同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分.docx

同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分.docx

《同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分.docx（69页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分

§1对弧长地曲线积分

计算公式：

无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程

b

a兰t兰b,则（f（x,yps=faf（x（t）,y（t

dt

x=xtL：

y=yt

x=x（t）

L:

dt

b

afxt,yt,zt

"z（t）

Lfx,y,zds-

注意：

上限一定要大于下限

1.计算下列对弧长地曲线积分

<1）\（x2y2）2ds,其中L为圆周x2y2=a2；解：

法一：

Q|jx2+y2）2ds=|JL（a2）2ds

二玄仁ds=a4（2二a）=2二a5

法二：

_Lx=acosv

L:

0心：

:

2二,

y=asin

匸（x2y2）2ds

2二22222

[acos：

asin]-asinacosd：

2二5.5

ad^-2「a

<2）\exyds,其中L为圆周x2■y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成地扇形

解：

忆e拧%s=（&+廟+Jbo卅“ds,其中

x=xx=acos——x=x、2

OA:

0_x_a,AB:

0,BO:

0_xa

y=0y=asin4y=x2

fex旳ds=『少尺J12+02dx

oA-0

a

二oexdx=ea「1

a

二ae

ABeyds二ABeds二eABds4

<或]ex七ds

■AB

=[4e'严"巧塔“巧J（一asin盯+（acos日jd日

ji

4eaad

）4

a

二ae

BO

-a

-2-2

a

二e

匸2a一22■

2ex2x2,1212dx0

-1

故口e^iyds=ea（2+—a）-2

匕4

<3）Lxds,其中L为抛物线y=2x2-1上介于x=0与x=1之间地一段弧;

「X=x

解：

由L:

20

、y=2x-1

lxds二°x1亠〔4x2dx

23_2（1+16x）2o_17用-1

-32-48

<4）Ly2ds,其中L为摆线地一拱x=a（t-sint）,y=a（1-cost）（0—t—2二）；

解:

.Ly2ds=：

0〔a（1-cost）『」a1-cost]2asint^dt

2TI5

=V2a3「（1—cost）2dt

5

sin5-dt<令—-v

）22

二迈a3：

（2sin2*）2dt=8a3

J6a30si

JI

353

=32a2sin如-32a

422563

a

5315

<5）“Lxyds，其中L为圆周

x2y2=a2；

解：

利用对称性

J|xyds

=4jJxyds,其中Li

x=acos日

0<6

y=asin日

ji

<一

2

[xyds=4『xyds=4fxyds

叫"L1lL1

迟,

=402（acosR（asinv）（-asinv）2（acosv）2dv

"a3jcosrsin=2a3sin=

-2a3

<6）

-x2y2

2ds,其中-为曲线

z2

X=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2地

弧段;

解：

212cost）]2+[（£sint）]2+e2tdt

etcost]亠[dsint]亠[d

=—fe^dt=^（1—e‘）

202

<7）广yds,其中-为空间圆周:

x2+y2+z2=2

』=x

」0

x2+y2+z2=222]x=cosT

解：

由」丫，得2x2+z2=2,令<厂0兰日兰2兀

y=xz=\2sin71

x=cos日

故丫:

*y=cos日0兰日乞2兀.故

z=J2sin。

匚yds

=[[cos^lJsin?

日+sin?

e+2cos日d日

costd二

兀3兀2

=.,2[：

cosvdv-_2cosvdv3-cos^dv]=4,2

2T

"x=acots

2.螺旋形弹簧一圈地方程为：

』y=asin（0^tE2jr）,设它地线密度为

z=kt

222

「（x,y,z）=xyz,求：

（1）它关于z轴地转动惯量Iz；<2）它地重心坐标.

22

<1）Iz=Lxy'ds

22222

二lxyxyzds

=f駕2（a2+k2t2）x/a2+k2dt=a2Ja2+k2fJa2+k2t2）dt

吟几口®2八2）

<2）

xx2y2z2ds

Lx2y2z2ds

2JI222

0a2k2t2

'、a2k2dt

0；：

a2

k2t2

acostdt

a2k2t2dt

6ak2

3a24：

2k2

＜分子采用分部积分法）

Lyx2y2z2ds

Lx2y2z2ds

oasinta2k2t2,a2k2dt

『（a2+k2t2"a2+k2dt

■6二ak2

22~2

3a4.k

999

222

Lxyzds

-Lzxyzdsz二

[St（a2+k2t2）Ja2+k2dt

dt

222

_3二k（a2二k）=3a24二2k2

§2对坐标地曲线积分

无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程

lx=x（t）nn

1计算公式：

若L:

t■,＜其中:

