血管的三维重建.docx
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血管的三维重建
血管的三维重建
任务一
前期准备
一、对图像的处理:
1、首先提出细化的概念:
细化:
也被称之为骨架化,是广泛运用于图像处理与模式识别的一个重要的图像预处理的过程。
而图像的细化是特指在保持原图像的拓扑结构的情况下尽可能快的抽出一个单像素宽的骨架的过程。
细化的算法有边缘点保留与内点删除两种算法。
各有不足,因此使用一种将边缘点与内点相结合的四邻域的算法。
2、四邻域
将像素点
的上、下、左、右四个像素点的集合称之为像素
的四邻域,在这四个方向上有像素点记为1,无像素的点记为0。
运用
将
格式的图像转化为二维的0-1像素矩阵,矩阵的大小为
。
二、半径的转化
首先有定理:
(1)球的任一截面都为圆;
(2)经过球心的球截面是所有球截面当中最大的圆
对于血管:
假设血管是一条粗细均匀的管道,那么其表面可以被理解为是由球体以半径固定,且绕着某一条曲线滚动而形成的包络面。
对于血管的切片:
由题目条件知截面是垂直于
轴的,当血管被模拟为一个大小固定的球的无相交的位移曲线时,必然会造成每一截面都会经过球的球心,那么其切片的最大的内切圆的圆心必然落在球心处。
管道的半径是在其内部运动的球的球径,而最大内切圆的圆心落在球心处。
很显然内部运动的球是球心与最大内切圆的圆心相重合的球。
观察这些截面可以发现最大内切圆有且只有一个,因此截面的最大内切圆的半径即可表示为血管的半径。
模型一的建立:
采用平均法解决血管的半径问题。
将所有切片的最大内切圆的半径的平均数作为血管的半径,因此首先应运用
将图像格式的
文件采用四邻域的做法将其转化为
的像素矩阵。
将第
血管切片的轮廓上的点设为
,其必然属于轮廓点的集合
将第
切片的内点设为
,其必然也属于一个内部点的集合
。
则其中的内切半径是
与
的距离的最小值,表示为
而对应的最大内切圆的半径
取所有血管截面的最大内切圆的半径的平均数作为血管的半径,因此有血管的半径为:
对于血管的半径的模型的求解:
运用
实现四邻域的算法,并求得每段切片的最大内切圆半径以及其圆心坐标如下表所示:
表一:
最大内切圆半径和坐标
切片号
最大内切圆半径
圆心坐标
切片号
最大内切圆半径
圆心坐标
0
29.0000
(96,257)
50
29.6985
(144,375)
1
29.0000
(96,257)
51
29.6985
(144,375)
2
29.0000
(96,257)
52
29.6985
(144,375)
3
29.0000
(96,257)
53
29.6958
(144,375)
4
29.0000
(96,257)
54
29.4109
(145,376)
5
29.0000
(96,257)
55
29.2062
(161,389)
6
28.8617
(96,258)
56
29.2062
(161,389)
7
29.0000
(96,258)
57
29.4109
(184,403)
8
29.0000
(96,258)
58
29.4109
(186,404)
9
29.0000
(96,258)
59
29.1548
(197,409)
10
29.0000
(96,259)
60
29.1548
(197,409)
11
29.0000
(96,259)
61
29.1204
(226,418)
12
29.0000
(96,260)
62
29.1204
(231,419)
13
29.0000
(96,261)
63
29.1548
(237,420)
14
29.0000
(96,262)
64
29.1548
(237,420)
15
29.0000
(96,263)
65
29.1548
(237,420)
16
29.0000
(96,265)
66
29.1204
(231,419)
17
29.0000
(96,267)
67
29.0689
(244,421)
18
29.0000
(96,272)
68
29.0689
(295,420)
19
29.0000
(96,274)
69
29.0689
(300,419)
20
29.0000
(96,275)
70
29.1204
(305,418)
21
29.0000
(96,276)
71
29.1548
(295,420)
22
29.0000
(96,277)
72
29.1204
(324,413)
23
29.0000
(96,278)
73
29.1204
(332,410)
24
29.0172
(96,277)
74
29.1204
(332,410)
25
29.0172
(96,277)
75
29.1548
(337,408)
26
29.0172
(97,286)
76
29.1548
(334,405)
27
29.0689
(97,286)
77
29.1548
