六年级数学思维能力拓展专题突破系列一数论专题中.docx
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六年级数学思维能力拓展专题突破系列一数论专题中
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------奇偶问题
(一)
熟练解翻硬币问题与求和问题
1.翻硬币问题如何解?
2.求和问题如何解?
3.写出规范简洁的解答过程
例题1:
有三枚五分硬币,国徽面朝上放桌上,规定每次必定翻两枚,若干次之后,能否全部变为国徽面朝下?
例题2:
桌上放有77枚正面朝下的硬币,第1次翻动77枚,第2次翻动其中的76枚,第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚。
按这样的方法翻动硬币,能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上?
说明你的理由。
例题3:
小华买了一本共有96张练习纸的练习本,并依次将它的各面编号(1~192)。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸,并将写在它们上面的50个编号相加。
试问,小丽所加得的和数能否为2000?
例题4:
有98个孩子,每人胸前有一个号码,号码从1到98各不相同。
试问:
能否将这些孩子排成若干排,使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和?
并说明理由。
(即是课程的课后测试)
1、从三个1、三个3、三个5、三个7、三个9这15个数字中能否选出5个数,使它们的和等于30?
为什么?
2、任意取出1234个连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数?
3、一串数排成一行,它们的规律是:
前两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和。
如下所示:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…试问:
这串数的前100个数(包括第100个数)中,有多少个偶数?
4、能不能将1010写成10个连续自然数之和?
如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。
5、能否将1至25这25个自然数分成若干组,使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?
1、解:
不能。
因为这15个数都是奇数,从中选出5个数,5个奇数的和还是奇数,不可能为30。
2、解:
奇数。
从最小开始两个分一组,可以分成1234÷2=617组,每一组里都是相邻两个数,相邻两个数的和是奇数,617个奇数的和还是奇数。
3、解:
我们找这列数的奇偶性规律。
依次为:
奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、……。
每三个一循环,每个循环里有一个偶数,所以前100个里有33个偶数。
4、解:
不能。
因为任意10个连续自然数,从最小开始每两个分一组,正好分成5组,每组里都是相邻两个数。
而相邻两个数的和是奇数,所以任意10个连续自然数的和等于5个奇数的和,还是奇数。
1010是偶数,所以不可能写成10个连续自然数之和。
5、解:
不能。
因为如果可以,则每一组所有数的和是最大数的2倍,这一组总和是个偶数,若干个偶数的和还是偶数。
而1+2+3+……+25=325是一个奇数,矛盾。
所以不可能。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------奇偶问题
(二)
熟练解奇偶问题及其相关问题
1.什么是奇偶问题?
2.奇偶问题如何与其他知识点相结合?
3.熟悉知识点并能熟练解题
例题1:
设标有A,B,C,D,E,F,G的7盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个开关。
现在A,C,D,G这4盏灯亮着,其余3盏灯没亮。
小华从灯A开始顺次拉动开关,即从A到G,再从A开始顺次拉动开关,他这样拉动了2011次开关后,哪些灯亮着?
例题2:
在黑板上写上1,2,…,2011,只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a,b,并写上a-b(其中a≥b)。
问:
最后黑板上剩下的是奇数还是偶数?
例题3:
俱乐部里只有两种人:
一是老实人,永远说真话;一是骗子,永远说假话。
某天俱乐部全体成员围成一圈,每个老实人两旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人。
外来一人问俱乐部的张三:
“俱乐部共有多少人?
”张三答:
“45人。
”另一个成员李四说:
“张三是老实人。
”李四是老实人还是骗子?
例题4:
现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果,最少要分成多少堆(每堆都有苹果、梨和桔子三种水果),才能保证找得到这样的两堆,把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数?
(即是课程的课后测试)
1、有20个1升的容器,分别盛有1,2,3,…,20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)。
问:
在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水?
2、围棋盘上有19×19个交叉点,现在放满了黑子与白子,且黑子与白子相间地放,并使黑子(或白子)的上、下、左、右的交叉点上放着白子(或黑子)。
问:
能否把黑子全移到原来的白子的位置上,而白子也全移到原来黑子的位置上?
