分解因式 Microsoft Word 文档.docx

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2.1分解因式

一、教学目标

1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。

2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。

3．感受整式乘法在解决问题中的作用。

二、教学重难点

探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。

三、教学过程设计

1.创设情景，导出问题

（1）读一读：

首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示（演示章头图）.

章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。

（2）想一想：

993-99能被100整除吗？

你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？

今天我们大家一起来研究一下这个问题。

2.探索交流，概括概念

想一想：

993-99能被100整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流。

小时是这样做的

（1）      小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？

（2）      993-99还能被哪些正整数整除。

答案：

（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。

（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。

归纳：

在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。

议一议：

现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？

与同伴交流。

鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。

做一做：

计算下列各式：

（1）（m+4）（m-4）=;

（2）（y-3）2=；

（3）3x（x-1）=；

（4）m（a+b+c）=.

根据上面的算式填空：

（1）3x2-3x=（）（）

（2）m2-16=（）（）

（3）ma+mb+mc=（）（）

（4）y2-6y+9=（）（）

请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？

答案：

第一组：

（1）m2-16；

（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；

第二组：

（1）3x（x-1）；

（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。

第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。

议一议：

由a（a+1）（a-1）得到a3-a的变形是什么运算？

由a3-a得到a（a+1）（a-1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能在举一些类似的例子加以说明吗？

与同伴交流。

（引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念。

）

概括：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

3.巩固应用，拓展研究

课本P40随堂练习。

（学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式概念的掌握。

）

教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求：

（1）      分解的结果要以积的形式表示；

（2）      每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

（3）      必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。

4.练习巩固，促进迁移

（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）

A．（x+3）（x-3）=x2-9B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1

C．a2b+ab2=ab（a+b）D．

答案：

C

（2）证明：

一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。

证明：

设原数百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原数可表示为100x+10y+z，交换位置后数字为100z+10y+x。

则：

（100z+10y+x）-（100x+10y+z）

=100z-100x+x-z

=100（z-x）-（z-x）

=99（z-x）

则原结论成立。

（3）（陕西省，中考题）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

     A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2

     C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．a2-b2=（a+b）（a-b）

   答案：

D。

5.回顾联系，形成结构

想一想：

分解因式与整式乘法有什么关系？

（如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程；如果把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式乘法就是它的逆过程。

因此，整式乘法与多项式的因式分解互为逆过程。

这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别。

）

（通过归纳总结，使学生对多项式的因式分解与整式乘法两者的密切关系，从而更好得理解多项式的因式分解。

）

6.课外作业与拓展

北师大版八年级（下）P17－P18

2.2提公因式法

一、教学目标

1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。

2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。

二、教学重难点

教学重点用提公因式法把多项式分解因式

教学难点探索多项式因式分解方法的过程

三、教学过程设计

第一课时

1.创设情景，导出问题

张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。

他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。

（让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示）

关于这一问题两位同学给出了各自的做法。

方法一：

16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）

方法二：

16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）

请问：

两位同学计算的方法哪一位更好？

为什么？

答案：

第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。

（使学生在具体的实际问题解决过程中发现提取公因数便于计算，从而使他们初步感知提取公因式方法的实际应用。

）

2.探索交流，概括概念

（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？

多项式3x2+x呢？

多项式mb2+nb-b呢？

（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。

讨论概括：

（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。

如b就是多项式ab+bc的公因式。

同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。

（有了上面的情景，学生在刚回顾因数意义的同时，很容易说明因式的含义。

）

（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

这种分解因式的方法叫做提公因式法。

3.巩固应用，拓展研究

例1将下列各式分解因式：

（1）      3x+6；

（2）      7x2-21x；

（3）      8a3b2-12ab3c+abc；

（4）      -24x3-12x2+28x

答案：

（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）

（2）7x2-21x=7x·x-7x·3=7x（x-3）

（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·c

=ab（8a2b-12b2c+c）

（4）-24x3-12x2+28=-（24x3+12x2-28）

=-（4x•6x2+4x•3x-4x•7）

=-4x（6x2+3x-7）

想一想：

提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

（进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系）

4.练习巩固，促进迁移

（1）写出下列多项式的公因式：

（课本练习）

 ①ma+mb②4kx-8ky③5y3+20y2④a2b-2ab2+ab

（2）把下列各式分解因式：

①3x2-6xy+x②-4m3+16m2-26m

答案：

（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）

（2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）

（3）利用分解因式计算：

①33×0.48+85×0.48-18×0.48②7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.25