(373,388)
28
29.0689
(98,292)
78
29.1548
(373,388)
29
29.0689
(98,292)
79
29.2062
(381,382)
30
29.1204
(99,297)
80
29.2062
(388,376)
31
29.1548
(98,292)
81
20.4109
(388,376)
32
29.1204
(101,305)
82
29.6816
(388,376)
33
29.1204
(101,305)
83
29.6816
(389,375)
34
29.1204
(102,308)
84
29.6816
(401,363)
35
29.1204
(104,314)
85
29.6816
(402,362)
36
29.1204
(105,317)
86
29.6816
(402,362)
37
29.1204
(105,317)
87
29.4109
(402,362)
38
29.1548
(107,322)
88
29.2062
(414,347)
39
29.1548
(107,322)
89
29.2062
(414,347)
40
29.1548
(107,322)
90
29.1548
(423,333)
41
29.1548
(119,345)
91
29.1548
(434,310)
42
29.1548
(121,348)
92
29.2548
(434,310)
43
29.1548
(123,351)
93
29.1548
(434,310)
44
29.4109
(121,348)
94
29.1548
(434,310)
45
29.4109
(121,348)
95
29.1204
(443,278)
46
29.4109
(121,348)
96
29.1204
(443,278)
47
29.6985
(140,371)
97
29.1204
(443,278)
48
29.6985
(142,373)
98
29.1204
(443,279)
49
29.6985
(143,374)
99
29.1204
(441,288)
将上述表格中每一段最大内切圆的半径
采用算术平方根的方法代入到血管的半径模型
中,可以得到管道的半径
。
2、对于血管管道中轴线的模型(投影法)的建立与求解
血管中轴线是其内部运动的球的球心运动而成的曲线。
因此中轴线是由每一个切片对应的最大内切圆的圆心连接而成。
因此如果将每一切片的圆心投影到
、
、
三个平面上,运用
将拟合出三条曲线分别记为
、
、
。
那么求得的血管的中轴线即可表示为
下面首先根据上述求得的最大内切圆所对应的圆心坐标,将二维坐标转化为三维坐标结果如下:
各切片圆心在
上投影的坐标点
切片
圆心坐标
切片
圆心坐标
切片
圆心坐标
0
(96,257)
33
(101,305)
66
(231,419)
1
(96,257)
34
(102,308)
67
(244,421)
2
(96,257)
35
(104,314)
68
(295,420)
3
(96,257)
36
(105,317)
69
(300,419)
4
(96,257)
37
(105,317)
70
(305,418)
5
(96,257)
38
(107,322)
71
(295,420)
6
(96,258)
39
(107,322)
72
(324,413)
7
(96,258)
40
(107,322)
73
(332,410)
8
(96,258)
41
(119,345)
74
(332,410)
9
(96,258)
42
(121,348)
75
(337,408)
10
(96,259)
43
(123,351)
76
(334,405)
11
(96,259)
44
(121,348)
77
(373,388)
12
(96,260)
45
(121,348)
78
(373,388)
13
(96,261)
46
(121,348)
79
(381,382)
14
(96,262)
47
(140,371)
80
(388,376)
15
(96,263)
48
(142,373)
81
(388,376)
16
(96,265)
49
(143,374)
82
(388,376)
17
(96,267)
50
(144,375)
83
(389,375)
18
(96,272)
51
(144,375)
84
(401,363)
19
(96,274)
52
(144,375)
85
(402,362)
20
(96,275)
53
(144,375)
86
(402,362)
21
(96,276)
54
(145,376)
87
(402,362)
22
(96,277)
55
(161,389)
88
(414,347)
23
(96,278)
56
(161,389)
89
(414,347)
24
(96,277)
57
