201x版中考数学专题复习 专题八 综合应用28数学思想方法学案.docx
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201x版中考数学专题复习专题八综合应用28数学思想方法学案
2019版中考数学专题复习专题八综合应用(28)数学思想方法学案
【学习目标】
1.了解中学的四大数学思想,即方程与函数思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.
2.会用基本的思想方法解答问题.
【重点难点】
重点:
中学数
学常见思想方法的归纳总
结.
难点:
会利用数学思想方法解答具体问题.
【知识回顾】
你知道中学阶段数学主要的思想方法有哪些?
【综合
运用】
类型一转化思想
1.
2.
3.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值______.
类型二数形结合思想
1.若一次函数y=(2m﹣1)x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限,则m的取值范围是__________.
2.若正比例函数的图象经过点(
,2),则这个图象必经过点().
A.(1,2)B.(
,
)C.(2,
)D.(1,
)
类型三函数思想
1.下列四个点,在正比例函数
的图象上的点是( ).
A.(2,5)B.(5,2)C.(2,﹣5)D.(5,﹣2
2.若
是双曲线上的两点,且
,则
(填“>”、“=”、“<”).
3.将抛物线C:
y=x²+3x-10,将抛物线C平移到Cˊ.若两条抛物线C,Cˊ关于直线x=1对称,则下列平移方法中正确的是().
A.将抛物线C向右平移个单位
B.将抛物线C向右平移3个单位
C.将抛物线C向右平移5个单位
D.将抛物线C向右平移6个单位
类型四分类讨论思想
1.如图⊙O的半径为1,AB是⊙O的一条弦,且AB=
,则弦AB所对圆周角的度数为( ).
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
2.已知⊙O的半径为13cm,弦AB//CD,AB=24cm,
CD=10cm,则AB、CD之间的距离为( ).
A.17cmB.7cm
C.12cmD.17cm或7cm
【组内交流】
学生根据问题解决的思路和解题中所呈现的问题进行组内交流,归纳出方法、规律、技巧.
【直击中考】
例1.阅读材料:
如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直
线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及
;
(3)是否存在一点P,使S△PAB=
S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
例2.如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者
边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的三角形
△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个
三角形
(2)如图②、在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?
若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?
若不存在,为什么?
例3.已知二次函数y=x2+mx+m-2,
(1)求证:
无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且AB=
,求抛物线解析式;
(3)当m取何值是抛物线与x轴两个交点之间的距离最短.
【总结提升】
1.请你画出本节课的知识结构图.
2.通过本课复习你收获了什么?
【课后作业】
一、必做题:
1.如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:
(1)
(2)(3)(4)
(第1题图)
sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;
sin2A3+sin2B3=
.
(1)观察上述等式,猜想:
在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin
2A+sin2B=
.
(2)如图(4),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.
二、选做题:
如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=
∠A=∠B=90°,
求证:
AD•BC=AP•BP.
(2)探究
如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?
说明理由.
(3)应用
请利用
(1)
(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P
以每秒1个单位长度的速度,由点A出了,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.
数学思想方法复习学案答案
综合运用
略
错误!
未找到引用源。
直击中考
例1.解:
(1)设抛物线的解析式为:
y1=a(x﹣1)2+4,
把A(3,0)代入解析式,
求得a=﹣1,
所以y1=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3,
设直线AB的解析式为:
y2=kx+b,
由y1=﹣x2+2x+3,
求得B点的坐标为(0,3),
把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中,
解得:
k=﹣1,b=3,
所以y2=﹣x+3;
(2)因为C点坐标为(1,4),
所以当x=1时,y1=4,y2=2,
所以CD=4﹣2=2S△CAB=
×3×2=3(平方单位);
(3)假设存在符合条件的点P,
设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,
则h=y1﹣y2=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,
由S△PAB=
S△CAB,
得:
×3×(﹣x2+3x)=
×3,
化简得:
4x2﹣12x+9=0,
解得,x=
,
将x=
代入y1=﹣x2+2x+3中,
解得P
点坐标为(
,
).
例2.
(1)等腰;
(2)如图①,连接BE,画BE的中垂线交BC与点F,连接EF,△BEF是矩形
ABCD的一个折痕三角形,
∵折痕垂直平分BE,AB=AE=2,
∴点A在BE的中垂线上,即折痕经过点A,
∴四边形ABFE为正方形,
∴BF=AB=2,
∴F(2,0);
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF,其面积为4,理由如下:
①当F在边BC上时,如图②所示,
S△BEF≤
S矩形ABCD,即当F与C重合时,面积最大为4;
②当F在边CD上时,如图③所示,
过F作FH∥BC交AB于点H,交BE于K,
∵S△EKF=
KF·AH≤
HF·AH=S矩形AHFD,
S△
BKF=
KF·BH≤
HF·BH=S矩形BCFH,
∴S△BEF≤
S矩形ABCD=4,
即当F为CD中点时,△BEF面积最大为4,
下面求面积最大时,点E的坐标,
①当F与点C重合时,如图④所示,
由折叠可知CE=CB=4,
在Rt△CDE中,ED=
,
∴AE=4-2
,
∴E(4-2
,2),
②当F在边DC的中点时,点E与点A重合,如图⑤所示,
此时E(0,2),
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(4-2
,2).
例3.
(1)△=m2-4(m-2)=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,
∴(m-2)2+4>0,即△>0,
∴无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点.
(2)5或--1
(3)设函数与x轴两个交点的值为x1,x2,且x2>x1,x1+x2=-m,且x1×x2=m-5,
所以(x2-x1)2=(x1+
x2)2-4x1x2=m2-4(m-5)=m2-4m+20=(m-2)2+16,
所以当m=2时,x2-x1有最小值4,
所以,抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4
课后作业
必做题:
略
选做题:
解:
(1)如图1,
∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴
=
,
∴AD•BC=AP•BP;
(2)结论AD•BC=AP•BP仍然成立.
理由:
如图2,
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.
∵∠DPC=∠A=∠B=θ,
∴∠BPC=∠ADP,
∴△ADP∽△BPC,
∴
=
,
∴AD•BC=AP•BP;
(3)如图3,
过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD=BD=5,AB=6
,
∴AE=BE=3.
由勾股定理可得DE=4.
∵以点D为圆心,DC为半径的圆与AB相切,
∴DC=DE=4,
∴BC=5﹣4=1.
又∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
∴∠DPC=∠A=∠B.
由
(1)、
(2)的经验可知AD•BC=AP•BP,
∴5×1=t(6﹣t),
解得:
t1=1,t2=5,
∴t的值为1秒或5秒.
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