3、某市五年级99名同学参加数学竞赛,竞赛题共30道,评分标准是基础分15分,答对一道加5分,不答记1分,答错一道倒扣1分。
问:
所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数?
4、任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数,原三位数与新三位数之和能否等于999?
5、有30枚2分硬币和8枚5分硬币,5角以内共有49种不同的币值,哪几种币值不能由上面38枚硬币组成?
1、解:
不可能。
首先,A倒给B后B中水必定是偶数立方厘米,所以B不可能是11立方厘米。
另外,有11立方厘米水的容器只能由原来装着大于或者等于11立方厘米水的容器倒掉多余部分得来,比如A是12立方厘米水的容器而B是1立方厘米水的容器,A倒1立方厘米水给B得到。
但是大于或者等于11立方厘米的只有10个,所以不可能有11个容器中各有11立方厘米。
2、
解:
不能。
因为19×19=361,所以要么黑子比白子多一个,要么白子比黑子多一个,
不可能把黑子全移到原来的白子的位置上,同时白子也全移到原来黑子的位置上。
3、解:
奇数。
30题全答对得15+5×30=165分是奇数,答错一道就总分减去6分,不答一道就总分减去4分,无论怎样,总分必定是奇数。
99个奇数的和还是奇数。
4、解:
不能。
两数和为999,各位数相加时必定没有向上进位,又因为新三位数与原三位数只是三个数字的排列顺序不同,所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数,而9+9+9=27是奇数,矛盾。
5、解:
当币值为偶数时,可以用若干枚2分硬币组成;
当币值为奇数时,除1分和3分这两种币值外,其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成,所以5角以下的不同币值,只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------完全平方数
掌握完全平方数性质并能熟练解题
1.完全平方数分解质因数有什么特点?
2.完全平方数约数个数有什么特点?
3.熟练应用性质解题
例题1:
一个三位数是个完全平方数,它的前两位数也是完全平方数,个位也是完全平方数,符合条件的全部三位数的和是多少?
例题2:
一个非零自然数与2940的积是完全平方数,那么这个数最小是多少?
例题3:
在1到2007之间的自然数中,恰有奇数个约数的数的总和是多少?
例题4:
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
例题5:
有一个自然数,它与168的和恰好等于某个数的平方;它与100的和恰好等于另一个数
的平方,这个数是多少?
(即是课程的课后测试)
1、自然数N是一个两位数,它是一个完全平方数,且N的个位数字与十位数字都是完全平方数,这样的自然数有多少个?
2、一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和是一个完全平方数,求这样的两位数。
3、求一个能被180整除的最小完全平方数。
4、一个非零自然数与46305的积是完全平方数,那么这个数最小是多少?
5、一个自然数如果加上60,则为一个完全平方数,如果加上43,则为另一个完全平方数,求这个自然数。
1.解:
(法一)设自然数N为十位和个位分别为a和b,则a只能在1、4、9中选,b只能在0、1、4、9中选。
组成的两位数中,是完全平方数的只有一个49。
(法二)两位数的完全平方数有16、25、36、49、64、81,其中,只有49符合题意。
2.解:
设这个两位数的十位和个位数字分别为a和b,则10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)是一个完全平方数,必有a+b等于11、44、99、……;又a+b最多只有9+9=18,所以只能有a+b=11。
这样的两位数有92、83、74、65、56、47、38、29。
3.解:
由
,这个完全平方数是180的倍数,分解质因数的次数必定为偶数次,所以至少为180的5倍,即这个最小完全平方数为180×5=900。
4.解:
设此数为a,由
,要使乘积是完全平方数,则乘积的分解质因数形式中每个因数必须为偶数次,这样,a分解质因数后必须至少有一个3、一个5、一个7,所以a最小为3×5×7=105。
5.解:
设这个自然数为a,加上60后得到A的平方,加上43后得到B的平方,则有
,两式相减得
。
又因为17是质数,所以必定有A+B=17,A-B=1,得A=9,B=8,代入得a=21,所以这个数为21。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------位值原理
熟悉位值原理并熟练解题
1.位值原理是什么?
