华师大版九年级数学下册教案263实践与探索.docx
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华师大版九年级数学下册教案263实践与探索
26.3 实践与探索
第1课时 二次函数的应用
教学目标
一、基本目标n加油
会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问n加油题,培养分析和解决问题的能力.
二、重难点目标
【教学重点】
利用二n加油次函数解决实际问题的步骤.
【教学难点】
读懂题意,n加油找出相关量的数量关系,正确构建数学模型.
教学过程
环节1 自学提n加油纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P26~P27的内容,完n加油成下面练习.
【3min反馈】
1.一般地,对于二次n加油函数y=ax2+bx+c,若a>0,当x=-
n加油时,函数值y有最小值,其值为
;若a<0,n加油当x=-
时,函数值y有最大值,其值为
.
2.建立二次函数模型,解决n加油实际问题的一般步骤:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系;
(2)把已知n加油条件转化为点的坐标;
(3)合理设出所求函数的解析式;
n加油(4)利用待定系数法求出函数解析式;
(5)根据求得的n加油解析式进一步分析判断并进行相关的计算.
3.常n加油见的二次函数模型:
直观图象式:
直接由物体运动的轨迹,如喷出的n加油水流、涵洞等建立数学模型解决问题.
情景应n加油用式:
根据实际问题创设情景,由所提供的条件建立数学模型解决问题.
几何n加油综合式:
与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题.
环节2 合作探究,解决n加油问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例n加油1】某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中n加油央垂直于水面竖一根柱子,在柱子的顶端A处安装一个喷n加油头向外喷水.柱子在水面以上部分的高度为1.25m,水流在各个方向n加油沿形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.
根据设计图纸已知:
在图2所示的n加油平面直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(n加油m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+
.
(n加油1)喷出的水流距水面的最大高度是多少?
(2)如果不计n加油其他因素,为使水不溅落在水池外,那么水池的半径至少为多少时,才能n加油使喷出的水流都落在水池内?
【互动探索】(引发学生思考)在已知抛物线解析式的情n加油况下,利用其性质,求顶点(最大高度)、与x轴、y轴的交点,解答题目的问题.
n加油【解答】
(1)∵y=-x2+2x+
=-(n加油x-1)2+2.25,
∴顶点是(1,2n加油.25),
故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米.
(2)解方程-x2+n加油2x+
=0,
得x1=-
,x2=
,
∴点B的坐标为
,
∴OB=
.
故不计其他因素,水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至n加油于落在水池外.
【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个运用抛n加油物线的有关知识解决实际问题的应用题,利用抛物线的性质即可解决问题.
【例2】一n加油个涵洞的截面边缘是抛物线,如图.现测得当水面宽AB=1.6n加油m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时,离开水面1.5n加油m处,涵洞宽ED是多少?
是否会超过1m?
【互动探索】(引发学n加油生思考)根据此抛物线经过原点,可设函数关系式为y=ax2.根据AB=1.n加油6,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,那么n加油B点坐标应该是(0.8,-2.4),利用待定系数法即可求出函数的解析n加油式,继而求出点D的坐标及ED的长.
【解答】设抛物线的函数解析式n加油为y=ax2(a<0).
由题意,得点B在抛物线上,且B(0.8,-2.4),n加油
将B(0.8,-2.4)代入y=ax2(a<0),
解得a=-
,
∴所求函数解析式为y=-
n加油x2.
设点D的坐标为(x,-0.9)(x>0),
则有-n加油0.9=-
x2,解得x=
,
故DE宽度为
<1,
∴涵洞宽ED不超过1m.n加油
【互动总结】(学生总结,老师点评)本题主要考查了用待定n加油系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用,根据图中信息得出函数经过的点的n加油坐标是解题的关键.
活动2 巩固练习(学生独n加油学)
1.如图,在排球赛中,一队员站在边线发球n加油,发球方向与边线垂直,球开始飞行时距地面1.9米,当球飞行距离为9米时达n加油最大高度5.5米,已知球场长18米,问这样发球是否会直接把球打出边线?
解:
球n加油出边线了.
【教师点拨】抛物线的解析式为y=-
(x-9)2+5.5.代入C点的纵坐标0,得x≈20.12>18n加油,所以球出边线了.
2.某公司草坪的护栏是由n加油50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每n加油段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图1)做成的立n加油柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员n加油利用图2所示的坐标系进行计算.
