版新高考数学节随机事件的概率含答案.docx
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版新高考数学节随机事件的概率含答案
教学资料范本
2021版新高考数学:
节随机事件的概率含答案
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第三节 随机事件的概率
[考点要求] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
(对应学生用书第190页)
1.事件的相关概念
2.频率与概率的关系
在相同的条件下、大量重复进行同一试验时、随机事件A发生的频率fn(A)=
会在某个常数附近摆动、则把这个常数记作P(A)、称为事件A的概率、简称为A的概率.
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生、则事件B一定发生、这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等事件
若B⊇A、且A⊇B、则称事件A与事件B相等
A=B
并(和)事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生、则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交(积)事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生、则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件、则称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件、A∪B为必然事件、那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅且A∪B=U(U为全集)
3.事件的关系与运算
4.概率的基本性质
(1)任何事件A的概率都在[0、1]内、即0≤P(A)≤1、不可能事件的概率为0、必然事件Ω的概率为1.
(2)如果事件A、B互斥、则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(3)事件A与它的对立事件
的概率满足P(A)+P(
)=1.
如果事件A1、A2、…、An两两互斥、则称这n个事件互斥、其概率有如下公式:
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
一、思考辨析(正确的打“√”、错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量重复试验中、概率是频率的稳定值.( )
(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生.( )
(4)对立事件一定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1.一个人打靶时连续射击两次、事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶D.两次都不中靶
D [“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.]
2.容量为20的样本数据、分组后的频数如下表:
分组
[10、20)
[20、30)
[30、40)
[40、50)
[50、60)
[60、70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10、40)的频率为( )
A.0.35B.0.45
C.0.55D.0.65
B [由表知[10、40)的频数为2+3+4=9、
所以样本数据落在区间[10、40)的频率为
=0.45.]
3.如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张、取到黑桃的概率是
、取到梅花的概率是
、则取到红色牌的概率是________.
[P=1-(
+
)=
.]
4.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数).
0.5173 [男婴出生的频率依次约是:
0.5200、0.5173、0.5173、0.5173.由于这些频率非常接近0.5173、因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.]
(对应学生用书第191页)
考点1 事件关系的判断
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法:
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断、不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件、若有且仅有一个发生、则这两事件为对立事件、对立事件一定是互斥事件.
(2)集合法:
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集、则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合、是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球、以下给出了四组事件:
①至少有1个白球与至少有1个黄球;
②至少有1个黄球与都是黄球;
③恰有1个白球与恰有1个黄球;
④恰有1个白球与都是黄球.
其中互斥而不对立的事件共有( )
A.0组 B.1组
C.2组D.3组
B [①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生、如恰有1个白球和1个黄球、①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球、则两个事件不互斥.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”、都是指有1个白球和1个黄球、因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生、也可能都不发生、因此两事件是互斥事件、但不是对立事件、故选B.]
2.在5张电话卡中、有3张移动卡和2张联通卡、从中任取2张、若事件“2张全是移动卡”的概率是
、那么概率是
的事件是( )
A.至多有一张移动卡
B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡
D.至少有一张移动卡
A [“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡、一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件、它是“2张全是移动卡”的对立事件.]
判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系、可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件、然后再借助定义做出判断.
考点2 随机事件的频率与概率
1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度、频率是随机的、而概率是一个确定的值、通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小、有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率、即通过大量的重复试验、事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数、这个常数就是概率.
(20xx·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶、每天进货量相同、进货成本每瓶4元、售价每瓶6元、未售出的酸奶降价处理、以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验、每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25、需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20、25)、需求量为300瓶;如果最高气温低于20、需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划、统计了前三年六月份各天的最高气温数据、得下面的频数分布表:
最高气温
[10、15)
[15、20)
[20、25)
[25、30)
[30、35)
[35、40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时、写出Y的所有可能值、并估计Y大于零的概率.
[解]
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶、当且仅当最高气温低于25、由表格数据知、最高气温低于25的频率为
=0.6、所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时、
若最高气温不低于25、则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20、25)、则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20、则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.
所以、Y的所有可能值为900、300、-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20、由表格数据知、最高气温不低于20的频率为
=0.8、因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
求解本题第
(2)问的关键是读懂题设条件、并从中提取信息、明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系.
