六年级上册奥数试题第13讲填数字全国通用含答案.docx
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六年级上册奥数试题第13讲填数字全国通用含答案
第13讲 填数字
知识网络
填数字就是根据已知的条件用适当的数字将算式、表格计算补齐,常通过找规律、猜想、拼凑、排除、枚举等方法解答。
重点·难点
(1)数阵图的填写关键是确定各重复点的数,以及每条边上的数的和“k”。
为确定这些数,采用的解题步骤是:
①找出重复点与“k”的关系;②根据关系式确定k的值;③通过关系式确定出各重复点的值,试填求解。
(2)解除法算式谜时,确定除数和商是关键。
填算式时,两数相乘的积的尾数及运算过程中的进位、退位都是解题的突破口。
求除数有时用“估值法”,看除数必大于某数且小于另一数,采用两边夹的方法求出来。
学法指导
(1)如果做题时遇到麻烦,不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换。
另外,做题时要考虑周全。
(2)数字谜的突破口一般在于选择是否进位、退位,算式的首位及个位。
解答时一般要试验多次,注意一定要将所有可能性全部试。
最后请记住一个六位数:
142857,它的神奇之处是:
它与2、3、4、16相乘的积仍是由1、4、2、8、5、7这六个数字组成的六位数。
如142857×2=285714,有些字谜就是根据这个数来编的。
经典例题
[例1]在下面乘法算式的空格内,各填上一个适当的数字,使算式成立。
思路剖析
在这个乘法算式中,关键是把乘数和被乘数中的空格先填出来,其他的空格根据乘法的计算法则就可以填出来了。
为了分析时叙述方便,我们设被乘数是ab5,乘数是1cd(ab5表示百位数字是a,十位数字是b,个位数字是5的三位数),原式变为如下的算式:
由乘法坚式可以看出,第一部分积2□□5=2□75,由于它的个位数字是5,所以d只能取奇数,但不能是1(是1的话,第一部分积就该是ab5了),即d可能是3、5、7、9,由第二部分乘积13□0的个位数字是0可知c只能取偶数,即C可能是2、4、6、8。
由于乘积的最高位数字是4,所以第三部分积□□□的最高位数字只能是2或3,也就是说,a=2或a=3。
(1)如果a=2,那么第一部分积的算式变为
□75,由这个算式可推得d=9,6=7,即275×9=2475,这时求第二部分积的算式为275×c=13□0,经试验可知,无论c取任何数值这个等式都不能成立,这说明a不能取2。
(2)如果a=3,那么求第一部分积的算式变为
×d=2□75,由这个算式可推得d=7,b=2,即325×7=2275,这时求第二部分积中的算式变为325×c=13□0,经试验可知c=4,即325×4=1300。
因此得被乘数ab5=325,乘数1cd=147,这样其余的空格根据竖式乘法法则就很容易填出来了。
解答
[例2]欢、度、国、庆各代表什么不同数时,下面四个算式同时成立。
欢+度×国+庆=11(l)
度×国+庆+欢=11
(2)
国×庆+欢-度=11(3)
庆+欢+度×国=11(4)
思路剖析
首先注意观察这些等式,看看它们有什么关系?