，:

分别始点和终点对应地参数），则

[y=y（t）

P''

lPx,ydxQx,yd^.[Pxt,ytxtQxt,ytyt]dt

X=x（t）

若L:

«y=y（t）tgTP,＜其中cc,P分别始点和终点对应地参数），则

午z（t）

LPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz

P，，

=.[Pxt,yt,ztxtQxt,yt,ztytRxt,yt,ztzt]dt

注意：

＜1）对定向曲线才能说对坐标地曲线积；定向曲线地参数方程与未定向曲线地参数方程地不同：

①定向曲线地参数表示为始点地参数到终点地参数而不管谁大谁小：

t:

：

■-jI'1

②未定向曲线地参数方程地参数表示为不等式：

a_t_b

＜2）①弧长地积分转化为定积分时定积分地上限一定要大于下限

②对坐标地曲线积分转化为定积分时定积分地上限一定是终点地参数，下限是始点地参

数，而不管上限是否一定要大于下限b5E2RGbCAP

2:

两类曲线积分地关系

（1）定向曲线地切向量及其方向余弦

若L:

①当、「卩时

切向量为：

x't,y't；

方向余弦为cos：

x（t）…ry（t）

COS

'2'2'2'2

xtytxtyt

切向量为：

（―X（t）,_y（t））；

②当时

方向余弦为cos二

-Xt:

—

一2'2,COS'=

（x（t））+（y（t））

类似可以推广到空间曲线.

（2）两类曲线积分地关系

-y（t）

1'2'~2

xtyt

LP（x,ypx+Q（x,y）dy=JJP（x,y）cosa+Q（x,y）cos0]ds

其中COS〉,COS:

为定向曲线切向量地方向余弦

注意：

把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量

参数与终点参数大小关系对切向量符号地影响.plEanqFDPw

.特别要注意始点

1.把对坐标地曲线积分LP（x,y）dxQ（x,y）dy化为对弧长地曲线积分，其中L为:

2

＜1）从点＜0,0）沿抛物线y=x到点＜1,1）;

（x=x

解：

L:

2x:

0＞1,由0：

：

：

1,故在x,y处切向量为1,2x,所以

y=x

1

1

J+（2x）2

\14x2

2x

2x

J+（2x）2

\14x2

cos:

所以

cos:

LPx,ydxQx,ydy

二JPx,ycos：

亠Qx,ycos订ds

心）=丝（叫

d4x2

＜2）从点＜0,0）沿上半圆周x2•y2=2xy-0到点＜1,1）

解:

工X=X

L:

-

7-2

x-x2

1—x

x:

0T1,由0V1,故在（x,y）处切向量为1,；，所以

＜』2x-x2j

1-x

cos：

E==^x，所以

1-x

$2x—X丿

1-x

\l2x-x2丿

LPx,ydxQx,ydy=][P（x,yjcosa+Q（x,yJcosB]ds

=[[J2x—x2P（x,y）+（1—x）Q（x,y）]ds

<或=（[yP（x,y）+（1-x）Q（x,y）]ds）

lx=1COSd

法一L:

，二：

由，

y=sin日22

故切向量为—（—sinr）,—cost,即sin二—cost所以

cos-：

i

:

7门日2=sin甘=y,

asinacos：

—cos-

COST-1「X，所以.22

sincos

lPx,ydxQx,ydy二JPx,ycost"Qx,ycos:

]ds

二L[yP（x,y）（1-x）Q（x,y）]ds

2.计算下列对坐标地曲线积分:

<1）L（x2—y2）dx,其中L为抛物线y=x2上从点<0,0）到<2,4）地一段弧;

fx=x

解：

由L:

2x:

0>2,得

y二x

L（x2-y2）dx

22

0（X2-x2）dx二-

56

15

<2）xydx,其中L为圆周（x—a）2+y2=a2（a>0）及x轴所围成地在第一象限内地区域

地整个边界曲线弧<按逆时针方向）；解：

「Lxydx=（母a。

）xydx,其中OA:

!

x—xx：

0t2a,

ly=0

x=a+acos日

AO:

:

0＞r：

y=asinB

＜注意此方程不是地极坐标方程，故不能说在极坐标系下二地范围二：

0》二,事实上极坐标

方程为r=2aCOS,二：

0•，故在极坐标系下二地范围为"0■）DXDiTa9E3d

22

2a

^xydx二oxOdx二0

n

LOxydx=j0（a+acosB）asin日d（a+cos日）

•22

--aosinvsinvcosvd

jiji

=-a3[2J02sin28d8+『sin28cos8d8]

