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计算方法上机实验指导
计算方法上机实验指导
一、非线性方程求解
(一)问题的指岀
二分法
1.方法概要
假泄/(兀)在[么列上连续,<0且/(X)在⑺上)内仅有一实根”取区间中点c,若/(c)=0,则c恰为其根,否则,根据<0是否成立,可判断出根所属的新的有根子区间@,c)或(c,b),为节省内存,仍称其为运算重复进行,直到满足精度要求为止,即Ic-V\ 2.计算框图 Nowton迭代法 1.方法概要 %为初始猜测,则由递推关系 产生逼近解F的迭代序列{无},这个递推公式就是Newton法。 当兀)距F较近时,{兀}很 快收敛于F。 但当X。 选择不当时,会导致{无}发散。 故我们事先规左迭代的最多次数。 若超过这个次数,还不收敛,则停止迭代另选初值。 2.计算框图 (-)目的 掌握二分法与牛顿法的基本原理及应用 (三)要求 1.用二分法计算方程 2 sinx-—=0 2 在(1,2)内的根的近似值 2.用二分法计算方程 x3-x-1=0 在(1,1.5)内的根的近似值(f=0.5xl0-5)e 3•用牛顿法求下列非线性方程的近似根。 1xex-1=0x0=0.5 2x3-x-1=0xQ=1 xQ=0.65 (3)(x-1)2(2x-1)=0x0=0.45 4•用改进的牛顿法 计算方程 的近似根,并与要求3•中的③的结果进行比较。 二、Gauuss列主元消去法 (一)问题的提出 由地一般线性方程组在使用Gauss消去法求解时,从求解过程中可以淸楚地看到,若唸"=0,必须施以行交换的手续,才能使消去过程继续下去。 有时既使“;严工0,但其绝对值很小,由于舍入误差的影响,消去过程也会岀现不稳左现象。 因此,为使这种不稳左现象发生的可能性减至最小,在施行消去过程时每一步都要选主元素,即要寻找行r,使 I瓷“I=m? xl4严I 并将第「行与第k行交换,以使唸的当前值(即°;严)的数值)远大于0。 这种列主元消去法的主要步骤如下: 1.消元过程 对做 1°选主元,记 1“m? xIaikI i>k 若钮=0,说明方程组系数矩阵奇异,则停止计算,否则进行2。 。 2°交换A(增广矩阵)的厂北两行元素 3°计算 I=&+1,・••,〃 2.回代过程 对£=仏〃一1,・・・,2,1,计算 n Xk一工咛丿%) j“一l 其计算框图如下: (-)目的 1.熟悉Gauss列主元消去法,编出实用程序。 2.认识选主元技术的重要性。 3.明确对于哪些系数矩阵A,在求解过程中不需使用选主元技术。 (三)要求 1.编制程序,用Gauss列主元消去法求解线性方程组Ax=b,并打印结果,其中 10」 2 3 T (1) A= -1 3.712 4.623 b= 2 -2 1.072 5.643 _3_ '4 -24_ _10 (2) A= -2 1710 9 b= 3 -4 109 -7 2.与不选主元的Gauss消去法结果比较并分析原因。 三、Runge现象的产生和克服 (一)问题的提出 在给圧“+1个插值巧点和相应的函数值以后构造"次插值多项式的方法。 从余项的表达式看岀,插值多项式与被插函数逼近的程度是同分点的数目及位宜有关的。 能不能说,分点越多,插值多项式对函数的逼近程度越好呢? 答案是否立的,在本世纪初Runge指出了这种多项式插值的缺点。 什么是Runge现象呢? 例: 给定函数 /(a)=—-1 1+25x2 2 取等距节点兀=-1+—/(/=0,1,…,10),试建立插值多项式如(“),并研究它与/(X)的误差。 插值多项式的次数为10,用拉格朗日插值公式有 10 r-0 其中 fg=1+25x; x: =—1iy,=0丄・・・」() 10 ! (羽=(—勺”心_和)(—和).・心_心) U一兀)・・・(舛一兀_])(兀一兀+|)・・・(兀-x10) 画出它们的图形,从图中可以看出,在[-0・20,0]区间内血⑴能较好地逼近/(x), 但在英他部分九/兀)与/(X)的差异较大,越靠近端点,逼近的效果越差。 事实上可以证明, 对一这个函数在[-L1]区间内用料+1个等距节点作插值多项式如>(X),当“Too时 \+25x~ 血(Q只能在lxl<0.73内收敛,而在这个区间之外是发散的,这一现象称为Runge现象。 