高二数学 《数列及通项》教案 沪教版.docx
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高二数学《数列及通项》教案沪教版
2019-2020年高二数学《数列及通项》教案沪教版
一、教学内容分析
本小节的重点是数列的概念.在由日常生活中的具体事例引出数列的定义时,要注意抓住关键词“次序”,准确理解其概念,还应让学生了解数列可以看作以正整数集(或它的有限子集)为定义的函数,使学生能在函数的观点下理解数列的概念,这里要特别注意分析数列中项的“序号”与这一项“”的对应关系(函数关系),这对数列的后续学习很重要.
本小节的难点是能根据数列的前几项抽象归纳出一些简单数列的通项公式.要循序渐进的引导学生分析归纳“序号”与“”的对应关系,并从中抽象出与其对应的关系式.突破难点的关键是掌握数列的概念及理解数列与函数的关系,需注意的是,与函数的解析式一样,不是所有的数列都有通项公式;
给出数列的有限项,其通项公式也并不唯一,如给出数列的前项,若,则
都是数列的通项公式,教学上只要求能写出数列的一个通项公式即可.
二、教学目标设计
理解数列的概念、表示、分类、通项等,了解数列与函数的关系,掌握数列的通项公式,能用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式.发展和培养学生从特殊到一般的归纳能力,提高观察、抽象的能力.
三、教学重点及难点
理解数列的概念;能根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答问题:
函数的定义
二、讲授新课
1、概念引入
请同学们观察下面的例子,看看它们有什么共同特点:
(课本p5)
1食品罐头从上到下排列成七层的罐头数依次为:
3,6,9,12,15,18,21
2延龄草、野玫瑰、大波斯菊、金盏花、紫宛花、雏菊花的花瓣数从少到多依次排成一列数:
3,5,8,13,21,34
3的不足近似值按精确度要求从低到高排成一列数:
1,1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,
4-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂依次排成一列数:
-2,4,-8,16,
5无穷多个1排成一列数:
1,1,1,1,1,
6谢尔宾斯基三角形中白色三角形的个数,按面积大小,从大到小依次排列成的一列数:
1,3,9,27,81,
7依次按计算器出现的随机数:
0.098,0.264,0.085,0.956
由学生回答上面各例子的共同特点:
它们均是一列数,它们是有一定次序的,由此引出数列及有关定义:
1、定义:
按一定次序排列起来的一列数叫做数列.
其中,数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,第3项,第项,
数列的一般形式可以写成:
简记作
2、函数观点:
数列可以看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值
3、数列的分类:
有穷数列:
项数有限的数列(如数列①、②、⑦)
无穷数列:
项数无限的数列(如数列③、④、⑤、⑥)
4、数列的通项:
如果数列的第项与之间可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
启发学生练习找上面各数列的通项公式:
数列①:
数列④:
数列⑤:
(常数数列)
数列⑥:
指出(由学生思考得到)数列的通项公式不一定都能由观察法写出(如数列②);数列并不都有通项公式(如数列③、⑦);由数列的有限项归纳出的通项公式不一定唯一(如数列①的通项还可以写为:
5、数列的图像:
请同学练习画出数列①的图像,得出其特点:
数列的图像都是一群孤立的点
2、例题精析
例1:
根据下面的通项公式,写出数列的前5项:
(课本P6)
(1);
(2)
解:
(1)前5项分别为:
(2)前5项分别为:
[说明]由数列通项公式的定义可知,只要将通项公式中依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项.
例2:
写出下面数列的一个通项公式,使它前面的4项分别是下列各数:
(1)1,5,9,13;
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
[说明]:
认真观察各数列所给出的项,寻求各项与其项数的关系,归纳其规律,抽象出其通项公式.
例3:
观察下列数列的构成规律,写出数列的一个通项公式(补充题)
(1)
(2)9,99,999,9999,
(3)
(4)2,0,2,0,2,0,
解:
(1)
(2)
(3)可写成
(4)2=1+1,0=1-1
(或
,
或
)
[说明]本例的
(2)-(4)说明了对数列项的一般分拆变形技巧.
例4、根据图7-5中的图形及相应的点数,写出点数的一个通项公式:
(课本P7)
解:
[说明]本类“图形分析”题,解题关键在于正确把握图形依次演变的规律,再依点数写出它的通项公式
三、巩固练习
练习7.1(1)
四、课堂小结
本节课学习了数列的概念,要注意数列与数集的区别,数列中的数是按一定次序排列的,而数集中的元素没有次序;
本节课的难点是数列的通项公式,要会根据数列的通项公式求其任意一项,并会根据数列的一些项由观察法写出一些简单数列的一个通项公式.
五、课后作业
1.书面作业:
课本习题7.1A组习题1.----5
2.思考题:
(补充题及备选题)
1.有下面四个结论,正确的是(C)
①数列的通项公式是唯一的;
②每个数列都有通项公式;
③数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数
④在直角坐标系中,数列的图象是一群孤立的点
A、①②③④B、③ C、④ D、③④
2.若一数列为:
,则是这个数列的(B)
A、第6项B、第7项 C、第8项D、第9项
3.数列7,9,11,13,…2n-1中,项的个数为(C)
A、B、2-1C、-3D、-4
4.已知数列的通项公式为:
,它的前四项依次为____________
解:
前四项依次为:
5.试分别给出满足下列条件的无穷数列的一个通项公式
(1)对一切正整数n,
(2)对一切正整数n,
解:
(1) (不唯一)
(2) 等(不唯一)
6.写出下列数列的一个通项公式
(1)
(2)3,8,15,24,35,…
(3)
(4)0,0.3,0.33,0.333,0.3333,…
(5)1,0,-1,0,1,0,-1,0,…
解:
(1);
(2)
(3)
(4)
(5)
7.根据下面的图像及相应的点数,写出点数的一个通项 公式:
解:
以中间点为参照点,把增加的点作为方向点来分析,有:
第1个图形有一个方向,点数为1点;
第2个图形有2个方向,点数为1+21=3点;
第3个图形有3个方向,点数为1+32=7点;
第4个图形有4个方向,点数为1+43=13点;
…………
第n个图形有n个方向,点数
点
六、教学设计说明
本节课为概念课,按照“发现式”教学法进行设计
结合一些具体的例子,引导学生认真观察各数列的特点,逐步发现其规律,进而抽象、归纳出其通项公式
例题设计主要含以下二个题型:
(1)由数列的通项公式,写出数列的任意一项;给出数列的若干项,观察、归纳出数列的一个通项公式
补充的思考题,可作为学有余力的同学的能力训练题,也可作为教师的备选题.