2.一般位值原理如何出题?
如何分情况解决?
3.位值原理证明题一般解题步骤是什么?
例题1:
一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大4,求这个两位数。
例题2:
某三位数是其各位数字之和的23倍,求这个三位数。
例题3:
有一个两位数,如果把数码1加写在它的前面,那么可得到一个三位数,如果把1加写在它的后面,那么也可以得到一个三位数,而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。
例题4:
从1~9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三位数。
若这六个三位数之和是3774,则这六个三位数中最小的可能是几?
最大的可能是几?
例题5:
证明:
一个三位数减去它的各个数位的数字之和后,必能被9整除。
(即是课程的课后测试)
1、求一个三位数,它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍与25之差。
2、有一个三位数,把它的个位数移到百位上,百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数,原三位数的2倍恰好比新三位数大1,求原来的三位数。
3、将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8802。
求原来的四位数。
4、用1,9,8三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少?
5、证明:
一个三位数与它的反序数(数字顺序颠倒)的差,必能被99整除。
1.解:
设这个三位数为
,依题意得
,
即
,得
,因为
。
当a=1时,非整数解;当a=2时,b=7,c=5。
综上知,这个三位数为275。
2.解:
设这个三位数为
,依题意得
,
即
,得190a+19b=98c+1,左边是19的倍数,所以右边也是19的倍数,得c=6,代入得a=3,b=1,所以原来三位数是316。
3.解:
设原来四位数为
,依题意得
,得
999d+90c=90b+999a+8802,即111d+10c=10b+111a+978,因为111d+10c最多为999+90=1089,a最少为1,所以a=1,此时111a+978=1089,所以b只能等于0。
这样,a=1,b=0,c=d=9,得原来四位数为1099。
4.解:
1、9、8组成的六个不同三位数为189、198、819、891、918、981,我们发现,
1在个位、十位、百位分别出现两次,8、9也是如此,所以这六个三位数的总和为222×(1+9+8),它们的平均数为222×(1+9+8)÷6=222×18÷6=666。
5.
解:
设这个三位数为
,则它与反序数的差(不妨设a>c)
为
是99的倍数,必能被99整除。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------整数分拆
(一)
掌握整数分拆使乘积最大的方法
1.整数分拆的最大最小问题怎么解?
2.如何确定分拆范围并有序枚举?
3.通过例题熟练掌握解题方法。
例题1:
把50分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能大,那么这个最大的质数是几?
例题2:
将15分拆成不大于9的三个不同的非零自然数之和有多少种不同分拆方式,请一一列出。
例题3:
100这个数最多能写成多少个不同的非零自然数之和?
例题4:
一个自然数,可以分拆成3个连续自然数之和,也可以分拆成4个连续自然数之和,还可以分拆成7个连续自然数之和。
这个自然数最小是几?
例题5:
一个自然数,可以分拆成9个连续自然数之和,也可以分拆成10个连续自然数之和,还可以分拆成11个连续自然数之和。
这个自然数最小是几?
(即是课程的课后测试)
1、有多少种方法可以把1994表示为两个非零自然数之和?
2、将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有多少种不同的做法?
其中面积最大的是哪一种长方形?
3、100这个数最多能写成多少个不同的非零自然数之和?
4、一个自然数,可以分拆成5个连续自然数之和,也可以分拆成6个连续自然数之和,还可以分拆成7个连续自然数之和。
这个自然数最小是几?
5、一个自然数,可以分拆成7个连续自然数之和,也可以分拆成8个连续自然数之和,还可以分拆成9个连续自然数之和。
这个自然数最小是几?