[教师备选例题]
(20xx·北京高考)改革开放以来、人们的支付方式发生了巨大转变.近年来、移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A、B两种移动支付方式的使用情况、从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人、发现样本中A、B两种支付方式都不使用的有5人、样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额
支付方式
不大于20xx元
大于20xx元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数;
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人、求该学生上个月支付金额大于20xx元的概率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人、发现他本月的支付金额大于20xx元.结合
(2)的结果、能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于20xx元的人数有变化?
说明理由.
[解]
(1)由题知、样本中仅使用A的学生有27+3=30人、
仅使用B的学生有24+1=25人、
A、B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A、B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
估计该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为
×1000=400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人、该学生上个月的支付金额大于20xx元”、则P(C)=
=0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人、该学生本月的支付金额大于20xx元”.
假设样本仅使用B的学生中、本月支付金额大于20xx元的人数没有变化、
则由
(2)知、P(E)=0.04.
答案示例1:
可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小、概率比较小的事件一般不容易发生、
一旦发生、就有理由认为本月支付金额大于20xx元的人数发生了变化、
所以可以认为有变化.
答案示例2:
无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件、P(E)比较小、一般不容易发生、但还是有可能发生的、
所以无法确定有没有变化.
1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮、有人送来米1534石、验得米内夹谷、抽样取米一把、数得254粒内夹谷28粒、则这批米内夹谷约为( )
A.134石B.169石
C.338石D.1365石
B [
×1534≈169(石).]
2.(20xx·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:
元)、继续购买该险种的投保人称为续保人、续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况、得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”、求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”、求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
[解]
(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知、一年内出险次数小于2的频率为
=0.55、故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知、一年内出险次数大于1且小于4的频率为
=0.3、故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.
因此、续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
考点3 互斥事件与对立事件的概率
复杂事件的概率的2种求法
(1)直接求法、将所求事件分解为一些彼此互斥的事件、运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接求法、先求此事件的对立事件的概率、再用公式P(A)=1-P(
)求解(正难则反)、特别是“至多”“至少”型题目、用间接求法就比较简便.
(1)(20xx·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45、既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15、则不用现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4
C.0.6D.0.7
(2)某商场有奖销售中、购满100元商品得1张奖券、多购多得.1000张奖券为一个开奖单位、设特等奖1个、一等奖10个、二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C、求:
①P(A)、P(B)、P(C);
②1张奖券的中奖概率;
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
(1)B [由题意知不用现金支付的概率为1-0.45-0.15=0.4.]
(2)[解] ①P(A)=
、P(B)=
=
、P(C)=
=
.
故事件A、B、C的概率分别为
、
、
.
②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M、则M=A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥、
∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=
=
、
故1张奖券的中奖概率约为
.
③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N、则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件、
∴P(N)=1-P(A∪B)=1-
=
、
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
.
求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系、以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
[教师备选例题]
一盒中装有12个球、其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球、求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
[解] 法一:
(利用互斥事件求概率)
记事件A1={任取1球为红球}、A2={任取1球为黑球}、
A3={任取1球为白球}、A4={任取1球为绿球}、
则P(A1)=
、P(A2)=
=
、P(A3)=
=
、P(A4)=
、根据题意知、事件A1、A2、A3、A4彼此互斥、由互斥事件的概率公式、得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=
+
=
.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=
+
+
=
.
法二:
(利用对立事件求概率)
(1)由法一知、取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球、即A1+A2的对立事件为A3+A4、所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-
-
=
.
(2)因为A1+A2+A3的对立事件为A4、所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-
=
.
经统计、在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:
(1)至多2人排队等候的概率;
(2)至少3人排队等候的概率.
[解] 记“无人排队等候”为事件A、“1人排队等候”为事件B、“2人排队等候”为事件C、“3人排队等候”为事件D、“4人排队等候”为事件E、“5人及5人以上排队等候”为事件F、则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G、则G=A∪B∪C、
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)法一:
(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H、则H=D∪E∪F、
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)
=0.3+0.1+0.04=0.44.
法二:
(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H、则其对立事件为事件G、所以P(H)=1-P(G)=0.44.
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