铁路缓和曲线坐标计算方法.docx
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铁路缓和曲线坐标计算方法
一、曲线的一般组成
厦深铁路12标正线线形设计为直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线。
从小里程至大里程依次为ZH(直缓点)、HY(缓圆点)、YH(圆缓点)、HZ(缓直点)如下图所示:
二、方位角的概念
从标准方向的正北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。
方位角的取值范围为0°~360°,如下图A即为直线L的方位角。
三、某点坐标的计算
已知A点坐标为(491548,2505452),B点距离A点L=125m,直线AB的方位角为235°,计算B点坐标。
计算方法:
Y=491548+125×SIN235=491445.606
X=2505452+125×COS235=2505380.303
四、曲线上任一点的坐标及切线方位角计算
1直线段上任一点的坐标及方位角
直线上的坐标计算比较简单,只需要求出该点所在直线的方位角以及线路中的里程即可求得
例1,求DK495+520处左中线的坐标及方位角
由设计院所给的曲线要素表可知该点位于JD57JD58的直线上,查曲线要素表JD57,JD58的坐标分别为(488809.902,2504127.029),(485660.627,2504491.226)。
通过坐标反算直线JD57JD58的方位角:
A=atg((485660.627-488809.902)/(2504491.226-2504127.029))
=276.59665°
注意:
A的取值可根据下述条件确定
ΔY>0,ΔX>0,第一象限0-90°
ΔY>0,ΔX<0,第二象限90°-180°
ΔY<0,ΔX<0,第三象限180°-270°
ΔY<0,ΔX>0,第四象限270°-360°
查曲线表,JD58切线长T=690.303m,JD58坐标(Y58,X58)=(485660.627,2504491.226),ZH点里程为DK496+093.885。
JD58JD57的方位角:
A0=A-180=96.59665°
则ZH点的坐标为:
YZH=Y58+T×sin(A0)=485660.627+690.303×sin96.59665
=486346.3598
XZH=X58+T×cosA0=2504491.226+690.303×COS96.59665
=2504411.9246
ZH点坐标为(YZH,XZH)=(486346.3598,2504411.9246)
DK495+520到ZH点的距离L=DKZH-DK495+520
=496093.885-495520
=573.885
则DK495+520的坐标(Y,X)=(YZH+L×sinA0,XZH+L×cosA0)
=(486916.445,2504345.997)
切线方位角即为JD57JD58,A=276.59665°
2第一缓和曲线的计算(切线支矩法)
由于缓和曲线与圆曲线没有比较理想的大地坐标计算公式,需要局部计算再根据换算公式换算为大地坐标。
计算思路为:
先以缓和曲线所在交点的
ZH点为坐标原点建立小坐标系统,算出小坐标Yi,Xi以及β,然后由换算公式换算为统一的大地坐标系统,即设计院所给的坐标系统。
计算公式如下:
2.1小坐标计算公式:
Yi=L³/(6R*Ls)(2-1)
Xi=L-(2-2)
β=ρ*L²/(2R*Ls)(2-3)
Yi----------缓和曲线上i点的小坐标Y
Xi----------缓和曲线上i点的小坐标X
L-----------缓和曲线上i点到直缓点的曲线长度L=DKi-DKZH
R-----------圆曲线半径
Ls----------缓和曲线长
β----------
ρ----------ρ=180/π
2.2小坐标转大地坐标计算公式
Y=YZH+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
X=XZH+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
Ai=A0+CC*β
Y-----------待求里程点大地Y坐标
X-----------待求里程点大地X标
Ai----------待求里程点切线方位角
A0----------ZH点至交点直线的方位角
CC----------表示+1或者-1,取值规定:
当
曲线单元偏向为右时为+1,左偏时为-1
例2求DK496+129.336左线中心坐标及切线方位角,即李朗特大桥46#墩左中线。
由曲线表可知DK496+129.336位于JD58的第一缓和曲线上,由例1中的计算知道ZH点坐标为(YZH,XZH)=(486346.3598,2504411.9246),JD57-JD58的切线方位角A0=276.59665°。
缓和曲线长Ls=350,半径R=2500,
小坐标Yi=L³/(6R*Ls)
=(496129.336-496093.885)³/(6*2500*350)
=0.008486
Xi=L-
=35.451-
=35.151
β=ρ*L²/(2R*Ls)
=180×35.451²/(2×2500×350×π)
=0.04115°
小坐标换大坐标
Y=YZH+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
=486346.3598+35.151×sin276.59665
-0.008486×cos276.59665
=486311.1426
X=XZH+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
=2504411.9246+35.15×cos276.59665
+0.008486×sin276.59665
=2504415.989
切线方位角
A=A0+CC*β
=276.59665-0.04115
=276.5555°
注:
此处曲线偏向为左偏,所以CC=-1
DK496+129.336的左中坐标为(Y,X)=(486311.1426,2504415.989)
切线方位角A=276.5555°
3第二缓和曲线