不难看出,第
(1)、
(2)、(4)这三个等式实质是一样的,只是相加的顺序不同而已。
因此要使四个等式同时成立,只要使
(2)、(3)两个等式同时成立就可以了,因此我们只讨论当各个汉字是什么数字时,
(2)、(3)两个等式同时成立(当然也可以讨论
(1)、(3)或(4)、(3)两式),为了讨论方便起见,我们把
(2)、(3)两个等式化简,由于
(2)、(3)这两个等式都等于11,所以有:
度×国=庆+欢=国×庆+次-度
把上面等式的两边同减去“欢”,可得
度+国+庆=国×庆-度
根据加减法逆运算关系,可得
度×国+度=国×庆-庆
据运算性质可得
度×(国+l)=庆×(国-1)(5)
试验求解:
由(5)式可以看出“国”字是个关键,所以我们先把“国”字的取值范围估算出来,然后在此基础上再来试验确定各个汉字所代表的数字。
由(5)式明显看出:
国≠0。
由
(2)、(3)式可看出国<5,这是因为,当国≥5时其他几个汉字将无值可取。
例如,如果国=5,那么度、庆只能一个是1,一个是2。
当度=l时,庆只有取2,由
(2)式可得1×5+2+欢=11,则欢=4,代入(3)式有5×2+4-l=13≠11。
不合题意,故国≠5。
下面试验,各个汉字应该是什么数字:
如果国=1,那么由(5)式可知:
度=0,由
(2)式可得,庆+欢=11,所以有庆=2,欢=9;庆=9,欢=2;庆=3,欢=8;庆=8,欢=3;…共有8个解。
如果国=2,那么由(5)式可得:
度×3=庆,且度<4
当度=1时,由上式可推得庆=3,代人
(2)式得l×2+3+欢=11,则有欢=6,找到一个解。
当度=2时,与国=2重复,不行。
当度=3时,由度×3=庆,可知庆=9,代入
(2)式得3×2+9+欢=11,欢无值可取,无解。
如果国=3,那么由(5)式可得:
度×2=庆,且度<3
当度=l时,由度×2=庆,可得庆=2,代入
(2)式得欢=6,找到一个解。
当度=2时,由度×2=庆可得庆=4,代入
(2)式得欢=l,又得一个解。
如果国=4,那么由(5)式可得:
度×5=庆×3
这个等式只有当度=3、庆=5时才成立,代入
(2)式得3×4+5+欢=11,“欢”无值可取,无解。
综上可知这道题有11个解。
解答
国=l,度=0,庆=2,欢=9;
国=1,度=0,庆=9,欢=2;
国=l,度=0,庆=3,欢=8;
国=1,度=0,庆=8,欢=3;
国=l,度=0,庆=4,欢=7;
国=1,度=0,庆=7,欢=4;
国=l,度=0,庆=5,欢=6;
国=1,度=0,庆=6,欢=5;
国=2,度=l,庆=3,欢=6;
国=3,度=1,庆=2,欢=6;
国=3,度=2,庆=4,欢=1。
[例3]下列各题中的每一个汉字都代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字,当它们各表示什么数字时,以下各算式都成立?
解答
(1)得数1993,十位是9。
而“加”+“加”的和一定是偶数,所以个位数可能向十位进1或进3。
若个位向十位进3,“加”可能是3或8,当“加”为8时,“加”+鞭×3应为33,而(33-8)÷3除不尽,所以“加”不可能是8,又,若“加”是3,则3+鞭×3最大只可能等于30,小于33,所以“加”也不可能是3,由此可见,个位不可能向十位进3,而一定向十位进1,则:
“加”可能是(9-1)÷2=4,或(19-l)÷2=9,若“加”是4,则马=9,快=l,鞭=(13-4)÷3=3,经检验,符合题意,若“加”是9。
“鞭”应等于(13-9)÷3,结果除不尽,所以“加”不可能是9,所以要求本题惟一的解是:
(2)由3个“旦”相加的和的个数是4,可知旦=8。
又由8×3=24,向十位进了2,现在十位数字是9,可知元+元+元和的个位是9-2=7,元×3=27,则元=9;
9×3+2=29,十位又向百位进2,现百位数字是9,可知庆+祝=7;
又因为百位不可能向千位进了数
所以庆=l,祝=6
本题的解是:
[例4]10月1日是国庆节,图1是“10、l”两个数,请把l~18这十八个数填入图中十八个空格内,要使每一横划与竖划上所填的数的和相等。
图1
思路剖析
这个数阵图共有6划,中间“0”的四个顶点上的数,与每个笔划上所填数的和是关键。
我们设四个顶点上的数分别是a、b、c、d(如图2所示),每个笔划上所填数的和都是k。
图2
可以得出:
6k=(l+2+3++…+18)+(a+b+c+d)
6k=171+a+b+c+d
得k=(171+a+b+c+d)÷6(l)
a+b+c+d=6k-171
(2)
当a+b+c+d取得最小值10时,由(l)式可得k=(171+10)÷6≈30.16,所以k的最小值大于30;当a+b+c+d取得最大值66时,k=(171+66)÷6=39.5,所以k的最大值等于39,因此k=31,32,33,…,39。
解答
由上面分析可知此题的解很多,我们只举其中的两解如下:
(1)当k=34时,由
(2)式可得a+b+c+d=6×34-171=33。
因为,6+8+9+10=33,经试验可知,当a=6、b=8、c=9、d=10时,可得一个基本解。
(2)当k=35时,由
(2)式可得a+b+c+d=6×35-171=39。
因为5+6+12+16=39。
