双线性变换法设计数字低通滤波器概要.docx
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双线性变换法设计数字低通滤波器概要
燕山大学
课程设计说明书
题目:
双线性变换法设计数字低通滤波器
学院(系):
电气工程学院
年级专业:
检测
学号:
学生姓名:
沫沫
指导教师:
仝娜
教师职称:
讲师
课程名称:
数字信号处理课程设计
基层教学单位:
仪器科学与工程系
电气工程学院《课程设计》任务书
学号
100103020038学生姓名
沫沫
(专业)班级检测
设计题目
12、双线性变换法设计数字低通滤波器
设计技术参数
给定技术指标为:
fp=100Hz,fs=300Hz,ap=3dB,a20dB,采样频率Fs=1000Hz。
设计要求
设计Butterworth低通滤波器,用双线性变换法转换成数字滤波器。
(buttord,buttap,butter,bilinear)
参考资料
数字信号处理方面资料
MATLABT面资料
周次
前半周
后半周
应
宀
完成内容
收集消化资料、学习MATLAB^件,进行相关参数计算
编写仿真程序、调试
指导教师签字
基层教学单位主任签字
指导教师:
王娜
说明:
1、此表一式四份,系、指导教师、学生各一份,报送院教务科一份。
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院教务科
第一章绪论4
第二章用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理5
2.1双线性变换法5
2.1.1双线性变换法的基本原理5
2.1.2转换关系分析6
22巴特沃斯低通滤波器原理9
第三章用双线性变换法设计低通滤波器步骤11
第四章MATLAB程序11
第五章程序中命令介绍13
第六章运行结果及波形14
第七章结果分析16
第八章心得体会17
参考文献18
第一章绪论
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
数字滤波实质上是种运算过程,实现对信号的运算处理。
输入数字信号(数字序列)通过特定的运算转变为输出的数字序列,因此,数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程,也可以理解为是一台计算机。
描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则,使其按照这个规则完成对输入数
据的处理。
时域离散系统的频域特性
:
Y(ej'^X(er)H(ej),其中Y(ej)、
X(e‘)分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为频谱特性),H(e')是数字滤波器的单位取样响应的频谱,又称为数字滤波器的频域响应。
输入序列的频谱X(e')经过滤波后X(ej)H(e?
),因此,只要按照输入信号
频谱的特点和处理信号的目的,
适当选择H(ej」,使得滤波后的X(e「)H(e「)
满足设计的要求,这就是数字滤波器的滤波原理。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性,可分为两种,即无限长冲激响
是,具有无限持续时间冲激响应,需要用递归模型来实现,其差分方程为:
NN
y(n)=、aix(n_i)、by(n_j)
i=0im
系统函数为:
M
、HZ」
H⑵=
H(z),使其频率
计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数
k旦
响应H(z)满足所希望得到的频域指标,即符合给定的通带截止频率、阻带截止率、通带衰减系数和阻带衰减系数。
第二章用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理
2.1双线性变换法
sT
由于从s平面到Z平面的映射z=e具有多值性,使得设计出来的数字滤波器不可
避免的出现频谱混叠现象。
为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点,
我们使用一种新的变换一一双线性变换。
2.1.1双线性变换法的基本原理
双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分,利用对积分的数值逼近的思想。
仿
真滤波器的传递函数H(s)为
M
k
CkS
H(s)=铲,MN(2-1)
送dkSk
kd
将展开为部份分式的形式,并假设无重复几点,则
如下关系
y(t)-Spy(t)二Ax(t)
利用差分方程来代替导数,即
同时令
1
y(t)y(n)y(n-1)1
2
1
x(t)x(n)x(n-1)l
2
这样,便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式
—ly(n)—y(n-1)丨-Sp[y(n)y(n-1)丨=△〔x(n)x(n一1)丨(2-4)
T22
两边分别取z变换,可得
这样,通过上述过程,就可得到双线性变换中的基本关系,如下所示
(2-7)
-s
T
所谓的双线性变换,仅是指变换公式中s与z的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。
2.1.2转换关系分析
双线性变换法采用非线性频率压缩方法,也就是将整个频域轴上的频率范围压缩到
-二/T~「:
/T之间,再用z=esT转换到z平面上。
也就是说,第一步现将整个S平面压缩映射
S1T
到S1平面的-二/T~二/T一条横带里;第二步再通过标准变换关系e将此横带变换到整
个z平面上去。
这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象,映射关系如图所示。
图2.1双线性变换法的映射情况
为了将S平面的整个虚轴j'1压缩到3平面轴上的-二/T到二/T段上,可以通过以
上的正切的变换实现
门=2/Ttan(「JT/2)(2-8)
式中,T仍是采样间隔。
当J由-二/T经过0变化到■:
/T时,门由-:
:
经过0变化到+:
:
也即映射了整个j'1轴。
将上式写成
(2-9)
_ej7T2一兰兀
e"TT22
将此关系解析延拓到整个S平面和S)平面,令j1=s,j〔\=S1,则得
(2-10)
S^tan単
T2T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为
1
c21-Z
S1(2-12)
T1Z