以待求缓和曲线所在交点的HZ点为坐标原点建立小坐标系统。
3.1小坐标计算
小坐标计算公式同上,需注意,L=DKHZ-DKi,所代表含义为待求i点到HZ点的曲线长度。
3.2大地坐标计算
小坐标转大地坐标计算公式
Y=YHZ+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
X=XHZ+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
Ai=A0+CC*β+180(或者-180,只要结果大于0即可,+180或者-180只是为了使方位角仍指向大里程方向)
Y-----------待求里程点大地Y坐标
X-----------待求里程点大地X标
Ai----------待求里程点切线方位角
A0----------HZ点至交点直线的方位角
CC----------表示+1或者-1,取值规定:
当曲线单元偏向为左时为-1,右偏时为+1
例3计算DK497+225.939(即早窝仔特大桥6#墩)左中线坐标及切线方位角
由曲线表知DK497+225.939位于JD58的第二缓和曲线上,HZ点里程DKHZ=497+459.505,JD58坐标为(485660.627,2504491.226),JD59坐标为(483775.574,2503926.412),切线长T=690.303
直线JD58-JD59的方位角:
AJD58-JD59=atg[(483775.574-485660.627)/(2503926.412-2504491.226)]
=253.32033
直线JD59-JD58的方位角:
A0=AJD58-JD59-180
=73.32033
HZ点坐标:
YHZ=Y58+T×sin(AJD58-JD59)=485660.627+690.303
×sin253.32033
=484999.369
XHZ=X58+T×cosAJD58-JD59=2504491.226+690.303×COS253.32033
=2504293.0949
HZ点坐标为(YHZ,XHZ)=(484999.369,2504293.0949)
以HZ点为坐标原点,小坐标计算:
Yi=L³/(6R*Ls)
=(497459.505-497225.939)³/(6*2500*350)
=2.427
Xi=L-
=233.566-
=233.5433
β=ρ*L²/(2R*Ls)
=180×233.566²/(2×2500×350×π)
=1.7861°
小坐标转换为大地坐标:
Y=YHZ+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
=484999.369+233.5433×sin73.32033
+2.427×cos73.32033
=485223.7825
X=XHZ+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
=2504293.0949-233.54×cos73.32033
+2.427×sin73.32033
=2504357.801
切线方位角
A=A0+CC*β
=73.32033+1.7861
=75.10643°
曲线为左偏,故CC=1
为了使方位角指向大里程方向,再加上180
即A=75.10643+180=255.10643°
DK497+225.939的左中线坐标为(Y,X)=(485223.7825,2504357.801)
切线方位角A=255.10643°
4圆曲线坐标计算
圆曲线计算跟第一缓和曲线计算思路一样,以ZH点为坐标原点建立直角坐标系。
4.1小坐标计算:
Yi=R*[1-cos(ρ*L/R+β0)]+p
Xi=R*sin(ρ*L/R+β0)+m
β=ρ*(L+0.5Ls)/R
其中p=Ls²/24Rm=Ls/2-(Ls³/240R²)β0=ρ*Ls/2R
L=DKi-DKZH-Ls
4.2小坐标转大地坐标:
计算公式与2.2中的计算公式一致。
例题4计算DK497+053.449(早窝仔特大桥厦门台前)左中线坐标及切线方位角
由曲线表可知DK497+053.449位于JD58的圆曲线上,由例1中的计算知道ZH点坐标为(YZH,XZH)
=(486346.3598,2504411.9246)JD57-JD58的切线方位角A0=276.59665°。
缓和曲线长Ls=350,半径R=2500
小坐标计算:
p=Ls²/24R=350²/24×2500=2.04166
m=Ls/2-(Ls³/240R²)
=350/2-(350³/240×2500²)
=174.971416
β0=ρ*Ls/2R
=180×350/(2×2500×π)
=4.0107
L=DK497+053.449-DKZH-Ls
=609.564
Yi=R*[1-cos(ρ*L/R+β0)]+p
=2500×[1-cos(180×609.564/2500×π+4.0107)]
+2.04166
=124.1427
Xi=R*sin(ρ*L/R+β0)+m
=2500×sin(180×609.564/2500×π+4.0107)
+174.971416
=946.7205
β=ρ*(L+0.5Ls)/R
=180×(609.564+0.5×350)/2500×π
=17.98088°
小坐标换大坐标
Y=YZH+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
=486346.3598+946.7205×sin276.59665
-124.1427×cos276.59665
=485391.6457
X=XZH+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
=2504411.9246+946.7205×cos276.59665
+124.1427×sin276.59665
=2504397.3622
切线方位角
A=A0+CC*β
=276.59665-17.98088
=258.61577°
曲线左偏,CC=-1
DK497+053.449的左中坐标为(Y,X)=(485391.6457,2504397.3622)
切线方位角A=258.61577°
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