5.回顾联系，形成结构

想一想：

这节课我们学了写什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

6.课外作业与拓展

北师大版八年级（下）P12－P13

第二课时

1.课前热身，复习回顾

想一想：

什么是公因式？

怎样提取公因式？

做一做：

（1）下列用提取公因式法分解因式正确的是（）

A．a3+2a2+a=a（a2+2a）B．-x2y+4x2y2-7xy=-xy（x-4xy+7）

C．6（x-2）+x（2-x）=（x-2）（x+6）D．a（a-b）2+ab（a-b）=（a+ab）（a-b）

（2）（-3）2005+（-3）2004等于

（通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备。

）

2.应用拓展，深化研究

把下列各式分解因式：

①a（x-3）+2b（x-3）；②5（x-y）3+10（y-x）2。

答案：

①a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）

②5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2

=5（x-y）3+10（x-y）2

=5（x-y）2（x-y+2）

（此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律。

）

第1小题在教学时引导学生把（x-3）看作一个整体，从而解决工艺市是多项式的情况；

第2小题是在第1小题的基础上，进一步解决符号问题。

教学时要引导学生正确理解（x-y）与（y-x），（x-y）2与（y-x）2的关系。

3.练习巩固，促进迁移

课本练习P45“做一做”

（加强学生的符号感）

3.巩固应用，拓展研究

（1）把下列各式分解因式：

①3x2-6xy+x②-4m3+16m2-26m

答案：

①3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）②-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）

（2）

（3）把下列各式分解因式：

①4q（1-p）3+2（p-1）2

②3m（x-y）-n（y-x）

③m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）

答案：

①4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）

②3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）

③m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）

（4）计算

①已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；

②1998+19982-19992

答案：

①a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520

②1998+19982-19992=-1999

（5）比较2002×20032003与2003×20022002的大小。

解答：

设2002=x

∵2002×20032003-2003×20022002=x·10001（x+1）-（x+1）·10001x=0

∴2002×20032003=2003×20022002

5.回顾联系，形成结构

想一想：

这节课我们学了写什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

6.课外作业

北师大版八年级（下）P1－P2

2.3运用公式法

一、教学目标

   1．   经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。

   2．   会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）。

二、教学重难点

用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）

三、教学过程设计

第一课时

1.创设情景，导出问题

（1）观察多项式x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？

（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。

）

（2）将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。

（让学生充分交流，加深对这种方法的理解。

）

2.探索交流，概括概念

讨论：

（1）多项式的各项都能写成平方的形式。

如x2-25中：

x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x2-y2也是如此。

（2）逆用乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2,

可知x2-25=x2-52=（x+5）（x-5）,9x2-y2=（3x）2-y2=（3x+y）（3x-y）.

所以我们可以借助乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆过程得到乘法公式a2-b2=（a+b）（a-b）

3.巩固应用，拓展研究

例1把下列各式分解因式：

（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么）

提问：

a2-b2=（a+b）（a-b）中a，b都表示单项式吗？

它们可以是多项式吗？

例2         把下列各式分解因式：

（1）9（m+n）2-（m-n）2;

（2）2x3-8x;

解

（1）9（m+n）2-（m-n）2=4（2m+n）（m+2n）

（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。

）

（2）2x3-8x=2x（x2-4）=2x（x2-2x）=2x（x+2）（x-2）

（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止。

）

4.应用加强，课内深化

1把下列各式分解因式：

2如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？

5.练习巩固，促进迁移

（1）把下列各式分解因式

①-（x+y）2+z2（让学生比较（x+y+z）（z-x-y）与-（x+y+z）（x+y-z）是否相等）

②9（a+b）2-4（a-b）2③m4-16m4

（2）如图，水压机有四根空心钢立柱．每根的高h都是18米，外径D为1米，内径d为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨．求四根立柱的总重量．（π取3.14，结果保留两个有效数字）．

解：

设四根立柱总重量为w吨，则

证明二：

原式=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1

令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2

原式=a（a+2）+1=（a+1）2

即（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=（x2+5x+5）2

证明三：

原式=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1

令

原式=（x2+5x+5-1）（x2+5x+5+1）+1

=（m-1）（m+1）+1=m2=（x2+5x+5）2

（3）已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。

答案：

∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0

即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0∴（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0

∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（a-c）2≥0∴a-b=0，b-c=0，a-c=0

∴a=b，b=c，a=c

∴这个三角形是等边三角形.

