高等代数北大版第三版习题答案II.docx
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高等代数北大版第三版习题答案II
高等代数(北大第三版)答案
第一章多项式
第二章行列式
第三章线性方程组
第四章矩阵
第五章二次型
第六章线性空间
第七章线性变换
第八章—矩阵
第九章欧氏空间
第十章双线性函数与辛空间
注:
答案分三部分,该为第二部分,其他请搜索,谢谢!
12.设A为一个n级实对称矩阵,且A0,证明:
必存在实n维向量X0,使XAX0。
证因为A0,于是A0,所以rankAn,且A不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换XCY使1
AXYC1ACYYBYX
y1y2ypyp1yp2yn,
1且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在ZCY中,令y1y2yp222222
0,yp1yp2yn1,则可得一线性方程组
c11x1c12x2c1nxn0cp1x1cp2x2cpnxn0,cp1,1x1cp1,2x2cp1,nxn1
cn1x1cn2x2cnnxn1
由于C0,故可得唯一组非零解Xsx1s,x2s,,xns使
AXs000111np0,Xs
即证存在X0,使XAX0。
13.如果A,B都是n阶正定矩阵,证明:
AB也是正定矩阵。
证因为A,B为正定矩阵,所以XAX,XBX为正定二次型,且
XAX0,XBX0,
因此
AXXBX0,XABXX
于是XABX必为正定二次型,从而AB为正定矩阵。
14.证明:
二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。
采用反证法。
若正惯性指数p秩r,则pr。
即
fx1,x2,,xny1y2ypyp1yr,22222若令
y1y2yp0,yp1yr1,
则可得非零解x1,x2,,xn使fx1,x2,,xn0。
这与所给条件fx1,x2,,xn0矛盾,故pr。
充分性。
由pr,知
fx1,x2,,xny1y2yp,222
故有fx1,x2,,xn0,即证二次型半正定。
n215.证明:
nxixi是半正定的。
i1i1
n2证nxixi
i1i1
nx1x2xnn2n2222
x2
122x2xn2x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xnn1x1x2xn(2x1x22x1xn2x2x3222
2x2xn2xn1xn)
x12x1x2x2x12x1x3x3xn12xn1xnxn222222
可见:
1ijnxixj。
2
1)当x1,x2,,xn不全相等时
fx1,x2,,xn
2)当x1x2xn时
fx1,x2,,xn1ijnxxixj0。
2ixj0。
2
1ijn
故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。
AX是一实二次型,若有实n维向量X1,X2使16.设fx1,x2,,xnX
AX0,X2AX20。
X1
AX00。
证明:
必存在实n维向量X00使X0
设A的秩为r,作非退化线性替换XCY将原二次型化为标准型
XAXd1y1d2y2dryr,
其中dr为1或-1。
由已知,必存在两个向量X1,X2使222
AX10和X2AX20,X1
故标准型中的系数d1,,dr不可能全为1,也不可能全为-1。
不妨设有p个1,q个-1,且pqr,即
AXy1ypyp1ypq,X
这时p与q存在三种可能:
pq,pq,pq
下面仅讨论pq的情形,其他类似可证。
令y1yq1,yq1yp0,yp1ypq1,则由ZCY可求得非零向量X0使2222
AX0y1ypyp1ypq0,X0
即证。
17.A是一个实矩阵,证明:
rankAArankA。
证由于rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组,故只要证明AX0与AAX0同解即可。
事实上
AX0AAX0XAAX0
AXAX0AX0,
即证AX0与AAX0同解,故
rankAArankA。
注该结论的另一证法详见本章第三部分(补充题精解)第2题的证明,此处略。
2222
一、补充题参考解答
1.用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所得结果:
1)x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1;
2)x1x2x2x3xn1xn;3)x
i1
nn2i1ijn2xxij;
4)xi1ix,其中xx1x2xn。
n解1)作非退化线性替换
x1y1y2nxyy22n12
xnynyn1,xyynn1n1
x2n1y2y2n1xyy12n2n
即XTY,则原二次型的标准形为fy1y2ynyn1y2n1y2n,且替换矩阵222222
10
T0
1
使111011,1111000100
11,TAT11
其中
A12
2)若y1
则121212。
x1x2x3xx2x3,y21,22
y1y2y1y2y1y222
x1x2x2x3,
于是当n为奇数时,作变换xixi1xi2yi2xxi1xi2yi1ii1,3,5,,n2,2ynxn
则
