导数与微分习题汇总.docx
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导数与微分习题汇总
第二章导数与微分
【内容提要】
1.导数的概念
设函数y=F3在肮的某邻域(矗一§,xo+8)(8>0)内有定义,当自变量x
在点山处有改变 数,记为 广(勺)或yUo)或y或+lg 或轨勺 心"时,改变量比值的极限鹦舊称处的右导数,记为g)。 AxtO-时,改变量比值的极限lim趁称在从处的左导数,记为f: (x0)o Ax 2.导数的意义 导数的几何意义: •厂(勺)是曲线y=f{x)在点(恥,必)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义: 路程对时间的导数s'(r())是瞬时速度r(to)o以此类推,速度对时间的导数『(“))是瞬时加速度&(为。 3.可导与连续的关系 定理若函数y=/(x)在点汕处可导,则函数在点汕处一定连续。 此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。 4.导数的运算 定理1(代数和求导法则)若"(方和卩(方都在点x处可导,则 (U±v)r=U±vf 定理2(积的求导法则)若"(X)和『匕)都在点A•处可导,则 (wv)r=UV+uv 定理3(商的求导法则)若dCy)和卩(力都在点X处可导,且则 UV一uv v2 定理4若函数M=g(x)在点龙处可导,且y=/@)在其相应点D处可导,则复合函数y=f[gM]在x处可导,且 5.基本初等函数求导公式 本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数,整理所下: ■ (cy=o(#丫=时 ("')"=“Tn“(e)=e 他3=— aIna (sinx)r=cos.v (tanx)'=sec'x(secx/=secxtanx (arcsinx)'=〔 (arctanx)f=—「 1+广 (lnx)r=l x (cosx)f=-sinx (cotx)f=-esc2x (cscx)=-cscxcotx (arcco5tv)'=-,】 71-A-2 (arccot)'=_— 1+x2 这些基本导数公式必须熟记,与各种求导法则.求导方法配合,可求初等函数的导数。 6.微分的概念 设函数y=fW在点兀处可导,则称函数/(x)在x点的导数广⑴与自变量增量Ax的乘积为函数y=/(x)在x处的微分,记为 dv=f\x)^x 若y=x,则厶x=dx.即自变疑的微分等于自变量的改变量,因此函数的微分可记 dy=ff(x)dx 由dy=fix^x可知,先计算函数的导数,再乘以dx或△儿就得到函数的微分dy。 7.微分的计算 由dy=ff(x)dx可知,微分的计算归结为导数的计算。 由初等函数导数的计算公式. 法则和方法,可以直接得到澈分基本公式和运算法则: d(lnx)=—dx x u)vd/v-udv (^0) 复合函数的微分法则: ■ 设函数y=M可微,当x是自变量时,dy=/V)dv: 当x是中间变量x=g(t)时,复合函数y=/(&(£)]的微分为dy=>;d/==f©dg(f)=fr(x)dx。 就是说,不论x是中间变量还是自变量,函数y=f(x)的徴分都可以表示为dy=ff(x)d.x,由于表达形式一致,称之为一阶微分的形式不变性。 8.微分的简单应用 由微分的定义可知,当|心|很小时,可以用函数y=/(x)的微分dy代替函数改变量△y,误差仅为心的高阶无穷小,即 Ay«dy=/X-*b)d« 由Ay=/(x0+Ax)-/(x0),得到近似公式 /(勺+Ax)«/(A-o)+f(Xo)山 记近似公式可以写为 /WQfM+f(勺)(兀-勺) 若取Xo=O,则得到当丨X很小时,f(x)的近似公式 f(x)«/(0)+f(Q)x 微分还可以用来估计误差。 若y=/(x),测量x时产生的绝对误差为山,当|心|很小时,函数y=f(x)的绝对误差、相对误差分别计算为 【习题解答】 2-1求下列函数的导数。 (9)y=Alog2x+lg2; 解 (1)yf=l2x2+2 (2)=一丄+% JC 2-2 设f(x)=cosxsinx,求/r(0)、 解f(x)二一sinxsinx+cosxcosx=cos2xr(o)=i”守卜t 2-3设/(%)=—^,求广(0).广⑵。 1-A" 1一/一牙(_2x)_1+x2 (1-X2)2-=(1-? )2 广(0)=1广 (2)=5/9 2-4求曲线尸4/+4x—3在点(1,5)处的切线和法线方程。 