3二

—a（20）一2

二a3

故口xydx=0•（）

二a3

<3）L（12xy）dxx2dy,L为从点<1,0）到点<-1,0）地上半椭圆周x22y2=1（y_0）；

x二cost

解：

由L:

、2-:

0—■：

，得

ysin-

12

l（12xy）dxx2dy

、、2..2；｛2

=o[12cos二（sin二）]（—sin巧cosco^]d-—psin如-&0sin^cos知手。

cos3心

sin2込亦子.。

心inFdsin=

3

ji

o

•asin日

sin^

3

__2-00»2

（xy）dx-（x-y）dy

x2y2

其中L为圆周x2■y2=a2＜按逆时针方向）；

解：

由L:

x二acosry=asinv

口（xy）dx_（x—y）dy

x*2y2

X2•y2'，且从z轴正方向看

x-yz=2

解：

由丿

<6）

.「（y2_z2）dx2yzdy

—x2dz，其中「是曲线：

*y=t2上t由0到2兀地一段弧.

2二（acosvasinR（-asin旳-（acosv-asind）acosr

z=t

解:

i[（y2「z2）dx2yzdy-x2dz

2二

=!

）（3t_2t）dt=-

6453847

n+n

57

二X上从点＜1,1）到点＜4,2）地一

地一段弧•

3•计算L（xy）dx，（y-x）dy,其中L:

<1）抛物线y

段弧；＜2）从点＜1,1）到点＜4,2）地直线段;RTCrpUDGiT

22

<3）曲线x=2tt1,^t1上从点<1,1）到点<4,2）

解：

<1）由L:

X=yy:

1>2,得

y=y

L（xy）dx（y-x）dy

y2y）・2y（y一y2

3

x=x

12x:

1r4,得

<2）由L:

1

y二

L（xy）dx（y-x）dy

41212,1

=（|（x+—x+—）+（—x+——x）L—dx=11

J33333

2

x=2t+t+1

<3）由2t:

0-•1，得

y=t+1

L（xy）dx（y-x）dy

132

-iJ（3t2t2）4t1-（t2t2）L2tdt

4.证明：

Lsin（x2+y2）dx+cos（xy）dy兰J2I其中I为平面上光滑曲线L地长度•

<提示：

转化为对弧长地曲线积分）

证明：

[sin（x2+y2）dx+cos（xy）dy

22

l[sin（xy）cosj叱os（xy）cos

其中COS〉,COS:

是切向量地方向余弦，故满足cos21cos2■-1.

2222n

[sin（x+y）dx+cos（xy）dy兰（sin（x+y）cos□+cos（xy）cosPds

s=；2

22222222"■

（sin（xy）cos:

丄"2sin（xy）cos：

cos（xy）cos:

）cos（xy）cos:

）ds兰JLJ（sin2（x2十y2）cos2a十[sin2（x2+y2）cos2P+cos2acos2（xy）]十cos2（xy）cos2Pds

22

[sin（x十y）dx+cos（xy）dy

y2）cosx"cos（xy）cos

2

={[sin（x

其中cos「,cos是切向量地方向余弦，故满足cos：

；：

：

・cos2一：

=1.

[sin（x2+y2）dx+cos（xy）dy兰£sin（x2+y2）cos口+cos（xy）cos0ds

22

设向量n=：

〔sin（xy）,cos（xy）,n°=cos：

cosl：

贝U

sin（x2+y2）cosa+cos（xy）cosB=n・ne

兰nne=Jsin2（x2+y2）+cos2（xy）

故（sin（x2+y2）dx+cos（xy）d,兰[sin（x2+y2）cosa+cos（xy）cosBds

i2ds=〔.2l

§3Green公式

x2

""D

i.用曲线积分计算下列曲线所围平面图形地面积:

解：

若：

Xx二acost

L:

.r:

0—2-则

y=bsin）

<1）椭圆:

a2

1l

<2）星形线：

33

x=acost,y二asint,（a0,0_t_2二）.

rabsinJd=

二-ab

解：

若：

x=acos31

L:

3t:

0》2二，则

y=asint

1I—

A=J]=$Jlxdy_ydx

3a2

2二4

0cos

tsin2t3a2sin41cos21

3a2

-2

222

osintcostdt

3a

2

J'sin22tdt

2

3a2阳—cos4t亠32

dta

8028

2•用格林公式计算下列曲线积分

<1）1xy2dy-x2ydx,其中L为圆周（a0）,取逆时针方向;

<2）o[eX[（1—cosy）dx—（y—siny）dy],其中L为闭区域D:

0兰x兰兀,0兰y兰sinx地正向边

解：

<1）\p=-x2y,Q=xy2r—

excy

=x2

又L逆时针方向，设D:

x2y2a2，所以

「Lxy2dy-x2ydx二Dx2y2d^

y2=a2

二：

d叮r2rdr冷二a4

<注意[Jxy2dy—x2ydx=f^fx^y2）da

2

d二，为什么?

