第四篇专题1 泰勒展开.docx

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第四篇专题1泰勒展开

泰勒与放缩

专题壹逍遥剑法——泰勒展开式

【例1】验证下列函数的麦克劳林公式：

（1）

cosx=1-

x2+

2!

x4

（1）

4!

x2m2m

（2m）!

o（x）；

（2）

1

1-x

=1+x+x2+⋯+xn+o（xn）

1

1+x

=1-x+x2+⋯+（-1）nxn+o（xn）．

【例2】写出f（x）=e-2x的麦克劳林公式．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值；

（3）已知1.4142<<1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

x-1

2

x

（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围

（2）若2.2360

4

A．（-∞，0]

B．（-∞，1]

C．[0，+∞）

D．[1，+∞）

{1}B．{-1}

62

22ax2-x-1

C．[-1，+∞）2

D．（-∞1]

2

（1）若a=0，证明：

当-10时，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a的值．

，a>0．

（1）若a≥1，证明：

当x∈（0

π时，f（x）>0；

，）2

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求正实数a的取值范围．

的取值范围．

【例11】已知函数f（x）=ex+ax2-x

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线；

（2）若x=0为f（x）的一个极小值点，求a的取值范围．

（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有极小值且极小值为0，求a的值．

（1）当a=1时，若f（x）≥m在（0，+∞）上恒成立，求m的范围；

（2）当a≥1时，若x=0不是f（x）的极值点，求实数a的值．

2

的值为（）

A．1

3

B．1

2

C．1D．2

A．e+1

2

B．e-1

2

C．1

2

D．e

2

42

则该切线在y轴上的截距为．

A．（0，2]

B．（0，1]

C．（0，e]

D．（0，π）

6

（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；

（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

（1）当a=0时，证明：

当x≥0时，f（x）≥0；

（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

（1）证明：

f'（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

（）=-∈π≤（）≤x3

axsinx，x

[0，

2

]，其中a为常数，当a

1时，证明：

fx．

6

x

（1）求a的取值范围；

（2）证明：

f（x）>a（sinx+1）．

x

在x=x处取得极值，且x∈（15）．

00，

4

（1）求f（x）的极值；

5

（2）若x>0时，不等式f（x）-f（-x）>ax恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据：

e≈2.72，e4≈3.49）

A．（-∞，0）

B．（-∞，1）

C．（-∞，0]

D．（-∞，1]

A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值

C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值

A．-1B．0C．1D．±1

（1）求f（x）的单调区间；

sinx．

2+cosx

（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

（1）求函数f（x）的图象在π，1）处的切线方程；

2

（2）若任意x∈（0，+∞），不等式f（x）

-2x

x3

，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时：

2

（1）求证：

1-x≤f（x）≤

1；

1+x

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

（1）求常数b的值；

（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求证：

（1001）10000.4

1000100

10．已知f（x）=

ax2+bx

，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为2x-y-2=0．

（1）求a，b的值；

（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围；

（3）已知

=1.732，试估算ln4的近似值（精确到0.01）

3

2

（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xeax+xcosx+1≥（1+sinx）2恒成立．