1.解:
1994=1993+1=1992+2=1991+3=1990+4=……=998+996=997+997,共有997种不同表示方法。
2.解:
长+宽=144÷2=72厘米,72=71+1=70+2=69+3=……=37+35=36+36,所以共有36种不同做法。
又根据和一定,差小积大,当长=宽=36厘米,即是正方形时面积最大。
3.解:
要让100写成尽量多的不同的非零自然数之和,就要让这些数尽量小,我们从最小开始考虑。
因为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105,所以最多只能写成13个不同的非零自然数之和。
4.解:
可以分拆成5个连续自然数之和,表示这个数就是5个数中间那个数的5倍,所以它是5的倍数,同理可以分拆成7个连续自然数之和,表示这个数是7的倍数。
还可以分拆成6个连续自然数之和,说明这个数是首尾两个数和的3倍,所以它还是3的倍数。
综上,这个数是3、5、7的倍数,最小为105。
5.解:
同上一题,可以分拆成7个连续自然数之和,也可以分拆成8个连续自然数之和,还可以分拆成9个连续自然数之和,表示这个数是7、4、9的倍数,最小为252。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------整数分拆
(二)
掌握整数分拆使乘积最大的方法
1.整数分拆的最大最小问题怎么解?
2.如何确定分拆范围并有序枚举?
3.通过例题熟练掌握解题方法
例题1:
1)试把14分拆为两个自然数之和,使它们的乘积最大?
2)把14分拆成若干个自然数的和,使得到的乘积最大,这个最大的乘积是多少?
例题2:
将2011分拆成若干个自然数的和,使这些数的乘积最大,则这个最大的乘积是多少?
例题3:
把17分拆成若干个质数之和,这些质数的连乘积最大是多少?
例题4:
试把21分拆为两个不同自然数之和,使它们的乘积最大,这个最大乘积是多少?
(即是课程的课后测试)
1、将1997分拆成若干个自然数的和,使这些数的乘积最大,则这个最大的乘积是多少?
2、将2011分拆成若干个质数的和,这些质数的连乘积最大是多少?
3、试把31分拆为两个不同自然数之和,使它们的乘积最大,这个最大乘积是多少。
4、试把32分拆为两个不同质数之和,使它们的乘积最大,这个最大乘积是多少?
5、有一把长度为9厘米却没有刻度的尺子,能否在上面画3条刻度线,使得这把尺子可以直接测量出1~9厘米的所有整厘米长度?
1.解:
,所以拆成665个3,1个2的和,最大乘积为
。
2.解:
,所以拆成669个3,2个2的和,最大乘积为
。
3.解:
和一定,差小积大,所以拆成15+16=31,最大乘积为15×16=240。
4.解:
和一定,差小积大,32=16+16=15+17=14+18=13+19,所以拆成13+19=32,最大乘积为13×19=247。
5.解:
可以。
如图,画出A、B、C三条
刻度线,便可直接测量出1~9厘米的所有整厘米长度。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------数论方法综合
(一)
掌握整数的各种表示法和枚举法
1.什么是整数的各种表示法?
2.什么是枚举法?
一般如何枚举?
3.熟练运用方法解题。
例题1:
红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片按红黄白蓝顺序放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998。
问:
红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?
例题2:
如果N是1,2,3,…,1998,1999,2000的最小公倍数,那么N等于多少个2与某个奇数的积?
例题3:
求自然数N,使得它能被5和49整除,并且包括1和N在内,它共有10个约数?
例题4:
求这样的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和?
(即是课程的课后测试)
1、红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片按红黄白蓝顺序放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1908。
问:
红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?
2、如果N是1,2,3,…,4998,4999,5000的最小公倍数,那么N等于多少个2与某个奇数的积?
3、如果N是2010,2011,2012,2013,…,4998,4999,5000的最小公倍数,那么N等于多少个2与某个奇数的积?
