三角形角平分线的结论及应用.docx
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三角形角平分线的结论及应用
浅议三角形角平分线的结论及应用
摘要:
一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点:
关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题:
(1)三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。
(2)三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。
(3)三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半(4)三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题:
(5)三角形的三条内角平分线相交于一点,这点到三角形的三边的距离相等(6)三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等,并且这点在三角形第三个内角的平分线上等
关键词:
三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中,教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳,对角平分线的性质和结论做好总结,这样对以后知识的积累有很大的帮助,对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
试探究:
∠D=90°+1∠A
2解:
∵BD、CD为角平分线
1
∴∠CBD=1∠ABC,
2
∠BCD=1∠ACB。
2
在△BCD中:
∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)
=180°-1(∠ABC+∠ACB)
2
=180°-1(180°-∠A)
2=90°+1∠A
2
变式练习的题目有
1)如图2、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,
∠D=100°,则∠A的度数是度。
解:
由结论1得知,∠D=90°+1∠A。
则∠A=2∠D―180°,2
容易得出∠A=20°(图2)
2)如图3:
在四边形ABCD中,∠D=120°,∠A=100°
解:
∵∠A+∠ABC+∠ACB+∠D=360°
又∵∠D=120°,∠A=100°
∴∠ABC+∠ACB=140°
∵BE、CE分别是ABC、∠ACB的角平分线
∴∠EBC+∠ECB=70°.
∴∠BEC=110°.
结论二、如图4,△ABC中,D为△ABC的两条外角平分线的交点,试探究:
∠D=90°-1∠A
2解:
∵BD、CD为角平分线
1
∴∠CBD=1∠CBE
2
1
∠BCD=∠BCF
2
在△BCD中:
∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)
=180°-(1∠CBE+1∠BCF)22
1
=180°-1(∠CBE+∠BCF)
2
=180°-1(∠A+180)
2
1
=90°-∠A
2
变式练习的题目:
△DEF,试判断△DEF的形状。
所以△DEF是锐角三角形
延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分
1点,以此类推,⋯,若∠
结论三、如图7,在△ABC中,∠ABC与△ABC的外角∠ACE的平分线交与点D,试探究:
∠D=1∠A。
2解:
∵BD为角平分线,
∴∠CBD=1∠ABC,
2又∵CD为∠ACE的平分线.∴∠DCE=1∠ACE,
2
11
∴∠D=1∠ACE-1∠ABC
22
=1(∠ACE-∠ABC)
2
变式练习的题目有;
(1)如图8,如图,在△ABC中,
线相较于A1点,∠A1BC与∠CA1D的平分线交与A
图8)
结论四、如图9,在△ABC中,
∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点
D,△
ABC的两条外角平分线交与点
E,试探究:
∠D+∠E=180°
证明:
由结论一可知;∠D=90
+12∠A
则∠A=2∠D-180°①
由结论二可知:
∠E=90
-1∠A
2
∠A=180°-2∠E②
由此得出∠D+∠E=180°变式练习的题目:
如图10,点M是△ABC两个内角的平分线的交点,点N是△ABC两个外角的平分线的交点,
如果∠CMB∶∠CNB=∶32,那么∠CAB=度
由结论四可知,∠CMB∠+CNB=180°,
∵∠CMB∶∠CNB=∶32,
∴∠CMB=18°0×3=108°,
由结3可知,90°+12∠CAB=∠CMB=10°8,
∴∠CAB=36°.
结论五:
如图11,△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线BN、CM的交与点P,,
图11)
求证:
点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明;过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥CA,垂足分别是D、E、F∵BN是的角平分线,PD⊥AB、PE⊥BC∴PD=PE同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等变式练习的题目有:
(1)已知,如图12,△ABC,求证:
△ABC的三条角平分线相交于一点P
证明;假设∠ABC、∠ACB的平分线交于点P.
则过点P作过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥CA,垂足分别是D、E、F
∵BN是的角平分线,PD⊥AB、PE⊥BC
图12)
∴PD=PE
同理PE=PF.
∴PD=PF.
∵PD⊥AB、PF⊥CA,
∴点P在∠A的平分线上
即∠A、∠ABC、∠ACB的平分线相交于一点P
2)已知△ABC中∠B、∠C的角平分线的交与点D,
求证:
点D在∠A的平分线上(证明略)
结论六:
如图13,点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点,求证:
AE是△ABC的外角平分线.
证明:
如图:
则过点E作过点P作EG⊥AC、EF⊥BD、EH⊥BH,
(图13)
垂足分别是G、F、H
∵BE是∠ABC的平分线,EF⊥BD、EH⊥BH,即EF=EG=EH
可得:
EH=EF同理:
EG=EF
∵EG=EHEG⊥AC、EH⊥BH,∴AE是△ABC的外角平分线.
变式练习题目:
(1)如图14,直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:
()
A.一处B.两处
解:
由以上很容易得到答案:
D
(2)如图15,△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点F.
证明略)
求证:
点F到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.
(3)点D是△ABC两个外角平分线BD、CD的交点,
掌握以上知识,那么完成以下题目就很轻松哟!
求证:
AD是∠CAB的角平分线。
(证明略)(图15)1、(2011年湖北省鄂州是中考题)△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠
ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=.
解:
由结论六可知:
AP是△ABC的一个外角的平分线
由结论三可知:
∠BPC=1∠A.∠BPC=40°
2
∴∠A=80°.∠A的相邻外角是100°,
所以∠CAP=50
从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件也可以不用的.
总之,关于角平分线的题目类型多样,难度不一,要求教师要深挖教材,指导学生归纳总结关于角平分线的基本图形和基本结论,根据学生的“最近发展区”,做好变式,做深变式,真正做好知识的正迁移,时刻着眼于数学思维能力的和解决问题能力的落实与提高。
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