解y=8x+4k=12 切线方程12x-y-7=0 法线方程x+12y-61=0 2-5物体运动方程为s=r+sint,求物体运动的速度和加速度。 解v=sr=cos/“=$"=-sin/ 2-6求下列各函数的导数。 (1) y=yl\+x2; (2) y=cosaxsinbx; (3) ° y—1nx; (4) y=lncosx; (5) 2 ・0X-y=siir—: 2 (6) lx y=arctan 1-x2 (9) 解 (1) (8) (10)y=N。 (3) (4) (2)yf=-asinaxsinZ? x+Z? cosarcosbx .2\nxy=—X r-sinx y==-tanx cosx 22 (5)y*=2sin-—cos-—(x)=xsinx 22 (6) 12(1-/)一2x(_2x) 2 1+x2 =2cos—(-sin—=——sinx 2222 ffl+sinxf1+sinx・、( y=Inj=In=ln(l+sinx)一Incosx (9) \1-sinxcosx .cosx-sinx1 1+sinxcosxcosx <10)y‘=(-2kx)=-2kxe"kA 2-7求下列各隐函数的导数。 (2)x+y—xy=l; (4)y=l—xe'o 解 (1)f=apx 2yy=apy=ap/2y (2)x+y—xy=l 2x十2yy-y-xy=0 (3)x+y—^axy=0 3x+3yy-3ay-3axy \ (4)y=l—xe y=-e'_xeyy 2-8取对数求下列各函数的导数。 (1)xy=(x+l)'(x—2);; (3)/=/; 解 (1)xy={x+\)\x-^ y=(y-2x)/(2y-x) =0y=(3ay-3x)/(3y-3ax) --e/(]+xe) 、(x+l)(x-2) (2)y=; -(兀+3)(兀-4) (4)e=xyQ lnx^lny=21n(x^l)^3In(x~2) (2) 1/x+y/y=2/(x+l)十3/(x-2) (3)vr=4x+- X /=4-4 (4)yf=-absinbx y,f=-ab2cosbx 2-10某物体降温过程中的温度为u=u.e-k,,求物体的冷却速率。 解it'=-kitQe~kl 2-11口服某药物后,血药浓度为Cp)=a(C-k,-c-n,)t求血药浓度的变化率。 解C\t)=a(-ke~h+mem,) 2-12一截面为倒置等边三角形的水槽,长20m,若以3m7s速度把水注入水槽,在水面高加时,求水面上升的速度。 解设水面高hm时体积为rm;,贝Q 、‘=込、'仝hh, 3 3 2-13 求下列各函数的微分。 (1) X y一(; ]一屮 (2)y =J(/+x2)3; (3) y=Arsinx+cos%; (4) y=arctaneA; (5) y=ln(l+f); (6) y=c"A一cos(3-x)o 解 (1) Ai+x2 dv=— •(1-X2)2 (2) dy=3x>Ja2+x2dx (3) dy=xcQsxdx (4)dy= \+e h二2所以(m/s) (6)dy=(-e'r一sin(3一x))dx d2y_1+r2 dx24t 解 (1) fM=e\x0=09Ax=x9ff(x0)=l,/(x0)=l /g+Ax)~f(x0)«广g)Ax exa1+x (2) fW=(1+x)n,x()=0,心=xJS)=nJ(x())=1/(x0+Ar)-/(A-0)a/r(x0)Av (1+x)na1+nx (3) fM=tanx,x0=0,Ax=xJ'(%)=l,/(x0)=0/(a-0+Av)-/(x0)«/Vo)Ar tanxax (4) fW=ln(l+x),x0=0,Ax=xJ'OQ=l,/(x0)=0/Uo+A.v)-/(x0)«广(忑)心 ln(l+x)«x 2-17求下列各式的近似值。 (1); (2)厕。 f(x)=H,兀0=1,Ax=0.01,广(%)=e,f(x())=e 解 (1)/(x0+zlv)-/(x0)«/V0)Ax 严al.Ole fM=五、x°=\000,Ax=-2,广(%)=£‘/(召))=10 (2)f(xv+Ar)-f(xv)aff(x0)A,x >/998«10=9— 300150 2-18造一个半径为lm的球壳,厚度为1.5cm,需用材料多少立方米 解设球体积为卩,半径为R、则 V=1=4^/? -d/? .R=l.dR=0.015 3 AV«dV=0.06/rm、 2-19为计算球的体积,要求误差不超过1%,度量球的半径时允许的相对误差是多少解设球体积为V,半径为R,则 V=f^/? \dV=4zT/? 