从上而例子看到,在区间上给定等距插值肖点,过这些插值肖点作拉格朗日插值多项式,节点不断加密时,构造的插值多项式的次数也不断提高,但是,尽管被插值函数是连续的,髙次插值多项式也不一立收敛到相应的被插值函数。 解决Runge现象有分段线性插值,三次样条插值等方法。 分段线性插值: 设在区间[么切上,给定幵+1插值节点 Q=X。 V召< 和相应的函数值儿,)1,…,儿,求作一个插值函数0(x),具有下面性质: ⑴(Kxj)=yi>)=0,1,2, (2)0(x)在每个小区间|形,竹+J上是线性函数。 插值函数0(X)叫做区间上对数据(兀,X)(/=0,1,…,仍的分段线性插值函数。 三次样条插值 给定区间[么切一个分划 △: a=x0<<••• 若函数S(x)满足下述两条件: 1)S(x)在每个小区间[形十号]0=1,2,…,N)上是3次多项式。 2)S(x)及其直到2阶导数在00]连续。 则称S(x)是关于分划△的三次样条函数。 (-)目的 1.深刻认识多项式插值的缺点; 2.明确插值的不收敛性怎样克服: 3. 明确精度与节点、插值方法的关系。 用如下插值方法如何克服Runge现象 1.用多项式插值计算出下列插值 SN(0),Sn(0・06+0」灯,S”(-0・06-0」灯 k=0丄…,9,观察是否会产生Runge现象。 2.用下列方法进行计算,并且比较它们克服Runge现象的效果。 (1)分段线性插值 (2)三次样条函数插值 (一),条件为: $“比)=/(®),丿=1,…,N+1 S;,(兀)=八勺),心1,…,N+1 (3)三次样条函数插值 (二),条件为 S心)*(勺),)=1,…,N—1 )=/©),心1,…,N-1 3.编程序,打印结果分析。 (1)编写讣算程序,调试计算,比较每种插值在插值点上与精确值的误差是多少。 (2)同一种插值法,当节点增多时,精度怎样? (3)打印程序、结果,写出实验报告。 四、多项式最小二乘法 (一)问题的提岀 对于给泄的测量数据(兀,/)(: =1,2,…,仍设函数分布为m y(x)=^aj(pi(x) J-O 特別地,取%(X)为多项式形式(pj(x)=xJ)=0,1,2,…,加 则根据最小二乘原理,可构造泛函 H(如5,©J=£(/-faj(pj(A;))2 r-1;-(> 则可得到法方程 工工勺(兀)仇(召)幻=工/久(舌)j-0/-IJ-1 k=0丄2,…,〃z 求解该方程组,则可得到解血,®,©,…,",“,因此可得到数据的最小二乘解 m /⑴吃叽3 J-0 (-)目的 1.学习使用最小二乘原理 2.了解法方程的特性 (三)要求 用最小二乘方法处理实验数据。 3 4 5 6 7 8 9 2.01 2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05 并作岀/(X)的近似分布图。 五、龙贝格积分法 (一)问题的提出 考虑积分 (复化)梯形公式 欲求其近似值,可以采用如下公式: M)/ E=-^h2r(n) 94514丿 /⑹(“) 这里,梯形公式显得算法简单,具有如下递推关系 因此,很容易实现从低阶的il•算结果推算出髙阶的近似值,而只需要花费较少的附加函数汁 算。 但是,由于梯形公式收敛阶较低,收敛速度缓慢。 所以,如何提髙收敛速度,自然是人 们极为关心的课题。 为此,记为将区间进行2*等份的复化梯形积分结果,G为 将区间[仏〃]进行2#等份的复化辛卜生积分结果.兀点为将区间[么切进行2*等份的复化柯 特斯积分结果。 根据李查逊(Richardson)外推加速方法,可得到 *=0丄2, 、加=0丄2,•: 可以证明,如果/(X)充分光滑,则有lim7;,„=/(/)S固尬) lim? ;』=/(/) 〃IT0C 这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式,我们称为龙贝格积分法。 该方法的讣算可按下表进行 ^0.0兀1兀2… 兀0^1.1…GlI 兀0…丁2眄2 很明显,龙贝格计算过程在计算机上实现时,只需开辟一个一维数组,即每次计算的结果Tmk,可存放在位置上,其最终结果7;0是存放在兀0位置上•具体的讣算过程为: 1.准备初值,计算 且k—0(£为等份次数) 2.按梯形公式的递推关系,计算 3. 按龙贝格公式讣算加速值 4.