完整版必修一函数的单调性题型大全.docx
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完整版必修一函数的单调性题型大全
函数的单调性与最值
一、知识点归纳
1、函数单调性的性质:
(1)
增函数:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
f(x1)-f(x2)>0
,当时,都有,
x1-x2
(2)
减函数:
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值,当时,
f(x1)-f(x2)<0
都有,
x1-x2
(3)函数的单调性还有以下性质.
1.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.
2.当f(x)恒为正或恒为负时,函数y=
1
f(x)与y=f(x)的单调性相反.
3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等.
()()
fxfx
4.如果k>0函数k与函数具有相同的单调性。
()()
fxfx
如果k<0函数k与函数具有相反的单调性。
1
5.若f(x)≠0,则函数f(x)与f(x)具有相反的单调性,.
fxfx
6.若>O,函数与函数
fx
具有相同的单调性。
fxfx
若<0,函数与函数
fx
具有相同的单调性
7.函数f(x)在R上具有单调性,则f(-x)在R上具有相反的单调性。
2、复合函数的单调性。
①如果函数
u=g(x)x∈A
u∈B
y=f(u)(C⊆B)
y∈D,则y=
f[g(x)]
称为x的复合函数。
②解决复合函数的问题,关键是弄清复合的过程,即中间变量u的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断:
同增异减。
题型一、单调性讨论或证明
▲定义法证明单调性的等价形式:
设x1、x2∈[a,b],x1≠x2,那么
(x-x)[f(x)-f(x
)]>0⇔
f(x1)-f(x2)>0⇔
f(x)在[a,b]上是增函数;
1212
x1-x2
(x-x)[f(x)-f(x
)]<0⇔
f(x1)-f(x2)<0⇔
f(x)在[a,b]上是减函数.
1212
x1-x2
例1.证明:
f(x)=1
x2
在(-∞,0)上是增函数;
1-x
变式1.判断f(X)=1+x在(-1,+∞)上的单调性
例2.求函数f(x)=
ax
1-x2
(a>0)在区间(-1,1)内的单调性
变式1.若例题中改成a≠0.该怎么做呢
例3.已知a>0,函数f(x)=x+a(x>0),证明:
函数f(x)在(0,x
a)上是减函数,在
[a,+∞)上是增函数。
变式1.判断函数f(x)=x+1在(1,+∞)上的增减情况
x
单调性的应用
题型二、比较函数值的大小
例4.已知函数y=
f(x)在[0,+∞)上是减函数,试比较
f(3)4
与f(a2-a+1)的大小.
变式1.已知函数y=
f(x)在[1,+∞)上是增函数,比较f(a)与f(a2)的大小
题型三、已知单调性,求参数范围(含参问题)
例5.已知函数f(x)=x2-2(x-a)x+2
(1)若f(x)的减区间是(-∞,4],求实数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,4]上单调递减,求实数a的取值范围.
⎨-x2+(2-b)x,x≤0
例6.若函数f(x)=⎧(2b-1)x+b-1,x>0在R上为增函数,求实数b的取值范围.
⎩
例7.函数f(x)=ax+1在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是()
x+2
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