2d/? 3 AV dV =3 dR <丄 V V R 100 dR<_1_ T"300 【课外练习】 一、单选题 )。 A.1,0 C.0,-1D.0,1 2.设/(x)=7? +1,则/(0)=()。 A.0B.1C.- 2 )函数,可导的奇函数,其导数为( 4.函数/(x)在点x=x0处可导是/(x)在点x=x()处可微的()条件。 A.充分不必要B.充分必要C.必要不充分D.不能确定 5.函数/(x)在点x=x0处的左导数以及右导数都存在并且相等是/(x)在点x=x0处可导的()条件。 A.充分不必要B.充分必要C.必要不充分D.不能确定 6. 函数y=F当x从1改变到时的微分是()。 7. A. 设函数/(X)可导且下列各极限都存在,则()不成立。 B./(«)=jim 10.曲线y=/—3x上,切线平行于兀轴的点有()。 A.(-1,-2)B.(1,2) C.(-1,2) D.(0,0) 二、填空题 1.若x=l,而心=0.1,则对于y=x2,与dy之差是;当Ay=0.01时,Ay 与dy之差是。 2.若/(x)=3x4+2x3+5,则/(0)=,/ (1)=。 3.若/(a)=y)\+4x,则八1)=,/(4)=。 Y=CO「trlv 4.由参数方程{4所确定的函数,在f=0时,此函数的导数竺=: 由参 y=sin/dx x=2t—t2d2v 数方程{{所确定的函数的二阶导数—. y=3t-rcL「 5.若已知函数f(x)=ax2+sinbx+c,且/(0)=1,/'(兀)二2兀-1,则常数, 常数b二。 若/(0)=2,则常数c二。 6.函数y二xsin2x的微分是,函数y=[ln(Hx)]2的微分是° 7.填入适当的函数,使等号成立: d()=3xdx,d()=sin2xdv, d()=严cko 8•设函数y=y(x)由方程+xy=e所确定,则y(0)=,y'(0)= 9.若拋物线y=/与y=x的切线平行,则自变量兀取值为 10.设函数/(x)是可导的偶函数且f(0)存在,则/(0)= 三、计算及证明题 (1)y=—+2>/x; x (2)y=xsin2x; 3•设y=arctailx,证明它满足方程(l+x2)y+2xy=0o 4.用定义求函数f(x)=x3在点x=l的导数。 ASinP"0在*0处不可导。 0,x=0 6•设/(%)=< ax+b. x>3 •一,试确定a"的值,使/(x)在x=3处可导。 x<3 7.已知直线运动方程为s=10t+5t29分别令A/=l,,求从(=4到f=4+△/这一段时间内运动的平均速度以及r=4时的瞬时速度。 8.求曲线y=/在点P(x0,y0)(xo^O)的切线方程与法线方程。 9.试确定曲线y=\nx上哪些点的切线平行于吏线y=x—l。 10.求姬丽的近似值。 11・求下列函数的高阶导数。 (1)/(a)=xlnx,求/(x); (2)/(x)=^,求厂⑴; (4)f(x)=xe 12・现在已经测得一根圆轴的直径为43厘米,并知在测量中绝对误差不超过厘来。 求以此数据计算圆轴的横截面面积时所引起的误差。 13.设有一个吊桥,其铁链成一拋物线形状,桥两端系于相距100米且高度相同的支柱上,铁钱之最低点在悬点(在支柱最下端,即铁链所系之处)下10米处。 求铁链与支柱所成的夹角。 【课外练习参考答案】 一、单选题 1.B2・A3. 4.B5.B 6.I)7. 9.B 10.C 二、填空题 计算及证明题 1•解 (1) y=6x (2) y=6x(x2-1), (3) (4) xsec~x-tanx (5) ・l-cosx-xsinx y= (1-cosx)2 (6) x2-4.v-1 (x2+x+l)2 (1)dy=(- (3)dy=2x(\+x)e2xdx ⑷d>,=TT7dv 3.证明 由已知y=arctanx ••丄•1 贝ijy=(arctanx)=,y==一 1+对11+2丿(1+才丁 所以(l+x2)y+2xy'=0得证。 4•解 由定义 「/(1+Ar)-/ (1)「(1+山)3-1‘「1+3心+3AF+A/-1人2、° lim=lim———=lim=lim<3+3^+^)=3 At-K>At-KI4Av->0Ac-M) 所以f(l)=3。 5.证明^/(A-)-/(O)=s.nl x-0x 则兀TO时,上式的极限不存在 所以函数/(X)在x=O处不可导。 6.解 因为/(x)在x=3处左、右两侧的函数表达式不同, 所以要使/(兀)在x=3处可导, 必须使/'(x)在兀=3处的左、右导数f_(3)、/+(3)都存在且相等。 