七年级数学上册 勾股定理及其逆定理讲义.docx
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七年级数学上册勾股定理及其逆定理讲义
勾股定理及其逆定理(讲义)
课前预习
1.请你回顾直角三角形的性质:
边:
直角三角形斜边长任意一条直角边长;角:
直角三角形两锐角;
2.请同学们计算并背诵下列数的平方:
112=,122=,132=,142=,
152=,162=,172=,182=,
192=.
3.
想一想:
如图是由边长为1的正方形组成的网格,直角三角形的顶点在网格的格点上.分别以直角三角形的三边为边,向外作正方形,请你分别求出这三个正方形的面积SA,SB,SC,并思考SA,SB,SC之间的数量关系.
C
A
B
知识点睛
1.
背记11—19的平方:
112=121,122=144,132=169,
142=196,152=225,162=256,
172=289,182=324,192=361.
勾股定理:
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
2.
外弦图
勾股定理的验证:
3.
内弦图
勾股定理:
角(Rt△)→边(a2+b2=c2)勾股定理逆定理:
边(a2+b2=c2)→角(Rt△)
勾股定理逆定理:
如果,那么这个三角形是.
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
4.勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.常见勾股数有;;;
;;.
精讲精练
1.一个直角三角形两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是
()
A.斜边长为25B.三角形的周长为25
C.斜边长为5D.三角形的面积为20
2.如图,在Rt△ABC和Rt△ACF中,BC长为3cm,AB长为
4cm,AF长为12cm,则正方形CDEF的面积为.
FE
A
S2
B
S1
S3
AC
D
第2题图第3题图
3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以BC,AB,AC为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S2=4,S3=6,则S1=.
4.如图,已知Rt△ABC的两直角边长分别为6和8,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为.
5.
等面积法是几何中一种常见的证明方法,可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较长的直角边长都为a,较短的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,
也可以表示为41ab(ab)2.由此推导出重要的勾股定
2
理:
如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,那
么a2+b2=c2.图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证图1
法”,请你利用图2推导勾股定理.C
Da
b
AaEbB
图2
6.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为.
E
D
l
CB
第6题图第7题图
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,已知正方形ABDE的面积为100,BC的长为8,则点E到直线BC的距离为.
8.
如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=13cm,BD=5cm,CD=9cm,求线段AD,AC的长.A
BDC
9.
小明将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处1米.请设法算出旗杆的高度.
10.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是()
A.0.3,0.4,0.5B.7,12,15
C.11,60,61D.9,40,41
11.如图,在单位正方形组成的网格图中有AB,CD,EF,GH
四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()
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