一次函数 最全面 知识点题型总结.docx
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一次函数最全面知识点题型总结
初中数学一次函数知识点总结
基本概念:
1、变量:
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数:
一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
3、定义域:
一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
函数性质:
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k. 即:
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)。
2.当x=0时,b为函数在y轴上的点,坐标为(0,b)。
3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行;
当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;
当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
图像性质
1.作法与图形:
(1)列表.
(2)描点;一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点。
2.性质:
(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。
3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
一次函数的图象特征和性质:
y=kx+b
b>0
b<0
b=0y=kx
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
4、特殊位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
了解如何设一次函数解析式:
点斜式 y-y1=k(x-x1)(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)
两点式 (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直线上(x1,y1)与(x2,y2)两点)
截距式 (y=-b/ax+ba、b分别为直线在x、y轴上的截距,已知(0,b),(a,0))
实用型(由实际问题来做)
扩展
1.求函数图像的k值:
(y1-y2)/(x1-x2)
2.求任意线段的长:
√(x1-x2)2+(y1-y2)2
3.求两个一次函数式图像交点坐标:
解两函数式,就是解方程组
4.求任意2点所连线段的中点坐标:
[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
5.若两条直线y1=k1x+b1平行y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2
6. 向右平移n个单位 y=k(x-n)+b
向左平移n个单位y=k(x+n)+b
向上平移n个单位y=kx+b+n
向下平移n个单位y=kx+b-n
总结与前几章的关系
1、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
2、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:
当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.
3、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=
的图象相同.
(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数和的图象交点.
主要考察内容:
①会画一次函数的图像,并掌握其性质。
②会根据已知条件,利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一次函数与二元一次方程组,一元一次不等式的关系。
y=kx+b当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限;
考点一:
一次函数的解析式与图像的性质:
【例1】若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
已知函数
的图象如图,则
的图象可能是【】
【例2】小敏家距学校
米,某天小敏从家里出发骑自行车上学,开始她以每分钟
米的速度匀速行驶了
米,遇到交通堵塞,耽搁了
分钟,然后以每分钟
米的速度匀速前进一直到学校
,你认为小敏离家的距离
与时间
之间的函数图象大致是()
【例3】已知关于
、
的一次函数
的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限,那么
的取值范围是
【例4】汽车开始行驶时,油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量y(升)与行驶时间t(时)的函数关系用图象表示应为下图中的()
【例5】李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,如果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出他行进的路程y(千米)与行进时间t(小时)的函数图象的示意图,同学们画出的图象如图所示,你认为正确的是()
【例6】弹簧的长度ycm与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如图所示,则弹簧不挂物体时的长度是()
(A)9cm(B)10cm(C)10.5cm(D)11cm
【例7】若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2,如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y1,乙弹簧长为y2,则y1与y2的大小关系为()
(A)y1>y2(B)y1=y2(C)y1 考点二: 一次函数系数和图象的关系 【例1】设b>a,将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组a,b的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是() 【例2】无论m为何实数,直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在() (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 考点三: 一次函数与二元一次方程组的综合题型 【例1】已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组 的解是________. 考点四: 一次函数与不等式的综合题型 【例1】当-1≤x≤2时,函数y=ax+6满足y<10,则常数a的取值范围是()
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