机械创新整理资料.docx

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机械创新整理资料

原始牛顿法的思路：

在点x（k）领域内用一个二次函数Φ（x）去近似代替原目标函数F（x），然后求出这个二次函数的极小点，以该点作为对原目标函数求优的下一个选代点x（k+1）,这样通过重复若干次迭代，使迭代点逐步逼近原目标函数的极小点X*。

牛顿法的特点：

牛顿法具有二次收敛性，对正定二次函数一次迭代即可达到极小点。

对目标函数性态较好或当初始点取在极小点附近时收敛速度快。

但对目标函数有较高的要求，必须存在一阶、二阶偏导数，H（x（k））需正定且非奇异。

计算复杂，计算量大。

直接搜索法：

坐标轮换法、鲍威尔法

间接法：

梯度法、牛顿法、变尺度法

直接搜索法：

只需进行函数值的计算与比较来确定迭代方向和步长

间接法：

利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵来确定迭代方向和步长

坐标轮换法

思路：

基本思想：

把一个n维无约束最优化问题转化为依次沿n个坐标轴方向的一维最优化问题。

特点：

程序结构简单，易于理解,但收敛慢。

适用于n<10的低维优化问题。

另收敛速度与等值线的形状有关：

鲍威尔法的基本思想:

对原始共轭方向法进行修正,即在某环已取得的n+1个方向中,选取n个线性无关,共轭程度尽可能高的方向作为下一环的基本方向组,从而避免出现“退化”现象.

鲍威尔法的特点:

是到目前为止求解无约束优化问题的最有效的方法。

不需求导数,只需计算目标函数值。

适用中、小型问题。

梯度法的基本思想:

利用函数在其负梯度方向函数值下降最快这一局部性质，将n维无约束优化问题转化

特点：

几何概念直观,方法和程序简单,远离极小点时收敛速度快。

但越接近极小点收敛速度越慢。

为一系例的沿目标函数负梯度方向的一维寻优问题。

BFGS变尺度法的特点：

综合了梯度法及牛顿法的优点而避开了各自的缺点，是高维（维数大于50）的最好方法。

模型的三要素：

设计变量目标函数约束条件

DFP变尺度法:

变尺度法采用构造矩阵来代替牛顿法中海赛矩阵的逆阵，其主要目的之一是为了避免计算二阶偏导数和计算它的逆矩阵，力图仅用梯度和其他一些易于获得的信息来确定迭代方向。

从几何意义上来说,求目标函数无约束极小点也就是求等值线的共同中心.

格点法特点：

程序简单，但计算效率较低，即在一定精度要求下计算函数值的次数较多，因而不宜用于维数较高的复杂问题中。

黄金分割法思路

基本思想:

逐步缩小搜索区间,直至最小点存在的范围达到允许的误差范围为止.取中间点为极小点.

二次插值法原理：

基本原理:

利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数,然后求该多项式的极小点,并以此作为目标函数的近似极小点,……反复使用此法,逐次拟合,直到满足给定的精度为止.

共轭矢量之所以引起优化研究者的重视，就是因为它的这些性质对提高优化方法的收敛速率极为有用。

鲍威尔修正法：

采用了上述产生基本方向组的新方式后，除了第一环以单位坐标矢量系为基本方向组外，以后每轮开始就不必重置单位坐标矢量系，只要一环接一环继续进行即可。

随着逐环迭代的继续，各环的基本方向组将渐趋共轭。

因此，这个修正了的鲍威尔算法，虽然已不再像基本算法那样具有二次收敛的性质，但修正算法确实克服了退化的不利情形，同时仍能够有效地、越来越快地收敛于无约束最优点x*。

坐标约束轮换法：

基本思想:

在可行域内,依此沿坐标轴方向寻优,逐步逼近最优点。

约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别：

1步长无约束:

最优步长约束:

加速步长

②对每一个迭代点的检查无约束:

检查适用性约束:

检查适用性和可行性

③终止准则无约束:

点距准则约束:

步长准则

约束坐标轮换法具有算法明了、迭代简单、便于设计者掌握运用等优点。

但是，它的收敛速度较慢，对于维数较高的优化问题（例如10维以上）很费机时。

另外，这种方法在某些情况下还会出现“死点”的病态，导致输出伪最优点。

避免输出伪最优点的办法:

1、输入不同的初始点

2、用不同的步长多次计算

约束随机方向法基本原理：

典型的“瞎子爬山”式的数值选代解法。

在可行域内，任选初始点x（0），以给定的步长a=a0，沿按某方法产生的随机方向S

（1）取探索点x=x（0）+aS

（1），若该点同时符合下降性（F（x）

并以它为新的起始点，继续按上面的迭代公式在S

（1）方向上获取新的成功探索点……..

特点：

约束随机方向法的搜索方向比坐标轮换法要灵活得多。

当预定的随机方向限定数m足够大时，它不会像约束坐标轮换法那样出现“病态”而导致输出伪最优点。

约束随机方向搜索法的特点：

对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。

在维数较少的情况下是一种十分有效的方法，适用于小型问题。

复合形法

基本思想：

在可行域中选取K个点作为一复合形（多面体）的K个顶点。

比较各点函数值的大小，去掉函数值最大所对应的最坏点，而代之最坏点的映射点构成新的复合形。

不断重复上述过程，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至满足选代精度为止

复合形法的特点:

对目标函数及约束函数无特殊要求，适应性强，计算量一般，收敛较快，适用中小型问题。

是现有解不等式约束优化问题的一种重要的直接法。

按照惩罚函数构成的形式不同，惩罚函数法又分为三种：

1、内点惩罚函数法

2、外点惩罚函数法3、混合惩罚函数法

基本思想：

将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可

行域内逐步逼近原目标函数约束边界上的最优点

内点惩罚函数法的特点:

在给定一个可行初始方案后，能求出一系列逐步得到改进的可行的设计方案。

（每个迭代点都是可行点）但只适用于解不等式约束优化问题，且初始点须在可行域内。

外点惩罚函数法基本思想：

将新目标函数定义于可行域外，序列迭代点在可

行域外逐步逼近原目标函数约束边界上的最优点

外点法的特点

外点法既可解不等式约束优化问题，也能解等式约束优化问题,且其初始点x（0）可任选，即在可行域中或非可行域中均可。

其缺点是序列无约束最优点是一系列的非可行点，对于工程设计一般是不可取的。

为使最终的迭代点能落入可行域，必须设置约束容差带。