331两条直线的交点坐标讲解.docx
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331两条直线的交点坐标讲解
3.3.1两条直线的交点坐标
求两直线的交点
例①求下列两条直线的交点坐标:
|1:
3x+4y—2=0,12:
2x+y+2=0.
1.求下列各对直线的交点坐标,并画出图形:
(1)11:
2x+3y=12,I2:
x—2y=4;
两条直线的位置关系的判断
例②
⑵|1:
x=2,I2:
3x+2y—12=0.
判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标.
X—y=0,l2:
3x+3y—10=0;
3x—y+4=0,I2:
6x—2y—1=0;
3x+4y—5=0,I2:
6x+8y—10=0.
2•判断下列各对直线的位置关系•如果相交,求出交点的坐标:
(1)2x—y+7=0,x+y=1;
x+5
(2)x—3y—10=0,y=〒;(3)3x—5y+10=0,9x—15y+30=0.
求两点间的距离例③已知点A(—1,2),B(2,Q7),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
3•求下列两点间的距离:
(1)A(6,0),B(—2,0);
(2)C(0,—4),D(0,—1);
(3)P(6,0),Q(0,—2);(4)M(2,1),N(5,—1).
坐标法证明几何问题
例④证明:
平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
4.证明:
直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
例⑤若三条直线l1:
ax+y+1=0,l2:
x+ay+1=0,I3:
x+y+a=0能构成三角形,则a
应满足的条件是()
B.a工±1
D.a工±且al2
A.a=1或a=—2
C.aMl且a丰—2
5.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax—2交于一点,则a的值为()
1
A.2
A(1,2),B(4,0),一条河所在直线方
例⑥某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为
程为I:
X+2y—10=0,若在河边I上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?
此时|PA|+|PB|为多少?
A组训练
1.已知点A(—3,4)和B(0,b),且|AB|=5,则b等于()
A.0或8B.0或—8
C.0或6D.0或—6
2.经过直线2x—y+4=0与x—y+5=0的交点,且垂直于直线x—2y=0的直线方程是()
A.2x+y—8=0B.2x—y—8=0
C.2x+y+8=0D.2x—y+8=0
3.若过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则AB|的值为()
A.6B.
C.2D.
不能确定
4.已知A(2,1),B(3,2),C(—1,4),则△ABC是(
A.直角三角形B.
C.钝角三角形D.
)
锐角三角形
等腰直角三角形
5.点P(2,5)关于直线X+y=0的对称点的坐标是(
A.(5,2)B.
C.(—5,—2)D.
)
(2,5)
(—2,5)
6.直线y=ax+1与y=x+b交于点(1,1),贝Ua=
7.直角坐标平面上连接点(一2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离
为.
&经过两条直线2x—3y+10=0和3x+4y—2=0的交点,且垂直于直线3x—2y+4=0的
直线的方程为.
9.
(1)求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标;
⑵已知点P的横坐标是7,点P与点N(—1,5)间的距离等于10,求点P的纵坐标.
10.求经过两直线2x+y—8=0与x—2y+1=0的交点,且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线I的方程.
B组训练
1.已知A(—3,8),B(2,2),在x轴上有一点M,使得|MA|+MB|最短,则点M的坐标是()
A.(—1,0)B.(1,0)
22C'f小22
C.(丁,0)D.(0,石)
2.若三条直线x+y+1=0,2x—y+8=0和ax+3y—5=0共有三个不同的交点,则实数a
应满足的条件是
3.已知AO是△ABC边BC的中线,求证:
AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|0C|2).
4.已知两点A(—2,4),B(4,2)和直线I:
y=kx-2.
(1)求直线l恒过的定点P的坐标;
(2)若直线I与线段AB相交,试求k的取值范围.
3.3.1两条直线的交点坐标参考答案
求两直线的交点
例①求下列两条直线的交点坐标:
|1:
3x+4y—2=0,l2:
2x+y+2=0.
(3x+4y—2=0,
[解]解方程组1
[2x+y+2=0,
x=—2,
得彳
7=2.
所以,li与12的交点坐标是M(—2,2)•1•求下列各对直线的交点坐标,并画出图形:
(1)11:
2x+3y=12,I2:
x—2y=4;
(2)l1:
x=2,l2:
3x+2y—12=0.
[2x+3y=12,
解:
(1)由$
|x—2y=4,
•••交点坐标为(2,3),如图⑵•
「X=I得;y=I
[3x—y+4=0,
(2)解方程组1
[6x—2y—1=0,
①X2—②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,ll//l2.
(3x+4y—5=0,
(3)解方程组5
[6x+8y—10=0,
①X2得6x+8y—10=0.
因此,①和②可以化成同一个方程即①和②表示同一条直线,ll与12重合.