(1)求该抛物n加油线的函数关系式;
(2)计算所需不锈钢管立n加油柱的总长度.
图1
图2
解:
(1)y=-
x2+
.
(2)80米.
3.如图,一位运动员在距篮下4m处跳n加油起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5n加油m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入n加油篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示n加油的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高n加油1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问:
n加油球出手时,他跳离地面的高度是多少?
解:
(1)抛物线的n加油表达式为y=-0.2x2+3.5.
(2)0.2m.
活动3 拓展延伸n加油(学生对学)
【例3】某跳水运动员在进行10m跳n加油台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线n加油.在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10
m,入水处距池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m或n加油5m以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水n加油姿势,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的函n加油数关系式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运n加油动路线是
(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水n加油平距离为3
m,问:
此次跳水会不会失n加油误?
通过计算说明理由.
【互动探索】
(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式.(n加油2)要判断会不会失误,只要看运动员是否在距水面高度n加油5m以前完成规定动作,于是只要求运动员在距池边水平距离为3
m时的纵坐标即可.
【解答】(n加油1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为y=n加油ax2+bx+c.
由题意知,O、B两点的坐标依次为(0,0)n加油、(2,-10),且顶点A的纵坐标为
,
∴
解得
或
∵抛物线n加油对称轴在y轴右侧,∴-
>0,
∴a=-
,b=
,c=0.
∴n加油抛物线的解析式为y=-
x2+
x.
(2)此次试跳会出现失误.理由如n加油下:
由题意知,横坐标为3.6-2=1.6,
即当x=1.6时,y=n加油
×
2+
×
=-
,
此时运动员距水面的高为10-
=
<5.
因此,此次试跳会出现失误.
【互动总结】n加油(学生总结,老师点评)本题主要考查了二次函数的实际应用,n加油解答二次函数的应用问题时,要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.
n加油环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)n加油
练习设计
请完成本课时对应训练!
第2课时 二次函数与一元二n加油次方程、不等式的关系
教学目标
一、基本目标
1.经n加油历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过n加油程,体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.
2.理解一元n加油二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2n加油+bx+c的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.
二、重n加油难点目标
【教学重点】
二次函数与一元二次方程、n加油一元二次不等式的联系.
【教学难点】
用图象法解一元二次不等式.
教学过程
n加油环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材Pn加油28的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.二次函数yn加油=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两n加油个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0n加油的根也有三种情况:
有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有n加油实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二n加油次方程ax2+bx+c=0的根.
3.观察图中的抛物线与x轴的交点情况n加油,你能得出相应方程的根吗?
(1)方程x2+x-2=0的根是x1=-2,xn加油2=1;
(2)方程x2-6x+9=0的根是n加油x1=x2=3;
(3)方程x2-x+1=0的根的情n加油况是无实根.
4.若二次函数的解析式为y=2x2-n加油4x+3,则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点.
5.n加油给出三个二次函数:
①y=x2-3x+2;②y=x2-x+1;③y=n加油x2-2x+1.
它们的图象分别为
(1)观察图象n加油与x轴的交点个数,分别是2个、0个、1个.
n加油
(2)你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗?
图象与x轴的交点个数与n加油对应的一元二次方程的根的情况有关.
(3)能否利用二次函数y=ax2+n加油bx+c的图象寻找方程ax2+bx+c=0(a≠0),不等式an加油x2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0n加油(a≠0)的解?
能.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论n加油(师生互学)
【例1】画出函数y=x2-x-
的图象n加油,根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么?
(n加油2)当x取何值时,y=0?
这里x的取值与方程x2-x-
=0有什么关系?
(3)x取什么值时,函数值n加油y大于0?
x取什么值时,函数值y小于0?
【互动探索】(引发学生思n加油考)数形结合法:
画出函数图象→根据所画图象解决问题.
【解答】函数图象如n加油图所示:
(1)图象与x轴的交点坐标为
、
,与y轴的n加油交点坐标为
.
(2)当x=-
或x=
时,y=0,xn加油的取值与方程x2-x-
=0的解相同.
(3)当x<-
或x>
时,y>0;当-
<x<
时,y<0.
【互n加油动总结】(学生总结,老师点评)解决此类问题常用数形结合的思想方法n加油:
(1)二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决;反n加油过来,一元二次方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决.(2n加油)利用函数的图象能更好地求不等式的解集,先观察图n加油象,找出抛物线与x轴的交点,再根据交点的坐标写出不n加油等式的解集.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.如图是抛物线y=n加油ax2+bx+c的图象的一部分,请你根据图象求出方程ax2+bx+c=0的n加油两根是x1=-3,x2=1.
