量公式
进行思考解题:
例2:
设
上连续,在(a,b)内有二阶导数,试证存在
使得
证:
上式左端
作辅助函数
则上式
=
,
=
,其中
3、作为函数的变形
要点:
若
在[a,b]上连续,(a,b)内可微,则在[a,b]上
(
介于
与
之间)
此可视为函数
的一种变形,它给出了函数与导数的一种关系,我们可以用它来研究函数的性质。
例3 设
在
上可导,
,并设有实数A>0,使得
≤
在
上
成立,试证
证明:
在[0,
]上连续,故存在
]使得
=
=M
于是 M=
≤A
≤
≤
。
故M=0,
在[0,
]上恒为0。
用数学归纳法,可证在一切[
](i=1,2,…)上恒有
=0,所以
=0,
。
利用柯西中值定理研究函数的某些特性
1. 证明中值点的存在性:
例1 设函数
在区间
上连续, 在
内可导, 则
使得
.
证 在Cauchy中值定理中取
.
例2 设函数
在区间
上连续,在
内可导,且有
.
试证明:
.
2. 证明恒等式:
例3 证明:
对
有
.
例4 设函数
和
可导且
又
则
.
证明
.
例5 设对
有
其中
是正常数.
则函数
是常值函数. (证明
).
3. 证明不等式:
例6 证明不等式:
时,
.
例7 证明不等式:
对
,有
.
4. 证明方程根的存在性:
证明方程
在
内有实根.
例8 证明方程
在
内有实根.
四、小结
本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性;难点是用辅助函数解决问题的方法。
1° 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。
微分中值定理主要指拉格朗日中值定理,它
的特例是罗尔定理,它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。
拉格朗日中值定理是沟通
函数及其导数的桥梁,是数学分析的重要定理之一。
2° 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。
实际上,辅助函数法是转化问题的一种重要手
段,通过巧妙地数学变换,将一般问题化为特殊问题,将复杂问题化为简单问题,这种论证思想也是数
学分析的重要而常用的数学思维的体现。
关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题,请同学们结合第三
部分的题目仔细体会总结。
二 不定式的极限
一.
型:
定理6.6 (
Hospital法则) 若函数
和
满足:
(i)
(ii) 在点的某空心邻域内而这可导,且
;
(iii)
可为实数,也可为
)
则
(证)
注意:
若将定理中的x换成
,只要相应地求证条件(ii)中的
邻域,也可以得到同样的结论。
例1
例2
.
例3
. (作代换
或利用等价无穷小代换直接计算.)
例4
. (
Hospital法则失效的例)
二.
型不定式极限:
定理6.7 (
Hospital法则) 若函数
和
满足:
(i)
(ii) 在点
的某右邻域内二这可导,且
;
(iii)
可为实数,也可为
)
则
例5
.
例6
.
註:
关于
当
时的阶.
x=5:
0.1:
50;y1=log(x);
y2=x.^(1/2);
plot(x,y1,'b',x,y2,'m')
右图看出
高于
clf,x=1:
0.1:
5;
y1=exp(x);
y2=x.^2;
plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘)
右图看出
高于
除了房地产市场外,在不同职业和地点的工资差别中也可以发现类似的情形。
(5)公众意见采纳与不采纳的合理性;
2.早期介入原则;
(3)旅行费用法注意1
不存在,并不能说明
不存在(为什么?
)
环境影响评价工程师课主持进行下列工作:
注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求,首先要注意它是不是不定式极限,其次是否满
足洛必达法则条件
(三)环境标准和环境影响评价技术导则例 求极限
. (
Hospital法则失效的例)
三. 其他待定型:
.前四个是幂指型的.
例7
例8
.
例9
(4)根据评价的目的、要求和评价对象的特点、工艺、功能或活动分布,选择科学、合理、适用的定性、定量评价方法对危险、有害因素导致事故发生的可能性及其严重程度进行评价。
例10
.
(3)专项规划环境影响报告书的内容。
除包括上述内容外,还应当包括环境影响评价结论。
主要包括规划草案的环境合理性和可行性,预防或者减轻不良环境影响的对策和措施的合理性与有效性,以及规划草案的调整建议。
例11
.
例12 设
且
求
影响支付意愿的因素有:
收入、替代品价格、年龄、教育、个人独特偏好以及对该环境物品的了解程度等。
解
.
三、规划环境影响评价例13
.
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