(184,403)
90
(423,333)
25
(96,277)
58
(186,404)
91
(434,310)
26
(97,286)
59
(197,409)
92
(434,310)
27
(97,286)
60
(197,409)
93
(434,310)
28
(98,292)
61
(226,418)
94
(434,310)
29
(98,292)
62
(231,419)
95
(443,278)
30
(99,297)
63
(237,420)
96
(443,278)
31
(98,292)
64
(237,420)
97
(443,278)
32
(101,305)
65
(237,420)
98
(443,279)
99
(441,288)
各切片圆心在
上投影的坐标点
切片
圆心坐标
切片
圆心坐标
切片
圆心坐标
0
(96,0)
33
(101,33)
66
(231,66)
1
(96,1)
34
(102,34)
67
(244,67)
2
(96,2)
35
(104,35)
68
(295,68)
3
(96,3)
36
(105,36)
69
(300,69)
4
(96,4)
37
(105,37)
70
(305,70)
5
(96,5)
38
(107,38)
71
(295,71)
6
(96,6)
39
(107,39)
72
(324,72)
7
(96,7)
40
(107,40)
73
(332,73)
8
(96,8)
41
(119,41)
74
(332,74)
9
(96,9)
42
(121,42)
75
(337,75)
10
(96,10)
43
(123,43)
76
(334,76)
11
(96,11)
44
(121,44)
77
(373,77)
12
(96,12)
45
(121,45)
78
(373,78)
13
(96,13)
46
(121,46)
79
(381,79)
14
(96,14)
47
(140,47)
80
(388,80)
15
(96,15)
48
(142,48)
81
(388,81)
16
(96,16)
49
(143,49)
82
(388,82)
17
(96,17)
50
(144,50)
83
(389,83)
18
(96,18)
51
(144,51)
84
(401,84)
19
(96,19)
52
(144,52)
85
(402,85)
20
(96,20)
53
(144,53)
86
(402,86)
21
(96,21)
54
(145,54)
87
(402,87)
22
(96,22)
55
(161,55)
88
(414,88)
23
(96,23)
56
(161,56)
89
(414,89)
24
(96,24)
57
(184,57)
90
(423,90)
25
(96,25)
58
(186,58)
91
(434,91)
26
(97,26)
59
(197,59)
92
(434,92)
27
(97,27)
60
(197,60)
93
(434,93)
28
(98,28)
61
(226,61)
94
(434,94)
29
(98,29)
62
(231,62)
95
(443,95)
30
(99,30)
63
(237,63)
96
(443,96)
31
(98,31)
64
(237,64)
97
(443,97)
32
(101,32)
65
(237,65)
98
(443,98)
99
(441,99)
各切片圆心在
上投影的坐标点
切片
圆心坐标
切片
圆心坐标
切片
圆心坐标
0
(257,0)
33
(305,33)
66
(419,66)
1
(257,1)
34
(308,34)
67
(421,67)
2
(257,2)
35
(314,35)
68
(420,68)
3
(257,3)
36
(317,36)
69
(419,69)
4
(257,4)
37
(317,37)
70
(418,70)
5
(257,5)
38
(322,38)
71
(420,71)
6
(258,6)
39
(322,39)
72
(413,72)
7
(258,7)
40
(322,40)
73
(410,73)
8
(258,8)
41
(345,41)
74
(410,74)
9
(258,9)
42
(348,42)
75
(408,75)
10
(259,10)
43
(351,43)
76
(405,76)
11
(259,11)
44
(348,44)
77
(388,77)
12
(260,12)
45
(348,45)
78
(388,78)
13
(261,13)
46
(348,46)
79
(382,79)
14
(262,14)
47
(371,47)
80
(376,80)
15
(263,15)
48
(373,48)
81
(376,81)
16