4、求自然数N,使得它能被7和9整除,并且包括1和N在内,它共有9个约数。
5、求自然数N,使得它能被4和9整除,并且包括1和N在内,它共有12个约数。
1.解:
设红黄白蓝上面依次是a,b,c,d,则有1000a+100b+10c+d=10a+10b+10c+10d+1908,则有990a+90b=9d+1908,显然,a=2,所以90b+72=9d,只能有b=0,d=8,所以红、黄、蓝3张卡片上分别是2、0、8。
2.解:
由例题知识,我们只需要知道数列中所有数分解质因数形式中2的最高次数,因为2的12次方等于4096最接近5000,所以N等于12个2与某个奇数的乘积。
3.解:
前面数的减少不影响结果,我们还是只需找2的最高次,由上题知最高次为12次,所以N等于12个2与某个奇数的乘积。
4.解:
显然N分解质因数后得
。
又N的约数有9个,约数个数=(a+1)×(b+1)×……,
。
又9=1×9=3×3,只有9=3×3符合,所以a+1=b+1=3,即N分解质因数只能是
。
5.解:
显然N分解质因数后得
。
又N的约数有12个,约数个数=(a+1)×(b+1)×……,
。
又12=1×12=2×6=3×4,只有12=3×4符合,所以a+1=3,b+1=4,或者a+1=4,b+1=3得N分解质因数为
。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------数论方法综合
(二)
熟练应用归纳法和反证法解相关问题
1.什么是归纳法?
2.什么是反证法?
3.一般怎么出题?
怎么解题?
例题1:
将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下5项工作叫做一次操作:
(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边;
(2)从左到右两位一节组成若干个两位数;
(3)划去这些两位数中的合数;
(4)所剩的两位质数中有相同者,保留左边的一个,其余划去;
(5)所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
问:
经过1999次操作,所得的数字串是什么?
例题2:
有100张的一摞卡片,小强拿着它们,从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作:
把最上面的第一张卡片舍去,把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。
再把原来的第三张卡片舍去,把下一张卡片放在最下面。
反复这样做,直到手中只剩下一张卡片,那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张?
例题3:
是否存在三位数
,使得
?
例题4:
在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。
将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然
数称为一次操作。
问:
你能通过若干次操作使得
表中9个数都变为相同的数吗?
为什么?
(即是课程的课后测试)
1.口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99。
从袋中任意摸出若干张小张片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。
经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是几?
2.黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。
例如,擦掉9和13,要写上21。
经过几次后,黑板上就会只剩下一个数?
这个数是几?
3.在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数,称为一次操作。
问:
最多经过多少次操作,黑板上就会出现2?
4.对任意自然数n作变换:
如果n为奇数,则加上99;如果n为偶数,则除以2。
现在对300连续作这种变换,在变换过程中是否可能出现100?
为什么?
5.如图是一个圆盘,中心轴固定在黑板上。
开始时,圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。
然后转动圆盘,每次可以转动90°的任意整数倍,圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置,将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。
问:
经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是1999?
为什么?
1.解:
1+2+3+……+99=100×99÷2=4950,所以最后剩下的是50。
2.解:
每次擦去两个数,写上这两个数的和减1,所有数的个数少了1,这样,只要6次,就少了6个数,剩下最后一个数。
又因为数每少1个,所有数的总和都少1,所以最后剩一个数是8+9+10+11+12+13+14-6=71。
3.解:
2次。
因为任意自然数N分解质因数得
。
如果a=0,N不是2的倍数,那么,只要一次就出现2;
如果a>0,N是2的倍数,那么,第一次替换的是N的最大质因数的下一个质数,第二次替换的必是2。
4.解:
(法一)不可能。
连续变换如下:
300、150、75、174、87、186、93、192、96、48、24、12、6、3、102、51、150、75、……,出现重复,所以不可能出现100。
(法二)不可能。
因为300是3的倍数,在变换中,不管是加上99还是除以2,都还是3的倍数,所以不可能出现100。
5.解:
不可能。
因为每次总数都加10,若干次后,黑板上的四个数的和必定是10的倍数。
而1999×4=7996不是10的倍数,所以不可能。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列
(一)数论专题(中)
------数论方法综合(三)
熟练用构造法和配对法解相关问题
1.什么是构造法?
2.什么是配对法?
3.一般如何出题?
如何解题?
例题1:
和99!
能否表示成为99个连续的奇自然数之和?
例题2:
从1,2,3,…,999这999个数中,要求划去尽量少的数,使得余下的数中每一个数
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