2•判断下列各对直线的位置关系•如果相交,求出交点的坐标:
(1)2x—y+7=0,x+y=1;
x+5
(2)x—3y—10=0,y=〒;
(3)3x—5y+10=0,9x—15y+30=0.
(2x—y+7=0,[x=—2,
解:
(1)由丫得\
[x+y=1,Ly=3.
所以两直线相交,交点坐标为(一2,3).
110
⑵两直线方程分别化为y=孑-13"
15
y=3X+3.由斜率相等,纵截距不等知两直线平行.
⑶将3x—5y+10=0的两边同乘以3得,9x—15y+30=0,与第二个方程完全相同故两直线重合.
求两点间的距离
例③已知点A(—1,2),B(2,W),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
[解]设所求点为P(X,0),•••|PA|=|PB|,
(x-2)2+(0-{7)2
x=1.
•••#(x+1)2+(0-2)2=yj•-X2+2x+5=X2-4x+11,解得•••所求点为P(1,0),|PA|=7(1+1)2+(0-2)2=3•求下列两点间的距离:
(1)A(6,0),B(-2,0);
(2)C(0,-4),D(0,-1);
(3)P(6,0),Q(0,-2);(4)M(2,1),N(5,-1).
解:
(1)|AB|=7[6—(—2)]2+(0-0)2=8.
⑵|CD|=7(0-0)2+[-4-(-1)]2=3.
(3)|PQ|=p(6-0)2+[0-(-2)]2=2硕
⑷|MN|=#(2—5)2+[1-(-1)]2=届
坐标法证明几何问题
例④证明:
平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
[证明]
B(a,0),D(b,
因为|ABf=a2,
如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在直线为X轴,建立直角坐标系,有A(0,0)•设
c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,c).
|CD|2=a2,AD|2=b2+c2,
所以AB2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2),
22222
AC|+|BD|=2(a+b+c).
所以AB2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
4.证明:
直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.证明:
以两直角边OA,OB所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,C为AB的中点,设A(a,
ab
0),B(o,b),贝yc(2,2).
/a、2,/b、21/2,2
(2)+
(2)=2A/a+b,
AB|=7a2+b2.
1
•-|OC|=2|ab|,
即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.
例⑤若三条直线11:
ax+y+1=0,12:
x+ay+1=0,13:
x+y+a=0能构成三角形,则a
应满足的条件是()
B.a工±1
D.a工±且al2
A.a=1或a=—2
C.a工1且a丰—2[解析]为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.
(1)若三条直线交于一点
将12,13的交点(一a-1,1)代入11的方程解得
①
a=1或a=—2;
⑷若li//I3,则由axi—1X1=0,得a=1,当a=1时,li与l3重合.
综上,当a=1时,三条直线重合;
所以要使三条直线能构成三角形
C.
y=2x+10x=—9
解析:
选C.由$,得$
iy=x+1|y=—8
如图所示,过A作直线I的对称点A',连接AB交I于P,因为若P'异于P)在直线I上,则
AP'出|BPl=|AP'出|BP‘|>|B|.
因此,供水站只能在点P处,才能取得最小值.
设A'a,b),贝UAA的中点在I上,且AA'丄I,
ra+1b+2
-^+2—10=0,即{
b—21
I—•(—2)=—1,
La—12
[a=3,
解得Y即AB,(36),
b=6,所以直线AB的方程为6x+y—24=0,
fex+y-24=0,「x=
解方程组Y得{
|x+2y—10=0,|y=36
-ly=11.
所以P点的坐标为(莘8,11)故供水站应建在点P(11,誓)处,此时|FA|+|PB|=|AB|=^(3—4)2+(6—0)2=^37.
A组训练
1.已知点A(—3,4)和B(0,b),且AB|=5,则b等于()
A.0或8B.0或—8
C.0或6D.0或—6解析:
选A.由AB|=5得寸(-3-0)2+(4-b)2=5,所以(4—b)2=16,
4—b=±4,
b=0或b=8.
2.经过直线2x—y+4=0与x—y+5=0的交点,且垂直于直线x—2y=0的直线方程是()
B.2x—y—8=0
D.2x—y+8=0
A.2x+y—8=0
C.2x+y+8=0
〔2x—y+4=0fx=1,
故过点(1,6)与X—2y=0垂直的直线为y—6=—
解析:
选A.由(,得1
[x—y+5=0y=6,
2(x—1),即2x+y—8=0.
3.若过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则AB|的值为()
A.6B.72
C.2D.不能确定
b—a
解析:
选B.因为直线AB与y=x+m平行,则=1,即b-a=1,
5-4
AB|=a/(4-5)2+(a-b)2=^2.
4.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC是(a.直角三角形B.
C.钝角三角形D.