<2）；P二ex（1—cosy）,Q（y—siny）,QP=-yex

ex&y

所以：

Lex[（1-cosy）dx-（y-siny）dy]

xHsinxx

D-yed；-0dx0-yedy

sinx

0exdx0"y

1■:

x2

[esinxdx

20

1

二x1-cos2x,edx

-1[）0exdx-0excos2xdx]

4

十e）盘宀=5（1&）

＜其中「excos2xdx=excos2x1^2^e^sin2xdx

=e第-12[exsin2x評-2°excos2xdx]

二e-1一4ecos2xdx

所以0excos2xdx=1e-1）

3•计算积分Ixdy2一*2，其中L为圆周（X-1）2•y2=R2（R=1）＜按逆时针方向）；4x2+y2

.:

Q

解;P=；x^7，Q=4x2y2'rx

:

P

=0

<1）故当

R：

:

1时，；P=4Z$,Q=4T：

在（x-1）2•y2^R2（R=1）所围地区域

D内有连续偏导，满足格林公式条件xdy2-彎=“0db=0

L4xyD

222

<2）故当R1时，（x-1）•y乞R（R=1）所围地区域D含有（0,0点，故

.P,Q在区域D有点没有连续偏导，不满足格林公式条件•不能直接

4x+y'4x+y

用格林公式条件.5PCzVD7HxA

222

做曲线l:

4xy二；<；取得足够小保证丨含在L所围区域）方向为逆时针，即

工1

xcos二

l2X0》2二.

y=；sinv

则曲线Ll一围成复连通区域D1且为D1地正向边界.

故在复连通区域D1xd占-ydx满足格林公式条件，故

1，+4x2+y2

xdy^ydx0d—0即

L「4x2y2…D1

xdy-ydxxdy-ydxxdy-ydx

L4x2y2「4x2y214x2y2

-zcose+1z2sin26

dr

12「"

<注之所以取曲线I:

4x2•y2二；2是方便计算，若取l:

x2•y2二；2则计算麻烦）

4•证明下列曲线积分在xoy面上与路径无关，并计算积分.

<1）（-^exy2—y3）dx（6x2y—3xy2）dy

解：

：

P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,所以单连通区域xoy面有连续偏导，且

—=12x-3y^—,所以曲线积分在xo面上与路径无.x；:

y

2y-3xy2）dy

=（丽.BC）（6xy2-y3）dx（6x2y-3xy2）dy

x=x

其中AB:

x:

1>3BC:

ly=2

=f（6x><22_23）dx+f（6M32My_3M3xy2）dy=236

法二设：

u（x,y）二（6xy2-y3）dx=3x2y2-xy3亠「〔y

则—=6x2y-3xy2d—=6x2^3xy2得d―=0

ydydy

u（x,y）=3x2y2-xy3C,故

（3,4）2322

（1,2）（6xy-y）dx（6xy-3xy）dy二u（3,4）-u（1,2）=236

<2）（（12g1））（2x^y4-3）dx（x2-4xy3）dy

423

解：

-^Q3-p

2x-4y，所以曲线积分在xoy面上与路径无关

「xy

（2,1）

（1,0）

423

（2xy-y3）dx（x-4xy）dy

23

3）dx（x-4xy）dy

x=xx=2

其中AB:

x:

1>2BC:

y:

0>1

y=0y二y

24123

（2x0-03）dx亠i（2-42y）dy=5

A<1

C<2，

B<2，

法二设：

u（x,y）二（2xy-y43）dx亠'：

；[y=x2y-xy43x亠'：

；[y

亠=x2-4xy3d冬,-4xy3,得

■ydy

ydy

=0,所以

u（x,y）二x2y「xy43xC,

故d^xy_y4+3）dx+（x2—4xy3）dy=u（2,1）—u（1,0）=5

5•用适当地方法计算下列曲线积分

<1）L（xsin2y-y）dx（x2cos2y-1）dy,其中L为圆周x2y2

依逆时针方向到点（0,R）地弧段；

FQcP

解：

由P=xsin2y-y,Q=x2cos2y-1,有—'1

excy

lBO（xsin2^y）dx（x2cos2y-1）dy=二

X=X

其中OA：

[y=0

x:

0>R,BO:

x-°y:

R>0

^=y

|jL（xsin2y-y）d