高考数学高考数学函数典型例题.docx
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高考数学高考数学函数典型例题
函数
31.(本小题满分 14 分)
已知二次函数 y = g ( x) 的导函数的图像与直线 y = 2x 平行,且 y = g ( x) 在 x = -1 处
取得极小值 m - 1(m ≠ 0) .设 f ( x) = g ( x)
x
.
(1)若曲线 y = f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为2 ,求 m 的值;
(2) k (k ∈ R) 如何取值时,函数 y = f ( x) - kx 存在零点,并求出零点.
32.(20XX 年高考福建卷理科 10)对于具有相同定义域 D 的函数 f(x) 和 g(x) ,若存在函数
h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数 m,存在相应的 x ∈ D ,使得当 x ∈ D 且 x > x 时,总有
00
⎩0 < h( x) - g ( x) ⎧0 < f ( x) - h( x) < m ⎨ 则称直线 l: y=kx+b 为曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 的“分渐近线”.给出定 义域均为 D= {x|x>1 }的四组函数如下: ① f(x)=x 2 , g(x)= x ;② f(x)=10-x +2 , g(x)= 2x-3 x ; x 2 +1xlnx+12x 2 xlnxx+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是() A. ①④B. ②③C.②④D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x) = x 2 - 1 , 对 任 意 3x x ∈[ , +∞) , f () - 4m2 f ( x) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m) 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是。 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x) = ⎨ x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 34 .( 20XX ⎧ 2 ⎩1, x < 0 ) f (1- x2 )> f ( 2x的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x) ≥ 0 . 37(20XX 年高考江苏卷试题 20)(本小题满分 16 分) 设 f ( x) 是定义在区间 (1,+∞) 上的函数,其导函数为 f '( x) 。 如果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h( x) >0,使得 f '( x) = h( x)( x 2 - ax + 1) ,则称 函数 f ( x) 具有性质 P(a) 。 (1)设函数 f ( x) = ln x + b + 2 x + 1 ( x > 1) ,其中 b 为实数。 (i)求证: 函数 f ( x) 具有性质 P(b) ; (ii)求函数 f ( x) 的单调区间。 (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P (2) 。 给定 x , x ∈ (1,+∞), x < x , 设 m 为实数, 1212 α = mx + (1 - m) x , β = (1 - m) x + mx ,且 α > 1, β > 1 , 1212 若| g (α ) - g (β ) |<| g ( x ) - g ( x ) |,求 m 的取值范围。 12 38. (20XX 年全国高考宁夏卷 21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = e x - 1 - x - ax 2 。 (1) 若 a = 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2) 若当 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围 39.(江苏卷 20)若 f (x ) = 3 x- p1 1 (x ), f (x ) ≤ f (x ) (x ) = ⎧⎪ f1 且 f 12 ⎪ f2 12 , f 2 (x ) = 2 3 x- p2 , x ∈ R, p , p 为常数, 1 2 (Ⅰ)求 f (x ) = f 1 (x ) 对所有实数成立的充要条件(用 p , p 1 2 表示); (Ⅱ)设 a, b 为两实数, a < b 且 p , p 1 2 (a, b ),若 f (a ) = f (b ) 求证: f (x )在区间 [a, b]上的单调增区间的长度和为 b - a (闭区间 [m, n]的长度定义为 2 n - m ). ) 40.(江西卷 22 .(本小题满分 14 分) 1ax ++ 1 + x1 + aax + 8 , x ∈ (0, + ∞ ). (1) .当 a = 8 时,求 f (x )的单调区间; (2) .对任意正数 a ,证明: 1 < f (x ) < 2 . 41.(天津)设函数 f ( x) = x sin x ( x ∈ R) . (Ⅰ)证明 f ( x + 2kπ ) - f ( x) = 2kπ sin x ,其中为 k 为整数; 00 0 4 0 2 ; (Ⅲ)设 f ( x) 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a , a ,, a , , 12n 证明 π n+1 - a < π (n = 1,2,) 。 