(265,16)
49
(374,49)
82
(376,82)
17
(267,17)
50
(375,50)
83
(375,83)
18
(272,18)
51
(375,51)
84
(363,84)
19
(274,19)
52
(375,52)
85
(362,85)
20
(275,20)
53
(375,53)
86
(362,86)
21
(276,21)
54
(376,54)
87
(362,87)
22
(277,22)
55
(389,55)
88
(347,88)
23
(278,23)
56
(389,56)
89
(347,89)
24
(277,24)
57
(403,57)
90
(333,90)
25
(277,25)
58
(404,58)
91
(310,91)
26
(286,26)
59
(409,59)
92
(310,92)
27
(286,27)
60
(409,60)
93
(310,93)
28
(292,28)
61
(418,61)
94
(310,94)
29
(292,29)
62
(419,62)
95
(278,95)
30
(297,30)
63
(420,63)
96
(278,96)
31
(292,31)
64
(420,64)
97
(278,97)
32
(305,32)
65
(420,65)
98
(279,98)
99
(288,99)
用
拟合出这些点在
、
、
的方程,结果如下:
中轴线在
平面上的投影的拟合曲线为:
中轴线在
平面上的投影的拟合曲线为:
中轴线在
平面上的投影的拟合曲线为
综合上述结果,我们将中轴线有三维方程表示出最终结果为:
得到三条拟合的曲线为
最终得到的中轴线的三维拟合曲线为
问题二的分析:
对于问题二,要求血管的中轴线以及其在三个投影面上的投影。
要拟合出中轴线的三维图,必然要先得到各切片三维的圆心坐标,因此在第一问求得的二维圆心坐标的基础上,将圆心坐标扩展成三维的坐标。
随后运用
将所有的圆心进行拟合,得到三维立体中轴线的图以及其拟合方程,最后再用所得的中轴线的拟合图向三个面上去投影,得到其在三个投影面上的投影以及其每个投影面的方程。
数学公式与图像相结合,更加准确直观。
模型的优缺点:
模型的优点:
1、本文模型中的算法简洁明了,且方法易于实现,通过模型的检验还可以发现模型的精确度高,对解决本题中的问题有相当高的可行性。
2、对图像上所有的像素点进行遍历搜索,方法简单易懂。
3、在求解血管的半径时采用平均法,保证了数据的全面性,得到的是全局的最优解,减少了误差。
4、在对中轴线求解的过程中,首先拟合出中轴线的三面图线,最后再拟合出三维的中轴线,并且图像与方程相结合,直观合理。
模型的缺点:
1、模型的运算量大,计算所用时间较长
2、寻找边界的时候,只考虑了模型的内边界而忽略了模型的外边界,使求得的结果存在一定的误差性。
模型的改进:
1、在对边界求解的过程中,首先找出内边界的点对应的最大内切圆的半径
,再找出外边界对应的最大内切圆半径
,最后将两者取平均得到的内切圆半径比较准确,为
3、由于血管的中轴线是一根线,因此血管的每一个切片的最大内切圆的圆形都在一条直线上,当我们找出第一个图片的最大内切圆的圆心,在寻找下一个圆心时,由于球心的位置变化不大,可以认为下一张图的圆心在上一个圆心的附近,在其附近进行搜索。
这样可以极大的减少计算量。
模型的检验
我们对模拟出的血管的三维图像进行检验,首先将100张切片用
进行堆叠,得到一个血管的实际图片,将拟合后的三维图片与实际图片进行相似度的计算,计算过程如下:
1、将两张图片转化为像素0-1矩阵;
2、找出其中重叠的1的部分;
3、利用相似度公式,得到图像相似度的定量度量;
4、统计相似度结果数据。
图像的相似度公式为:
其中
、
表示两张图片,
表示图像的相似度,
为颜色空间样点数
本题的相似度表示为实际的血管图像与拟合后的血管图像的重叠部分与实际的图像之比,简单的将相似度的公式进行简化得到:
求得的相似度的结果为
,相似度已经超过90%,因此具有很高的相似度,检验模型结果的准确性较大,因此表示出模型可靠。
问题分析:
第二问是要绘制中轴线在
平面的投影图并设计出管道的中轴线。
首先我们通过问题一得到了各切片的圆心在
三个平面上的投影的散点的坐标,通过最小二乘法中的多项式拟合的方法,运用
将这些散点拟合出平滑的曲线,得到中轴线在
平面上的投影图以及拟合方程。
接着通过构造方程组,得到中轴线的三维方程,最后根据所得的三维方程用
设计出三维的中轴线。
目录
一、摘要……………………………………………
二、问题分析………………………………………
三、模型假设……………………………………….
四、符号说明及名词解释…………………………
五、前提准备………………………………………
六、问题一
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- 关 键 词:
- 血管 三维重建