精度控制。 对给左的精度若 I几.0-几-1.01<£ 则终止计算,并取T()s<^Tms作为所求结果: 否则心小,重复2~4步,直到满足精度为止。 (-)目的 1•理解和掌握龙贝格积分法的原理: 2.学会使用龙贝格积分法: 3.明确龙贝格积分法的收敛速度及应用时容易岀现的问题。 (三)要求 1.用龙贝格积分法计算下列积分的近似值 (1)f1K)x3Jx: (2)[3巴-丄dx: (3)f'sinx2Jx J6JOxJ0 2.打印龙贝格积分法的函数表,使积分结果更加淸楚。 3.分析所出现的问题并加以讨论。 六、常微分方程初值问题的数值解法 (一)问题的提出 一阶常微分方程初值问题 dy、 (6.1) 〒=/g)dx 丿(儿)=儿 的数值解法是近似计算中很重要的部分。 常微分方程初值问题的数值解法是求方程(6.1)的解在点列x”(“=0,1,…) 上的近似值儿,这里儿是X心到兀的步长,一般略去下标记为爪 常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类: (1)单步法: 这类方法在计算儿时,只用到“+1、X”和儿,即前一步的值。 因此,在有了初值以后就可以逐步往下计算。 典型方法如龙格-库塔(R-K)方法。 (2)多步法: 这类方法在计算儿』时,除用到忑小、尤”和儿以外,还要用Xlp(P=1,2,>0),即前而k步的值。 典型方法如Adams方法。 经典的R-K方法是一个四阶的方法,它的计•算公式是: 儿+严儿+£闪+2©+2心+心) &=f(xn9儿) 'K厂心+£,儿+级)(6.2) ^3=f(Xn+~>儿+亍《2) K4=f(xn+h,儿+/1K3) R-K方法的优点是: 单步法、精度髙.计算过程便于改变步长,缺点是il•算量较大.每前进一步需要计算四次函数值/o 四阶Adams预测-校正方法是一个线性多步法,它是由Adams显式公式和隐式公式组成,计算公式是: 预测 陥严儿+£(5%一59九+37仁-9是) 人+]=/(如+1,元+J(6.3) 校正 h— 儿+i=yn+方(9£+i+19£一5£_]+/,_2)仁儿利) 它的局部截断误差是-儿°=0(斥)。 利用Adams显式和隐式公式具有同阶截断误 差但系数不同的特点,将截断误差以预测值和校正值来表示,在预测和校正公式中分别以它们各自的截断误差来进行补足,可期望使精度进一步得到改善。 用几和C.分别表示第"步儿的预测值和校正值,修正后的预测-校正公式为: 预测 屜严儿+召(55£-59九+37耳2- 修正 251、 叽-1治+価(5几) 求/ "爲=/(£+】,叫+J(64) 校正 G+严儿+£(%爲+19£—5九+九_2) 修正 .19 A/r+i5+1270几-J 求导 冗+】=/(兀十儿+J 由于开始无预测值和校正值可以利用,故令几=5=0,以后就按上而步预计算。 此方法的优点是: 可以节省计算量(与R-K方法相比减少了函数/的计算次数): 缺点是: 它不是自开始的.需要先知道前而四个点的值几,儿,儿,儿,因此,它不能独立使用。 另外,它也不便于改变步长。 (-)目的和意义 通过实便,编写程序上机汁算,使得对常微分方程初值问题的数值解法有更深的理解,掌握单步法和线性多步法是如何进行实际计算的及两类方法的适用范囤和优缺点,特別是对这两类方法中最有代表性的方法: R-K方法和Adams方法及预测-校正方法有更好的理解。 通过这两种方法的配合使用,掌握不同方法如何配合在一起,解决实际问题。 (三)实际计算例题 1.初值问题 yf=x2-y2 V丿,(-l ly(-D=o 取步长A=0.1,il算在[70]上的数值解。 2.初值问题: 2x y_y_— .y(o)=i 取步长人=0.1,计算在[0,1.5]上的数值解。 (四)要求 1.求解所给的实际计算例题,先用R-K公式(6.2)计算儿,),2,儿,然后用修正的 Adams预测-校正公式(6.4)计算其余点上值。 2.编写讣算程序,调试计算。 分析汁算结果是否合理、准确,并把解析解求出,与数 值解相比较。 要求结果保留五位小数。 3.打印程序、结果,写出实验报告。 4.把上面的计算方案应用到苴它的线性多步法上,写出il•算方案。
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