式(2-12)和式(2-13)是S平面与Z平面之间的单值映射关系,这种变换都是两个线性函数之比,因此成为双线性变换。
依靠双线性变换式建立起来s平面和z平面的单值映射关系,由上式我们可以得到
模拟频率11和数字频率,之间的关系:
门=-tan
(二)(2-14)
T2
从上式可知,当/■-时,••终止在折叠频率••二二处,整个轴是单值地对应于单位圆的一周。
因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法,它不存在频率混叠问题。
由于S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内,S平面的右半平面映射到Z平面的
单位圆外,S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。
因此,稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。
但是,它的频率变换关系是非线性畸变。
这种非线性即便可以通过预畸变来校正。
用双线性变换设计数字滤波器时,一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式(2-14)的频率预畸变,求得相应参考模拟滤波器的各临界频率,然后设计参考模拟滤波器的传递函数,最后通过双线性变换公式求出数字滤波器的传递函数。
这样通过双线性变换,正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。
图2.2双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
2.2巴特沃斯低通滤波器的原理
巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦,没有起伏,而在组频带则逐渐下降为零。
在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界频率开始,振幅随着角频率的增加而逐渐减少,趋向于负无穷大。
一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝,二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每
倍频12分贝,三阶的衰减率为每分贝18分贝,如此类推,巴特沃斯滤波器的振幅对角
频率单调下降,并且滤波器的阶数越高,在组频带振幅衰减速度越快,其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。
上述函数的特点是等距离分布在半径为门的圆上,如下图所示为三阶巴特沃斯滤波器极点分布图:
-
Z
/
/
/
弟2(
7」
、
\
\
1£斗
\
X
\
52〜一
/
//
/
—4-
]
图2.3三阶巴特沃斯滤波器极点分布图
因此,极点用下式表示为
Ha(S)的表示式:
(2-19)
N和3dB截止频率Qc
为了使设计公式和图表统一
归一化,归一化后的系统函数为
A)_讥)s
c门w
k=0—c
令p=j■=S^—c,'-,■称为归一化频率,p称为归一化复变量,这样
巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为
Ga=(2-18)
丨丨(P-Pk)
k=0
式中,pk二S..'」c,为归一化极点,用下式表示:
j一.(1.212)
Pk二e22Nk=0,1,2,N-1
巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数
的过程。
第三章用双线性变换法设计低通滤波器步骤
设计数字滤波器的具体步骤如下:
(1)确定数字低通滤波器的技术指标:
通带截止频率「P、通带最大衰减系数:
、阻带截止频率••、阻带最小衰减系数「S。
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
采用双线性变换
法,频率的转换关系为
门=2tan(_)
T2
(3)根据转换后的性能指标,确定滤波器最小阶数n和固有频率wn。
(4)由最小阶数n得到巴特沃斯模拟低通滤波器原型。
(5)将模拟滤波器系统函数Ha(S)从s平面转换到z平面,得到数字低通滤波器系统函
21—z
数H(z)。
H(z)=Ha(S)|s亍
T1+z
第四章MATLAB程序
用双线性变换法设计数字低通滤波器的MATLA程序如下:
fs=1000;%采样频率
fp=100;
fst=300;
wp=2*pi*fp/fs;%数字通带截止频率
ws=2*pi*fst/fs;%数字阻带截止频率
Rp=3;%通带最大衰减系数r
Rs=20;%阻带最大衰减系数
Fs=fs/fs;
Ts=1/Fs;%采样周期
m=256;%采样点数
Wp=2/Ts*tan(wp/2);%模拟通带截止频率
Ws=2/Ts*tan(ws/2);%模拟阻带截止频率
[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数[z,p,k]=buttap(N);%创建巴特沃斯模拟低通滤波器
[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);%由零点、极点、增益确定传输函数的分子与分母的系数[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn);%模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换,归一化
[bz,az]=bilinear(b,a,Fs*Ts/2);%用双线性变换法实现模拟低通滤波器到数字低通滤
波器的转换
[h,w]=freqz(bz,az,m,Fs/fs);
db=20*log(abs(h)/max(abs(h)));
figure
(1);
plot(w,abs(h),'r');
title('数字低通滤波器')
gridon;xlabel('频率(rad)');
ylabel('幅度')
figure
(2);
subplot(2,1,1);
plot(w/pi,db);
title('幅频特性');
xlabel('w/pi');
ylabel('20lg|Hg(w)|');
gridon;
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angle(h));
title('相频特性');
xlabel('w/pi');
ylabel('相位');
gridon;