（4）设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？

答案：

当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。

（5）分解因式：

（6）分解因式：

5.回顾联系，形成结构

想一想：

怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

6.课外作业与拓展

北师大版八年级（下）P23－P24

回顾与思考

●教学目标

（一）教学知识点

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.

2.熟悉本章的知识结构图.

（二）能力训练要求

通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2

上面这个变化过程是分解因式吗？

说明你的理由。

2.探索交流，解决问题

答案：

a2±2ab+b2=（a±b）2是分解因式。

因为（a+b）2是因式的乘积的形式，（a-b）2也是因式的乘积的形式。

形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子称为完全平方式。

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来吧某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

3.练习巩固，促进迁移

1把下列各式分解因式：

（1）x2+14x+49;

（2）（m+m）2-6（m+n）+9

      （3）3ax2+6axy+3ay2;（4）-x2-4y2+4xy

答案：

（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m+m）2-6（m+n）+9=[（m+n）-3]2=（m+n-3）2

      （3）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2

      （4）-x2-4y2+4xy=-（x-2y）2

（引导学生对照完全平方公式，确定公式中的a，b在此例中分别是什么。

）

2把下列各式分解因式：

（引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式，然后在进一步分解。

）

4.课内深化，提升能力

（1）若16x2+24xy+ny2是一个完全平方式，求n的值。

（此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P23第6题）

（2）求证（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个完全平方式。

证明一：

原式=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1

=（x2+5x）2+10（x2+5x）+25

=（x2+5x+5）2∴原命题成立

（三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.

●教学重点

复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.

●教学难点

利用分解因式进行计算及讨论.

●教学方法

引导学生自觉进行归纳总结.

●教具准备

投影片三张

第一张（记作§2.6A）

第二张（记作§2.6B）

第三张（记作§2.6C）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.

Ⅱ.新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?

［生］

（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.

（2）分解因式与整式乘法的关系.

（3）分解因式的方法.

［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?

（若学生有困难,教师可给予帮助）

［生］

（二）重点知识讲解

［师］下面请大家把重点知识回顾一下.

1.举例说明什么是分解因式.

［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）

把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.

［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:

（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.

（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.

2.分解因式与整式乘法有什么关系?

［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.

如:

ma+mb+mc=m（a+b+c）

从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.

3.分解因式常用的方法有哪些?

［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:

ma+mb+mc=m（a+b+c）

a2－b2=（a+b）（a－b）

a2±2ab+b2=（a±b）2

4.例题讲解

投影片（§2.6A）

［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?

哪些不是?

说明理由.

（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2

（2）6x2y3=3xy·2xy2

（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2

（4）4ab+2ac=2a（2b+c）

［师］分析：

解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.

［生］解:

（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.

（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.

（3）不是因式分解,而是整式乘法.

（4）是因式分解.

投影片（§2.6B）

［例2］将下列各式分解因式.

（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;

（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;

（3）

－

x2;

（4）9（x+y）2－4（x－y）2;

（5）x4－25x2y2;

（6）4x2－20xy+25y2;

（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.

解:

（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5

=2a2b3（4a2－2ab+b2）;

（2）－9ab+18a2b2－27a3b3

=－（9ab－18a2b2+27a3b3）

=－9ab（1－2ab+3a2b2）;

（3）

－

x2=（

）2－（

x）2

=（

+

x）（

－

x）;

（4）9（x+y）2－4（x－y）2

=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2

=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］

=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）

=（5x+y）（x+5y）;

（5）x4－25x2y2=x2（x2－25y2）

=x2（x+5y）（x－5y）;

（6）4x2－20xy+25y2

=（2x）2－2·2x·5y+（5y）2

=（2x－5y）2;

（7）（a+b）2+10c（