2.若二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴没有交n加油点,求c的取值范围.
解:
∵二次函数y=x2-2xn加油+c的图象与x轴没有交点,∴x2-2x+c=0的判别式Δ<0,即b2n加油-4ac=4-4c<0,解得c>1.
3.若二次函数y=ax2+bx+n加油c(a≠0)的图象的最低点的坐标为(1,-1),求关于n加油x的一元二次方程ax2+bx+c=-1的根.
解:
∵二次函数y=ax2+n加油bx+c(a≠0)的图象的最低点的坐标为(1,-1),∴二次函数y=ax2n加油+bx+c(a≠0)的图象的顶点是(1,-1),∴当y=-1,即axn加油2+bx+c=-1时,x1=x2=1,∴关于x的一元二次方程ax2+bxn加油+c=-1的根为x1=x2=1.
4.已知二次n加油函数y=2x2-4x-6.
(1)此函数图象的开口方n加油向、对称轴和顶点坐标,并画出草图;
(2)当x为何值时,y随x的增大而增大?
n加油(3)通过观察图象,在x>0及当y≥-6时,试求x的n加油取值范围.
解:
(1)∵y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8,∴图象n加油开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-8).画出的函数图象如下图所n加油示:
(2)∵对称轴x=1,图象开口向上,∴当x>n加油1时,y随x的增大而增大.
(3)由图知,点(0,-6)关于x=1的对称n加油点为(2,-6),∴在x>0及当y≥-6n加油时,x的取值范围为x≥2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知二次函n加油数y=x2-(a-1)x+a-2,其中a是常数n加油.
(1)求证:
不论a为何值,该二次函数的图象与n加油x轴一定有公共点;
(2)当a=4时,该二n加油次函数的图象顶点为A,与x轴交于B、D两点n加油,与y轴交于点C,求四边形ABCD的面积.
【互动探索】
(1)要证明二次函n加油数的图象与x轴一定有公共点,可以转化为一元二次方程根的n加油判断方法.
(2)由a=4→确定A、B、C、D的坐标→求四边形ABCn加油D的面积.
【解答】
(1)证明:
令y=x2-(a-1)x+a-2=0.n加油
∵Δ=[-(a-1)]2-4(a-2)=(n加油a-3)2≥0,
∴方程x2-(a-1)x+a-2=0n加油有实数根,
∴不论a为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)由题可n加油知,当a=4时,y=x2-3x+2.
配方,得y=x2-3x+n加油2=
2-
,
∴A
.
n加油当y=0时,x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=n加油2.
∴B(1,0)、D(2,0).
当x=0时,n加油y=2,
∴C(0,2),
∴S四边形ABn加油CD=S△ABD+S△BDC=
+1=
.
【互动总结】(学生总结,老师n加油点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况,只需要将二次函数转化为一n加油元二次方程,然后判断方程的根的情况即可.
