绝对值的三角不等式典型例题.docx

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绝对值的三角不等式典型例题

1。

4绝对值三角不等式

☆教学目标：

1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；

2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义;

3.理解绝对值三角不等式打

4.会用绝对值不等式解决一些简单问题.

☆教学重点：

定理1的证明及几何意义.

☆教学难点：

换元思想的渗透。

☆教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）a+b≥a+b

（2）a—b≤a+b

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道

理?

实际上,性质。

a.^ab和弹=E（b^O）可以从正负数和零的乘法、除法

Iblb

法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出.因此，只要能够证明a+b∣3a+b对于任意实数都成立即可。

我们将在下面的例题中研究它的证

明.

现在请同学们讨论一个问题:

设a为实数，a和a哪个大?

显然a≥a,当且仅当a≥0时等号成立（即在a≥0时，等号成立。

在a£0

时,等号不成立）。

同样，a兰-a.当且仅当aWO时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a*+a、a≥—a及绝对值的和的

性质。

二、典型例题：

例1、证明

（1）a+b≥'a+b，

（2）,a+bZa—∙b。

证明

（1）如果a+bKo,那么，a+b=a+b.所以a+bZa+b=a+b。

女口果a+b

所以

a+b兰一a+（-b）=-（a+b）=a+b

（2）根据

（1）的结果，有a+b+_b^a+b_b,就是，a+b+b启a。

所以，a+b色a_b。

例2、证明a—b≤a—b≤a+b.

例3、证明a_b≤a_c+b_c。

思考:

如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A,B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c,则线段AB乞ACCB.当且仅当C在A,B之间时，等号成立。

这就是上面的例3。

特别的,取C=0（即C为原点），就得到例2的后半部分。

）

探究：

试利用绝对值的几何意义，给出不等式a+bκa+b的几何解释？

定理1如果a,b€R,那么a+bKa+b

在上面不等式中，用向量a,b分别替换实数则当a，b不共线时，由向量加法三角形法则：

向量a,b,a-b构成三角形，因此有∣a+b｜

其几何意义是什么？

含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。

由例1及上式，2x—3y^2x+3yca+a=a。

22

注意:

在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。

但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

四、巩固性练习：

1、已知A—ac∙c，B-b<£。

求证:

（A—B）-（a—b）CC。

2

2

2、已知

X_a

C

〈一，

y—b

〈C.求证:

2x_3y-2a+3b

C。

4

6

作业:

习题1。

22、3、5

1。

4绝对值三角不等式学案

☆预习目标:

1。

理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；

2。

了解定理1的两种证明思路及其几何意义；

3。

☆预习内容：

理解绝对值三角不等式・。

f

1。

绝对值的定义:

-a∙R,IaI=

表示数轴上坐标为a的点A

-b

2°.

—两个实数a，b,它们在数轴上对应的点分别为A,B，

那么｜a_bI的几何意义是

3.定理1的内容是什么?

其证法有几种？

4.若实数a,b分别换成向量a，b定理1还成立吗?

5.定理2是怎么利用定理1证明的？

☆探究学习：

1、绝对值的定义的应用

例1设函数f（X）=X十1一X-4.

1解不等式f（x）2;2求函数目=f（X）的最值.

2。

绝对值三角不等式：

探究|a|,｜b｜，|a—b|之间的关系。

1ab0时，如下图,容易得：

∣a*b∣|a||b｜.

***—-〉r:

__＊•——＊■

OaAa+bXa+bbao

2ab—-。

0时，如图,容易得：

∣a∙b∣∣a∣∙∣b∣.

ba+bOaXQOa+bb

③ab=O时，显然有：

∣a∙b∣∣a∣∙∣b∣.

综上，得

定理1如果a,b三R,那么|ab｜∣a∣∙∣b∣。

当且仅当时,等号成

在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a，b，

则当a,b不共线时，由向量加法三角形法则：

向量a，b,ab构成三角形，因此有｜ab｜一|a1|b1

它的几何意义就是：

定理1的证明：

时,等号成

定理2如果a,b,c∙R，那么|a9—|a—b∣∙∣b-c∣。

当且仅当

3、定理应用

例2

（1）a,b^R证明a+bXa—b

CC、

（2）已知χ—a∣〈y,y-b∣∙〈2,求证（x+y）—（a+b）〈c.。

☆课后练习:

a亠b

1。

当a、b∙R时，不等式-1成立的充要条件是

IaIFbl

A。

abT-0B.a亠b=0C。

ab：

：

:

0D。

ab〉0

2.对任意实数X，IX•1I∙IX一2I。

a恒成立，则a的取值范围是:

3.对任意实数X,｜X—1｜—|X•3｜：

：

:

a恒成立，则a的取值范围是

4.若关于X的不等式｜X_4｜•|X•3｜：

：

：

a的解集不是空集,则a的取值范围是

5.方程|諾|=舞的解集为丄不等式Iι⅛A占的解集是

6.已知方程|2X一1｜一|2X•1｜=a1有实数解，则a的取值范围为。

7.画出不等式X+y≤1的图形,并指出其解的范围。

利用不等式的图形解不等式

1°、IX+1_X_1｜£1;2X+2y≤1。

8。

解不等式:

3

1

2x—1

CX—1

;2

>1；

X-1

x+1∣+x+2〉3；4°〉x+2—x-1+3a0。

9.1、已知

a

〈—，

y

X

：

：

:

-。

求证：

6

2x—3y〈a.

2、已知

X_a

C

〈一,

y-b

〈c。

求证：

2x_3y—2a+3b

4

6

:

：

:

C。

3、已知

A-a

S

<—，B_b

3

S

〈-,C

3

求证:

（A+B+C）—（a+b+c）CS

10。

1°、已知x,

求证：

XyVa。

X

2”、已知Xcch,y>caO.求证：

—〈h.

y

参考答案：

☆课后练习

1、B.

2、aV3

3、a〉4

4、a>7

5、{-3VXV=—2或x>=0｝｛x<0或x〉2｝

6、—3〈=a〈-1

7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。

在第一象限内不等式等价于:

x_0,y_0，Xy乞1∙

其图形是由第一象限中直线y=1-X下方的点所组成。

2、3（解答略）

10、（解答略）