经试验可知当a=5,b=6,c=12,d=16时,可得一个基本解。
此题两个基本解如图3和图4所示。
[例5]请找出6个不同的自然数,分别填入下面的方框中,使下面的等式成立。
思路剖析
本题的解答方法很多,要写出所有解答不是一件容易的事,但只求一组解并不困难,下面仅列三种解答方法。
解答
☆解法一:
因为
=
=
=
=
=
所以
☆解法二:
我们注意到
,在这个等式两边同除以3就得
,因为
即
所以
☆解法三:
我们在计算分数加减法时,运用到了一个拆分公式:
,
,可以很容易地把任一个单位分数写成另两个单位分数的和。
所以
=
=
=
=
即;
[例6]在下面的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用适当的数字代替字母使加法坚式成立。
思路剖析
先看竖式的个位。
由Y+N+N=Y得Y+0或Y+10推知N要么是0,要么是5。
如果N=5,那么要向上进位,由坚式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10,则E=4.5不行,所以N≠5,N=0。
此时,由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10,E不是0就是5,但是N=0,所以E=5。
和的千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同,说明百位、千位加法都要向上进位。
因为N=0,所以I≠0,推知I=1,O=9,说明百位加法向千位进2。
再看竖式的百位加法。
因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且X≠0或1,所以B+T+T+1≥22再由R、T都不等于9知,T只能是7或8。
若T=7,则R=8,X=3,这时只剩下数字2、4、6没有用过,而S只比F大1,S、F不可能是2、4、6中的数,矛盾。
所以T=8,则R只能取6或7。
R=6时,X=3,这时只剩下2、4、7,同上理由,出现矛盾;R=7时,X=4,剩下数字2、3、6可取F=2,S=3,Y=6。
解答
由上述分析可知所求竖式为:
点津
解这类题目,要找准突破口,还要整体综合研究,不能想一步填一个数。
这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题,坚式中从上到下的四个词分别是40、10、10、60,而40+10+10正好是60,真是巧极了!
[例7]不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
下列算式中的汉字各代表什么数字时,算式成立。
思路剖析
从积的位数上看,积仍是五位数,说明“我=l”,那么“学”可能是5、6、7、8、9。
如果“学”=5,从积的个位看,“数”也是5,与题意不符。
如果“学”=6,从个位开始分析:
“数”=0,“爱”=3,“热”=5,“们”=6,与“学”重复。
如果“学”=7,从个位开始分析:
“数”=5,“爱”=8,“热”=2,“们”=4,符合题意。
如果“学”=8,从个位开始分析:
“数”=0,“爱”=4,“热”=0,与“数”重复。
如果“学”=9,“数”=5,“爱”=9,与“学”重复。
解答
由上述分析可得
即:
我=1们=4热=2
爱=8数=5学=7
发散思维训练
1.在图5的7个圆圈内各填一个数,要求每一条直线上的三个数中,中间的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么x是多少?
2.在下列竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替字母,使坚式成立。
3.下面等式中每一个汉字代表一个数字,相同汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,请你写出各汉字代表的数字。
参考答案
发散思维训练
1.解:
将题中余下的四个圆圈分别标上A、B、C、D,如答图l。
依题意可知:
D=(l3+17)÷2=15
C是A和D的平均数,也是B和17的平均数,所以:
A+D=B+17,即A+15=B+17,也就是说,A比B大2,而B是A和13的平均数,所以,B=13+2=15,A=17,D=15,C=(A+D)÷2=16,x=19。
2.解:
(1)由百位加法知,A=B+l;再由十位加法A+C=B+10,推知C=9,进而得到A=5,B=4(见式①)。
(2)由千位加法知B=A-l,再由个位减法知C=9。
因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1,所以百位减法是
(l0+B-l)-A=A
化简为9+B=2A,将B=A-1代入,得A=8,B=7(见式②)。
3.解:
(1)兵=5、炮=2、马=4、卒=0、车=l
(2)祖=l、冲=2、之=3、杯=4、数=6、学=7、竞=8、赛=9
(3)扬=l、子=7、晚=6、报=2
(4)喜=l、欢=3、惊=9
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