环节3 课堂小结,当堂达n加油标
(学生总结,老师点评)
1.二次函数与一元二n加油次方程有下列对应关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0n加油)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2+bn加油x+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac的值
有两个公共点n加油
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
n加油b2-4ac=0
无公共点
无实数根
b2-4ac 2.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(x0,0),则n加油x0是方程ax2+bx+c=0的一个根. 练n加油习设计 请完成本课时对应训练! 第3课时 利用二次函数n加油的图象求一元二次方程的根 教学目标 一、基本目标 1.掌握方程与函数间的转化.n加油 2.掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法. 二、重难点目标 【教学重n加油点】 能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 【n加油教学难点】 用图象法求解一元二次方程. 教学过程 环节1 自n加油学提纲,生成问题 【5min阅读】 阅读教材P29的内容,完成下n加油面练习. 【3min反馈】 1.我们可以n加油利用二次函数的图象求一元二次方程的根,这样求出的根是准确值吗? 由于作图或观察可n加油能存在误差,由二次函数的图象求得一元二次方程的根,一般是近似值. 2.根据二次n加油函数的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似解的方法: (1)直接n加油作出函数y=ax2+bx+c的图象,则图象与x轴交点的横坐标就是方程axn加油2+bx+c=0的根; (2)先将方程ax2+bx+c=0变形为ax2+bn加油x=-c,再分别作抛物线y1=ax2+bx和直线y2=-c,则两图象n加油交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根; n加油(3)先将方程ax2+bx+c=0变形为ax2=-bxn加油-c,再分别作出抛物线y1=ax2和直线y2=-bx-c,则两n加油图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根. 3.在难以读出交点的n加油坐标时,我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近n加油似根. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组n加油讨论(师生互学) 【例1】利用函数的图象,求下列方程的解: (1n加油)x2+2x-3=0; (2)2x2-5x+2=0. 【互动探索】n加油(引发学生思考)将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交n加油点坐标即可. 【解答】 (1)在同一直角坐标n加油系中画出函数y=x2和y=-2x+3的图象, 得到它们的交点(-3n加油,9)、(1,1),如图1, 则方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,xn加油2=1. (2)先把方程2x2-5x+2=0化为xn加油2- x+1=0,然后在同一直角坐标系中画出函数n加油y=x2和y= x-1的图象n加油,如图2, 得到它们的交点 、(2,4), 则方程2x2-5x+2=0的解为x1=n加油 ,x2=2. 【互动总结】n加油(学生总结,老师点评)一般地,求一元二次方程ax2+bx+n加油c=0(a≠0)的近似解时,可先将方程ax2+n加油bx+c=0化为x2+ x+ =n加油0,然后分别画出函数y=x2和y=- x- 的图象,得出两函数图象的交点,交点的横坐标即为方程的解.n加油 【例2】利用函数的图象,求下列方程组的解: n加油 (1) (2) 【互动探索】(n加油引发学生思考) (1)可以通过直接画出函数y=- xn加油+ 和y=x2的图象,得到它们的交点,n加油从而得到方程组的解; (2)也可以同样解决. 【解答】 (1)在同一直角坐标系中画出n加油函数y=x2和y=- n加油x+ 的图象,如图1, 得到它n加油们的交点 、n加油(1,1), 则方程组 的解为 (2)在同一直角坐标系中画出函数y=x2+2x和y=3x+6的图象,如图2,得到它们的交点(-2,0)、(3,15),则方程组 的解为 【互动总结】(学生总结,老师点评)根据题意分别画出两函数的图象,由函数图象的交点即可得出方程组的解,考查的是用数形结合的方法求方程组的解,解答此题的关键是正确画出函数的图象,找出两图象的交点坐标. 活动2 巩固练习(学生独学) 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下: x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件( C ) A.1.2<x<1.3B.1.3<x<1.4 C.1.4<x<1.5D.1.5<x<1.6 2.如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与y2=kx+b(k≠0)的图象交于A(-2,4)、B(8,2),求能使y1 解: -2<x<8. 一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。 杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰: “师者教人以不及,故谓师为师资也”。 这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。 《韩非子》也有云: “今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。 这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 3.用函数的图象求下列方程的解: (1)x2-3x+2=0; 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。 要求学生抽空抄录并且阅读成诵。 其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。 如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。 如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗? (2)-x2-6x-9=0. 解: (1)画图略,方程的解是x1=1,x2=2. (2)画图略,方程的解是x1=x2=-3. 4.利用函数的图象求下列方程组的解: (1) (2) 解: (1)画图略,方程组的解为 (2)画图略,方程组的解为 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根.(精确到0.1) 【互动探索】利用图象求一元二次方程的近似根. 【解答】一元二次方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标. 作出二次函数y=x2-2x-1的图象,如图所示: 由图象可知,方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间. 先求-1和0之间的根: 当x=-0.4时,y=-0.04;当x=-0.5时,y=0.25. 因此,x=-0.4是方程的一个近似根. 同理,x=2.4是方程的另一个近似根. 综上,x1≈-0.4,x2≈2.4. 【互动总结】(学生总结,老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤: (1)画出二次函数的图象; (2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间;(3)列表或直接取值代入方程计算,哪一个值能使方程近似成立,则这个值就是方程的近似根. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 1.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤: (1)画出二次函数的图象; (2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间; (3)列表,在 (2)中的两数之间取值,进行估计. 2.在列表求近似根时,近似根就出现在对应y值正负交换的位置,也就是对x取一系列值,看y对应于哪两个值由负变成正,或由正变成负,此时x的两个对应值之间必有一个近似根. 练习设计 请完成本课时对应训练!
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