n (1)已知: x ∈ (0 + ∞) ,求证 1 x + 1 1 < ln < ; x + 1 x x 11111 23n2n - 1 11 (1)令 1 += t ,由 x>0,∴t>1, x = xt - 1 1 原不等式等价于1 - < ln t < t - 1 t 令 f(t)=t-1-lnt, 1 ∵ f '(t ) = 1 - 当 t ∈ (1,+∞) 时,有 f '(t ) > 0 ,∴函数 f(t)在 t ∈ (1,+∞) 递增 t ∴f(t)>f (1)即 t-1 另令 g (t ) = ln t - 1 + 1 ,则有 g '(t ) = t t - 1 t 2 > 0 ∴g(t)在 (1,+∞) 上递增,∴g(t)>g (1)=0 ∴ ln t > 1 - 1 t 综上得 1 x + 1 1 < ln < x + 1 x x (2)由 (1)令 x=1,2,……(n-1)并相加得 11123n11 ++ +< ln+ ln+ + ln< 1 ++ + 23n12n - 12n - 1 11111 即得++ +< ln < 1 ++ + 23n2n - 1 利用导数求和 42 利用导数求和: (1) ; (2) 。 单调区间讨论 43 设 a > 0 ,求函数 f ( x) = x - ln( x + a)( x ∈ (0,+∞) 的单调区间. 分析: 本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运 算能力. 44 已知函数 f ( x) = x - 2 x + a(2 - ln x),( a > 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. 分离常数 45 已知函数 f ( x) = x ln x .(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值;(Ⅱ)若对所有 x ≥ 1 都有 f ( x) ≥ ax - 1 , 求实数 a 的取值范围. 46 已知 f (x ) = x ln x, g (x ) = x 3 + ax 2 - x + 2 (Ⅰ)求函数 f (x )的单调区间; t( (Ⅱ)求函数 f (x )在 [ , t + 2] t > 0)上的最小值; (Ⅲ)对一切的 x ∈ (0,+∞ ), 2 f (x ) ≤ g ' (x )+ 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 47 已知函数 f ( x) = ln x , g ( x) = 调区间; a x (a > 0) ,设 F ( x) = f ( x) + g ( x) (Ⅰ)求函数 F ( x) 的单 (Ⅱ)若以函数 y = F ( x)( x ∈ (0,3]) 图像上任意一点 P( x , y ) 为切点的切线的斜率 k ≤ 00 恒成立,求实数 a 的最小值; 1 2 48 设函数 f ( x) = x 2 + b ln( x + 1) ,其中 b ≠ 0 ; (Ⅰ)若 b = -12 ,求 f ( x) 在 [1,3]的最小值; (Ⅱ)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b 的取值范围; (Ⅲ)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ≥ N 时,不等式 ln n + 1 n - 1 > n n3 恒成 立. 49 设函数 f ( x) = - x( x - a)2 ( x ∈ R ),其中 a ∈ R . (Ⅰ)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; 0 (Ⅲ)当 a > 3 时,证明存在 k ∈ [-1,],使得不等式 f (k - cos x) ≥ f (k 2 - cos 2 x) 对 任意的 x ∈ R 恒成立. 9 2 大值; (2)若方程 f ( x) = 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 51 已知函数 f ( x) = x2 + x - 1 , α , β 是方程 f(x)=0 的两个根 (α > β ) , f '(x) 是 f(x)的导数;设 a = 1 , a 1n+1 = a - f (an ) (n=1,2,……) n n (1)求 α , β 的值; (2)证明: 对任意的正整数 n,都有 a >a; n a - a (3)记 b = ln an -β n n (n=1,2,……),求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 x 52 设 二 次 函 数 f ( x) = x 2 + ax + a , 方 程 f ( x)- = 0的 两 根 x 和 x 满 足 12 0 < x < x < 1 . 12 (I)求实数 a 的取值范围; (II)试比较 f (0) f (1)- f (0) 与 1 16 的大小.并说明理由. . 53 设 f ( x) 的 定 义 域 为 (0, + ∞) , f ( x) 的 导 函 数 为 f '( x) , 且 对 任 意 正 数 x 均 有 f '( x) > f ( x) , x (Ⅰ) 判断函数 F ( x) = f ( x) x 在 (0, + ∞) 上的单调性; (Ⅱ) 设 x , x ∈ (0, + ∞) ,比较 f ( x ) + f ( x ) 与 f ( x + x ) 的大小,并证明你的结论; 121212 (Ⅲ )设 x , x ,x ∈ (0, + ∞) , 若 n ≥ 2 ,比较 f ( x ) + f ( x ) ++ f ( x ) 与 12n12n f ( x + x ++ x ) 的大小,并证明你的结论. 12n 54 已知函数 f (x ) = 1 x2 + lnx. 2 (I)求函数 f (x )在[1,e]上的最大、最小值; (II)求证: 在区间[1,+∞ ) 上,函数 f (x )的图象在函数 g (x ) = (III)求证: [ f ' (x )]n- f ' (xn)≥2n-2(n∈N*). 2 x3 的图象的下方; 3
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