x1x2x2x3xn1xny1y2y3y4yn2yn1,且当n4k1时,得非退化替换矩阵为222222
11111110000110
11111T11000,1101
当n4k3时,得非退化替换矩阵为
11111110000110
11111T11000,1101
故当n为奇数时,都有
1111TAT。
110
当n为偶数时,作非退化线性替换xixi1xi2yi2yxixi1xi2i12i1,3,5,,n3,xxnyn1
n12xxnynn1
2
则
x1x2x2x3xn1xny1y2y3y4yn1yn,于是当n4k时,得非退化替换矩阵为222222
1111111100001111T1100,1111
于是当n4k2时,得非退化替换矩阵为
111111000110
1111T1100,1111
故当n为偶数时,都有
111TAT1。
11
3)由配方法可得221n31n
fx1xjx2xj2j243j3
n1n12xn1xnxn,2n1n2n
于是可令2
1ny1x12xj
j21n
y2x2xj3j3,
1yn1xn1xnnynxn
则非退化的线性替换为
1111xyyyyyn123n1123n1nxy1y1y1y23n1n23n1n,1xn1yn1ynnxnyn
且原二次型的标准形为fy1
相应的替换矩阵为232nn122y2ynyn,142n12n
11201T00
0000
又因为1113n1n1113n1n11,1n1n101n001
11112221111222A,11112221111222
所以
01003000400406TAT000。
4)令
则
由于
则
000n02n1n10000ny1x1xy2x2x,yn1xn1xynxnnx12y1yii2nx2y12y2yii3。
n2xn1yi2yn1yni1xnynnnyixin1xx,i1i1n122y2inyn1n1原式2nyiyiyii1i1i1i12n1y2ii1yiyjijn112232n2
z14z2n1z
2n1
2z2
31
2z2n2
2n1
zn1,其中所作非退化的线性替换为
y1111
z1zzzn1
2233n1
yz1223z314z41n1z
n1
,
yn1
z
n1
ynzn
故非退化的替换矩阵为
121111
11310
1211121n110
1121101
3nT011
1
0
011121n1
00001
00010
00001
2013
0
01001214101
。
23
011n123n1
00001
又
x1x
n
2
x
xx,x,xxx
i
x
12x,nx
i1
2
xnx
n1
1n
1nn11
1
nn1x1,x2,,xx1n
1nn1n
nnnn1n1nn1
1n
n1n
1nx11nx2n1x
nn
n1n
1
x1,x2,,xxn1n
ZAZ,
所以1nn1n1n1xn11x2nxnn1n
0020030000240000TAT。
3n0000n100000
2.设实二次型
fx1,x2,,xna
i1si11xai2x2ainxn,2
证明:
fx1,x2,,xn的秩等于矩阵
a11a21Aas1
的秩。
证设rankAr,因a12a1na22a2nas2asn
fx1,x2,,xnXAAX,
下面只需证明rankAr即可。
由于rankArankA,故存在非退化矩阵P,Q使PAQ0
从而
PAAP
令Er0ErPA或00Er0011QQ0E001Q,00,0r
Q
则1BQD1rC,M
CErM00Br00
rErPAAP0由于Q110Br0D0。
0Q是正定的,因此它的r级顺序主子式B0,从而AA的秩为r。
即证rankArankAA。
3.设
fx1,x2,,xnl1l2lplp1lpq。
22222其中lii1,2,,pq是x1,x2,,xn的一次齐次式,证明:
fx1,x2,,xn的正惯性指数p,负惯性指数q。
证设libi1x1bi2x2binxni1,2,,pq,fx1,x2,,xn的正惯性指数为s,秩为r,则存在非退化线性替换yici1x1ci2x2cinxni1,2,,n,使得
fx1,x2,,xnl1l2lplp1lpq22222y1ysys1yr。
下面证明sp。
采用反证法。
设sp,考虑线性方程组2222
b11x1b1nxn0bp1x1bpnxn0,cxcx0s1,nns1,11
cn1x1cnnxn0
该方程组含pns个方程,小于未知量的个数n,故它必有非零解a1,a2,,an,于是fa1,a2,,anlp1lpqy1ys,2222上式要成立,必有
lp1lpq0,y1ys0,
这就是说,对于x1a1,x2a2,,xnan这组非零数,有y10,y20,
yn0,
这与线性替换YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。
所以sp。
同理可证负惯性指数rsp,即证。
4.设
AA
A11
12AA2122
是一对称矩阵,且A0,证明:
存在TE
X11
0
E使TATA11
0个级数与A22相同的矩阵。
证只要令T
E0
AA1
E,则EA1
11A12,
2111T0E
注意到
A,A1
12A21
11A
1
11,
则有
TAT
E0A12
A1A21A1
11EA11
AE
21A2211A12
0E
AA11
12
A1
11A12
0A1E
21A11A12A220E
A11
00。
即证。
5.设A是反对称矩阵,证明:
A合同于矩阵
011001
10。
0
0
0
,其中表示一
证采用归纳法。
当n1时,A0合同于0,结论成立。
下面设A为非零反对称矩阵。
当n2时0Aa12
故A与1a12第2行乘a12011,010第2列乘a1201合同,结论成立。
10
假设nk时结论成立,今考察nk1的情形。
这时
0Aa1ka1,k1a1k0ak,k1a1,k1,ak,k10
1
ak,k1如果最后一行(列)元素全为零,则由归纳假设,结论已证。
若不然,经过行列的同时对换,不妨设ak,k10,并将最后一行和最后一列都乘以,则A可化成
0a1kb1a1kb1,0110
再将最后两行两列的其他非零元bi,aiki1,2,,k化成零,则有
0
b1,k100
由归纳假设知b1,k1000000,01100
010b1,k110与b01,k1
合同,从而A合同于矩阵
011001,1000110
再对上面矩阵作行交换和列交换,便知结论对k1级矩阵也成立,即证。
6.设A是n阶实对称矩阵,证明:
存在一正实数c,使对任一个实n维向量X都有AXcXX。
X
证因为AXX
令amaxaij,则i,jai,jijxixjaiji,jxixj,XAXax
i,jixj。
利用xixjxi2x2
j
2可得AXaXi,jxi2x2j2anxi2cXX,
i
其中can,即证。
7.主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1)设A是一对称矩阵,T为特殊上三角矩阵,而BTAT,证明:
A与B的对应顺序主子式有相同的值;
2)证明:
如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零,那么一定有一特殊上三角矩阵T使TAT成对角形;
3)利用以上结果证明:
如果矩阵A的顺序主子式全大于零,则XAX是正定二次型。
证1)采用归纳法。
当n2时,设
a11Aa21
则
BTATba121bT,01,a22a121ba11。
a220110a111a21
考虑B的两个顺序主子式:
B的一阶顺序主子式为a11,而二阶顺序主子式为BTA1A1A,
与A的各阶顺序主子式相同,故此时结论成立。
归纳假设结论对n1阶矩阵成立,今考察n阶矩阵,将A,T写成分块矩阵T0Tn1An1A,1,ann
其中Tn1为特殊上三角矩阵。
于是
Tn1B
0An11Tn1ann01Tn1An1Tn1
Bn1。
由归纳假设,B的一切n1阶的顺序主子式,即Bn1Tn1An1Tn1的顺序主子式与An1的顺序主子式有相同的值,而B的n阶顺序主子式就是B,由BAT1A1A,
知B的n阶顺序主子式也与A的n阶顺序主子式相等,即证。
2)设n阶对称矩阵Aaij,因a110,同时对A的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换,可以化成对称矩阵
a1100b22A0bn2
于是由1)知0b2na110bnn0,Bn1a11
000,从而b220,再对Bn1进行类似的初等变换,使矩阵A1的b22
第二行和第二列中除b22外其余都化成零;如此继续下去,经过若干次行列同时进行的第三种初等变换,便可以将A化成对角形
12B。
n
由于每进行一次行、列的第三种初等变换,相当于右乘一个上三角形阵Ti,左乘一个下三角形阵Ti,而上三角形阵之积仍为上三角形阵,故存在TT1,T2,,Ts,使TATB,命题得证。
3)由2)知,存在T使
12TATB。
n
又由1)知B的所有顺序主子式与A的所有顺序主子式有相同的值,故1a110,
所以20。
12a11a12a12a220,
1
2
a11a1i0,
i
所以ai1aii
i0i1,2,,n,
因XTY是非退化线性替换,且
AXYTATY1y12y2nyn,X
由于1,2,,n都大于零,故XAX是正定的。
8。
证明:
1)如果
是正定二次型,那么222ai1j1nnijxixjaijaji
a11
fy1,y2,,yn
a12y2
a1n
yn
y1y2yn0
a21an1y1
a22a2nan2ann
是负定二次型;
2)如果A是正定矩阵,那么AannPn1,这里Pn1是A的n1阶顺序主子式;3)如果A是正定矩阵,那么
Aa11a22ann。
4)如果Ttij是n阶实可逆矩阵,那么2
22
t12it2itni。
i1n
证1)作变换YAZ,即
y1a11
y2a21
yann1
则
a12a22an2
a1nz1
a2nz2
,annzn
00
y1z1ynzn
a11a1n
fy1,y2,,yn
an1anny1
yn
Ay1z1ynznAYZAZAZAZAZ。
因为A是正定矩阵,所以fy1,y2,,yn是负定二次型。
2)A为正定矩阵,故Pn1对应的n1阶矩阵也是正定矩阵,由1)知
a11
fn1y1,,yn1
a1,n1yn1
y1yn10
y1
an1,1an1,n1
是负定二次型。
注意到
a11
A
a1,n1an,n1a1,n1an,n1
a1nan1,nanna1nan1,n0
a11an1
a1,n1an,n1
00ann
an1a11an1
an1,1an1,n1
an1,1an1,n1an1,1an1,n1
fn1a1n,a2n,,an1,nannPn1,
0时,所以又因fn1a1n
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