2019-2020年高二数学《数列的极限》教案沪教版
一、教学内容分析
极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一,因为微积分中其它重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都是用极限概念来表述的,而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导,同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习,所以,极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1.理解数列极限的概念,能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2.观察运动和变化的过程,初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系,提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
3.利用刘徽的割圆术说明极限,渗透爱国主义教育,增强民族自豪感和数学学习的兴趣.
三、教学重点及难点
重点:
数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点:
数列极限的定义的理解.
四、教学用具准备
电脑课件和实物展示台,通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发
思考、化解难点,即对极限定义的理解,使学生初步的完成由有限到无限的过渡,运用实物展示台来呈现学生的作业,指出学生课堂练习中的优点和不足之处,及时反馈.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1、创设情境,引出课题
1.观察
教师:
在古代有人曾写道:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”哪位同学能解释一下此话意思?
学生:
一根一尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取第一天剩下的一半,……,如此继续下去,永远也无法取完思考
教师:
如果把每天取得的木棒长度排列起来,会得到一组怎样的数?
学生:
3.讨论
教师;随着的增大,数列的项会怎样变化?
学生:
慢慢靠近0.
教师:
这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题
二、学习新课
2、观察归纳,形成概念
(1)直观认识
教师:
请同学们考察下列几个数列的变化趋势
(a)
①“项”随的增大而减小②但都大于0
③当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数0
(b)
①“项”的正负交错地排列,并且随的增大其绝对值减小
②当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数0
(c)
①“项”随的增大而增大②但都小于1
③当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数1
教师:
用电脑动画演示数列的不同的趋近方式:
(a)从右趋近(c)从左趋近(b)从左右
两方趋近,使学生明白不同的趋近方式
教师:
上面的庄子讲的话体现了极限的思想,其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长,得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆和体,而无所失矣.”
概念辨析
教师:
归纳数列极限的描述性定义
学生:
一般地,如果当项数无限增大时,数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以为极限.
教师:
是不是每个数列都有极限呢?
学生1:
(思考片刻)不是.如
学生2:
教师:
请大家再看一下,下面的数列极限存在吗?
如果有,说出极限.
n是偶数
n是奇数
(a)
(b)无穷数列:
学生1:
数列(a)有极限,当是奇数时,数列的极限是0,当是偶数时,数列的极限是1.数列(b)的极限是0.4.
教师:
有不同意见吗?
学生2:
数列(b)的极限是0.34
学生3:
数列(b)的极限不存在
(这时课堂上的学生们都在纷纷议论,大家对数列(b)的极限持有各自不同的观点,但对数列(a)的极限的认识基本赞同学生1的观点.)
教师:
数列(a)有极限吗?
数列(b)的极限究竟是多少?
(学生们沉思)
学生4:
数列(a)没极限,原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列(b)的极限是.
教师:
回答的非常正确(用动画演示数列(b)的逼近过程),同学们对(a)判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对(b)判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的,数列(b)随着的无限增大,它会趋近于0.4、0.34、0.334,但是接近到一定的程度就不在接近了,所以无限的接近必须有量化的表述.
(2)量化认识
教师:
用什么来体现这种无限接近的过程呢?
学生:
用和之间的距离的缩小过程,即趋近0
教师:
现在以数列为例说明这种过程观察:
距离量化:
,随着的增大,的值越来越小,不论给定怎样小的一个正数(记为ε),只要充分的大,都有比给定的正数小.
教师:
请同桌的两位同学,一个取ε,另一个找.
问题拓展
学生:
老师再来几个其它的数列
教师:
以上我们以提到的和
为例,大家可以再操作一下.
教师:
(学生问答完毕)大家作了这项活动以后有什么感受?
学生:
只要数列有极限,对于给定的正数ε,总可以找到一项,使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.
教师:
顺理成章的给出数列极限的定义:
一般地,设数列是一个无穷数列,是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数ε,总存在正整数N,使得只要正整数,就有,那么就说数列以为极限,记作,或者时.
教师:
常数数列的极限如何?
学生:
是这个常数本身.
教师:
为什么?
学生:
因为极限和项的差的绝对值为0,当然比所有给定的正数小.
三、巩固练习
讲授例题
已知数列
①把这个数列的前5项在数轴上表示出来.
②写出的解析式.③中的第几项以后的所有项都满足
④指出数列的极限.
课堂练习
第41至42的练习.
四、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的的定义
五、作业布置
1.课本第42页习题2,3,4
2.根据本节课的学习,结合你自己对数列极限的体会,写一篇《我看极限》的短文,格式不限(本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.)
七、教学设计说明
对于数列极限的学习,对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃,由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响,学习过程中的困难会较大,根据一般的认识规律和学生的心理特征,设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤,由浅入深,由表及里,由感性到理性的逐步深化,力求使学生很好的理解极限的概念.
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