[Nc,wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%计算滤波器阶数和3dB截止频率
[bl,al]=butter(Nc,wc,'s');%计算滤波器系统函数分子分母多项式
[h,f]=freqs(bl,al);
figure(3)
plot(f,abs(h));
gridon,xlabel('频率(HZ)');
ylabel('幅度')
title('模拟低通滤波器');
第五章程序中命令介绍
程序中所用的主要指令如下:
1)确定滤波阶数函数buttord
格式:
[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'S')
表示选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数
其中:
N:
满足指标的最低滤波器阶数
Wn:
巴特沃斯自然频率
Rp:
通带最人衰减
Rs:
阻带最小衰减
Wp、
Ws归一化的通带和阻带边缘频率。
确定低通模拟滤波器原函数buttap
格式
:
[Z,P,K]=buttap(N)
其中:
N:
满足指标的最低滤波器阶数
Z:
N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的零点
P:
N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的极点
K:
N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的增益
3)双线性变换函数billinear
格式:
[bz,az]=bilinear(bs,az,Fs/2)
其中:
as:
模拟滤波器传递函数的分母系数
bs:
模拟滤波器传递函数的分子系数
az:
数字滤波器传递函数的分母系数
bz:
数字滤波器传递函数的分子系数
4)零点、极点、增益模型转换为传递函数模型zp2tf
格式:
[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k)
其中:
Bp:
模拟滤波器传递函数的分子系数
Ap:
模拟滤波器传递函数的分母系数
5)模拟低通滤波器到数字低通滤波器的转换Ip2lp
格式:
[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn)
其中:
b:
模拟滤波器传递函数的分子系数
a:
模拟滤波器传递函数的分母系数
6)数字滤波器的频率响应freqz
格式:
[h,w]=freqz(bz,az,m)
其中:
w:
m点频率
H:
m点频率响应
m:
采样点
第六章运行结果及波形
Niame*
V'r
20
1
0.E727
0.649-3
2.752A
临妇
D.7616
0,422$
□
0.1^4-220.9&45
O.HW
IDO
1CKX>
300
-0.0076-D-OOOSi
1
256
-OJ071-O_7O71i
0
0.8727
0,6?
W
1.BB50
M«x
1.4142
1
1
2
1
0J727
D.M9S
17528
i
L2342
1
0-4223
D.7fil6
Q
IQ
LOO
1000
3W
D-M67-D.LfiiOi
1
256
-Q.7D71f0.7D71i
4.9M5e-iMI
0^727
LB850
显示的图像如下:
HFigure2
□回S3
FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp二1由出心fe+、-、■?
:
動牡蠶•忌□s匕旦
幅频特性
0
(x是一™oz
-100
-200
OSw/pi相频特性
1G
k10'4
第七章
结果分析
本次设计的数字低通滤波器采用巴特沃兹滤波器使用双线性变换法,避免出现频谱
混叠现象。
一、根据要求的数据按照设计步骤计算:
(1)确定数字滤波器技术指标:
fp=100Hz,fs二300Hz,>p=3dB,>20dB,
采样频率Fs-1000Hz。
以采样频率为标准进行归一化:
Qp=2nfp/Fs=0.628,Qs=2nfs/Fs=1.885,Fs=1,
T=1o
(2)将数字滤波器技术指标转换成模拟滤波器的技术指标:
Qp'=2tan0.1n=0.650,
Qs'=2tan0.3n=2.753
(3)根据模拟滤波器技术指标求阶数N:
经计算N=1.5,取N=2.
计算3dB截止频率Qc=0.8727
二、仿真结果中模拟和数字滤波器幅频响应符合设计要求即给定技术指标:
通带截止频
fp=100Hz阻带截止频率fs=300Hz通带衰减ap=3dB阻带衰减a=20dB。
所仿真
结果中数据有N=2,Wn=0.8727,与计算结果一致。
仿真图中符合衰减效果。
由此可得所设计的程序符合所设计的技术和参数要求。
第八章心得体会
为期一周的数字信号课程设计在不知不觉中结束了,由于这个星期有很多的考试,因此真正课设的时间就变得很少。
但是通过本次课程设计,我还是有了很多的收获。
我对数字信号处理中相关的低通滤波器的设计又进行了系统的复习,对设计低通数字滤波器的整个过程有了很好的掌握,尤其对双线性变换法,巴特沃斯低通滤波器的原理,有了更深刻的理解。
而且通过数字信号处理课程设计,使我加深了对课堂抽象概念的理解,巩固了课堂上所学的理论知识,并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理与基本分析方法。
并且我还第一次接触了MATLAB软件,对其有了一些基本的了解。
由于我所掌握的非常有限,因此本次课设也存在很多不足,还需要进一步的努力。
总之,此次课程设计不光增长了我的知识,锻炼了我的动手能力,而且让我养成了查找资料、发现并解决问题的能力。
参考文献
2008
1薛年喜MATLAB在数字信号处理中的应用(第二版)清华大学出版社
2谢平王娜林洪彬信号处理原理及应用机械工业出版社,2009
燕山大学课程设计评审意见表
指导教师评语:
1该生学习态度(认真较认真不认真)
2该生迟到、早退现象(有无)
3
该生依赖他人进行设计情况(有无)
图面及其它成绩:
答辩小组评语:
1设计巧妙,实现设计要求,并有所创新。
2设计合理,实现设计要求。
3实现了大部分设计要求。
4没有完成设计要求,或者只实现了一小部分的设计要求。
答辩成绩:
组长签字:
2013年06月30日
课程设计综合成绩:
答辩小组成员签字:
2013年06月30日
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 双线 变换 设计 数字 滤波器 概要