)
锐角三角形
等腰直角三角形
解析:
选a.•••AB=>/(2-3)2+(1-2)2=72,
|BC|=J(3+1)2+(2-4)2=何
AC|=y(2+1)2+(1-4)
所以AB2+|AC|2=|BC|2,
所以△abc为直角三角形.
5.点P(2,5)关于直线X+y=0的对称点的坐标是(
a.(5,2)
C.(-5,-2)
)
(2,5)
(-2,5)
解析:
选C.设对称点P'x(y),
「y-5
=1
x-2
则{
Ix+2y+5
+=0
•••x=—5,y=-2.
6.直线y=ax+1与y=x+b交于点(1,1),贝Ua=
解析:
因为直线
y=ax+1与y=x+b的交点为(1,1),
|1=a+1
所以0?
|1=1+b
答案:
00
7.直角坐标平面为.
上连接点(一2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离
解析:
设M的坐标为(x,y),
"—2+x
~~r~=1[x=4
■,解得\
Ly=—5
所以|OM|=742+(-5)2=回.
答案:
回
&经过两条直线2x—3y+10=0和3x+4y—2=0的交点,且垂直于直线3x—2y+4=0的直线的方程为.
2x-3y+10=0fx=—2
解析:
由丫,得$
2
3'
|x+4y—2=0[y=2
垂直于直线3x—2y+4=0的直线的斜率为―
故所求的直线方程为y—2=—|(x+2),即2x+3y—2=0.
答案:
2x+3y—2=0
9.
(1)求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标;
⑵已知点P的横坐标是7,点P与点N(—1,5)间的距离等于10,求点P的纵坐标.
解:
⑴设x轴上的点为B(x,0),由|AB|=13,得7(X—5)2+(0-12)2=13,
•-x—5=5或x—5=—5.
•••x=10或x=0,即点B的坐标为(10,0)或(0,0).
(2)设点P的纵坐标为y,即P(7,y).
由于|PN|=10,•y/[7—(—1)]2+(y—5)2=10,•(y—5)2=36,
•-y—5=6或y—5=—6,从而y=11或y=—1,•••p点的纵坐标为11或一1.
10.求经过两直线2x+y—8=0与x—2y+1=0的交点,且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线I的方程.
解:
(1)2x+y—8=0在x轴、y轴上的截距分别是4和8,符合题意.
⑵当I的方程不是2x+y—8=0时,设I:
(x—2y+1)+X2X+y—8)=0,即(1+2?
)x+(入一2)y+(1—8为=0.
据题意,1+2X^0入—2丰0.
1—8入
令x=0,得y=—;
X—2
1—8入
令y=0,得x=—
1
X=8,
1—8入1—8入
所以—二=2(—石),解得此时直线I的方程为2x—3y=0.
综合
(1)
(2),所求直线方程为2x+y—8=0或2x—3y=0.
B组训练
1.已知A(—3,8),B(2,2),在x轴上有一点M,使得|MA|+|MB|最短,则点M的坐标是()
A.(—1,0)
C.(食0)
A(—3,8)关于x轴对称的点A'—3,—8),A'B与x轴的交点,就是使|MA|+|MB|最短的M
直线AB的方程为y+8x+32+8=2+3^当y=0时,得x=1,即此时M的坐标为(1,0).
2.若三条直线x+y+1=0,2x—y+8=0和ax+3y—5=0共有三个不同的交点,则实数a
应满足的条件是.
解析:
解方程组
X+y+1=0
2x—y+8=0
x=—3
(-3,2).
得^,即两直线的交点坐标为
[y=2
a•(—3)+3疋一5M0
依题意知,实数a满足的条件为{
a
一3工2
『1
1叭解得4aM3
即实数a满足的条件为a€R,且a#且a工3且a^—6.
答案:
ag且a工3且al6
3.
求证:
已知AO是△ABC边BC的中线,AB|2+|AC|2=2(|AO|2+0C|2).
证明:
以BC所在直线为X轴,BC的中点
0为原点,建立平面直角坐标系,设B(—a,0),C(a,
0),A(b,c).
222则|AB|+|AC|=[b—(—a)]+
222222
(C—0)+(b—a)+(C—0)=2(a+b+c),
22222
A0|+OC|=b+c+a.
故|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|0C|2).
4.已知两点A(—2,4),B(4,2)和直线I:
y=kx—2.
(1)求直线I恒过的定点P的坐标;
(2)若直线I与线段AB相交,试求k的取值范围.
解:
(1)令x=0,则y=—2,所以不论k取什么值,
直线
I:
y=kx—2都过定点P(0,—2).
—2—2
kPB==1.
0—4如图所示,所以直线I的斜率k的取值范围是(一卩—3]U[1,+8).
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