由于化⑶=limm+w⑶=limn,=6, Axat()Ax 而八⑶=恤m+37⑶=lim【心g]-(3Z=“A—0Ax》t()Ax 所以a=6 此时/(x)在x=3处可连续。 /(3)=32=9 则/1(3)=/(3) 而f(3)=limf(3—^x)=3a+b,一a* 所以b=-9 7.解 因为平均速度1兰」1°(“$)+5(23]一(10“5尸)“0+^+5&Ar△/ 所以当F=4,△/=1时,v=55 当/=49A/=O.l时,v=50.5 当/=4,A/=0.01时,v=50.05 /=4时的瞬时速度为 =lim(10+10r+5A/)=501/-M) V=lim竺=lim3(7)+5210")AtO03)△/ 8•解 由于莹■=3xj+3.r0Ax+Av2 Ax 则f(%)=】im(3丘+3无Ax+Ax2)=3x3, Av->0 所以曲线y=X3在点P(心儿)的切线方程是y—)b=3X: (X-心)o 由解析几何知道,若切线斜率为则法线斜率为一丄伙H0),k 所以过点P(x(〉,x))的法线斜率为一一=一丄,/(兀)3心 因此,曲线y=x3在点卩(心儿)的法线方程为『一儿=一丄(%—不>)。 C“hO)3兀 9•解 因为两直线平行等价于两直线的斜率相等(斜率都存在时)。 而直线y=x-1的斜率为y=1 ・1 曲线y=Inx的导数y=(Inx)=— x 则当x=l时,—=11此时y=Inx=0, x 所以曲线y=lnx上的点(1,0)处的切线平行于直线y=x-io10•解 %/0^7是函数f(x)=>/7在x=0.97的值。 因此,令x0=hx=x0+A.r=0.97 即心=-0.03,于是得到 7^97①V? +(石)[=「(-0.03)=1+-(-0.03)=0.985 2 11.解 -1 (1)因为f(x)=x\nx,所以f(x)=l+lnx,j(x)=- x <2)因为f(x)=ex,所以f(x)=—2xe~x f(x)=—2e~x—2x(—2xe~s)=(4x2—2)e~xf"(x)=8血"+(4x2一2)(-2x)^_? =4x(3-2x2)*" 1. (3)因为/(x)=ln(x+l),所以f(x)=——=(x+l)-' x+\ f(x)=—(x+1尸,/(X)=2(x+1)-3,/<4)(x)=-6(x+1)-4 (羽=24(兀+1)-5 (5)因为f(x)=x3e\所以/(x)=xV+3xV=(x3+3x2)ex /(x)=(x3+3x2)ex+(3x2+6x)ex=(x3+6x2+6x)ex f(x)=(x3+6x2+6x)ex+(3x2+1lx+6)/=(x3+9x2+18x+6)K /⑷(x)=(x3+9x2+18x+6)ex+(3x2+18x+180 ■ 由以上归纳可得: /(10>(x)=+30.J+27OX+72O0 12.解 由题意,圆轴的直径D=43厘米,其绝对误差|AD|<0.2厘米。 按照所测的直径计算圆轴的横截面面积为 5=f(D)=-^D2=-^432=462.25”cnr 44 它的绝对误差 [△S卜|dS|=『(£>)△£>卜丄;r£>|A£>|<1^-43-0.2=4.3^-cm2 22 其相对误差 凹「四」丁坐^空“93% SS打D43 4 13.解 根据题意,以铁链最低点处的切线作为横轴,以铁链的最低点作为坐标原点,建立直角坐标系。 则铁链所处的抛物线方程为则y=pLXo 记左悬点为A(—50,10),右悬点为3(50,10), 2则抛物线在右悬点处的切线斜率为y(50)=- 2所以在右悬点处拋物线与坐标轴横轴的夹角为arctan- 因此,铁链与支柱所成的夹角为--arctan-o 25 _(x+DU-2) 一(x+3)(x—4) lny=In(丹1)+ln(x~3)-In(丹3)-ln(.r-4) y/y=l/(x+l)十l/(x-3)一l/(x+3)-1/(x-4) (3)y—xxlny=ylnxlnyxy/y=ylnx+y/x (4)6=xyy=lnx+lnyy=1/xy/yy=y/x(y-l) 2-9求下列各函数的二阶导数。 (1)y=evsinx; (2)v=a234e"r; (3)y=2x2+lnx;(4)y=acosbx。 解 (1)y=eAsinx /=/(sinx+cosx) =ex(sinx+cosx)+e1(cosx-sinx)=2elcosx (2)丫=2兀「一+严 (2)dy=(sin2x+2xcos2x)dx
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