承德二中届高三上学期第一次月考理数试题含答案.docx
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承德二中届高三上学期第一次月考理数试题含答案
高三数学试卷(理科)
第I卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的•
1.已知集合A=tx|x2-x-2•0?
B=|x•0?
,则A"B=()
A.1,2B.0,2C.2,:
:
D.1,:
:
2.若复数z满足1-iz=2•3i,则复数z的实部与虚部之和为()
A.-2B.2C.-4D.4
3.在ABC中,若ABAC=4AP,则PB=()
A.
3AB」ACB.
-3AB1ACC
44
.-1AB3AC
44
4
4
D.
1T
—AB
-3AC
4
4
2
2
4.
x
F1,F2分别是双曲线C:
—
--1的左、右焦点,
P为双曲线C右支上一点,且
97
PR=8,则也PRF2的周长为()
D.n=5,V=10
fJ[J—
7•若sin|a+'|=<2(sina+2cosa),则sin2a=()
I4丿
A.
C.
8.设函数fx的导函数为「x,若fx为偶函数,且在0,1上存在极大值,则fx
的图象可能为()
9.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:
一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完,现将该木棍依此规律截取,如图所示的
程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:
尺),则①②③处可分别填入
的是()
①
②
③
A
i兰7?
1
s=s一
i
i=i+1
B
i兰128?
1
s=s—_
i
i=2i
C
i兰7?
1
S=S
2i
i=i+1
D
iM128?
1
S=S—
2i
i=2i
xy-2_0
2I
10.已知函数fx二ax-bx1,点a,b是平面区域x_m内的任意一点,若
[y兰-1
f2-f1的最小值为-6,则m的值为()
A.-1B.0C.1D
fH
sin12x,-二xm
11.若函数fx二
cos2x,m乞x乞一II6)2
\6*恰有4个零点,则m的取值范围为(
(_n
A.
12
12.直线y=x•a与抛物线
5axa0相交于代B两点,C0,2a,给出下列
命题:
p:
AABC的重心在定直线7x—3y=0上;p2:
AB的最大值为2^10;p3:
AABC
的重心在定直线3x-7y=0上;p4:
AB|J^a的最大值为2亦.其中的真命题为()
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上)
13.在ABC中,若sinA:
sinB:
sinC=3:
4:
6,则cosB=.
14・若log2log3x=log3log2y=2,贝Uxy=
..53
15.若xa12x的展开式中x的系数为20,则a二16.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9的球O的表面上,且
AB=CD=a,AC=AD=BC=BD=、、5,贝ya—.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)
17.在等差数列中,a3a4=12,公差d=2.记数列:
a2nJ?
的前n项和为Sn.
(1)求Sn;
(2)设数列n的前n项和为£,若a2,a5,am成等比数列,求Tm.
an1Sn
18.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB_AB.
(1)证明:
平面PBC_平面PCD;
(2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB_BC,求二面角B-PD-C的大小.
19.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供
自行车单车共享服务,是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中
一辆单车的平均成本(单位:
元)与租用单车的数量(单位:
千辆)之间的关系”进行调查研究,在调查过程中进行了统计,得出相关数据见下表:
租用单车数量x(千辆)
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本y(兀)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据,研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲:
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到0.1)(备注:
g=y-叶,$称为相应于点(备,丫1)的残差(也
叫随机误差));
租用单车数量X(千辆)
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本
y(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
?
c)
2.4
2.1
1.6
残差?
()
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
)
2.3
2
1.9
残差?
(2)
0.1
0
0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2,并通过比较Q1,Q2的大小,判断哪个模
型拟合效果更好•
(2)这个公司在该城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎,共享单车常常供不应
求,于是该公司研究是否增加投放,根据市场调查,这个城市投放8千辆时,该公司平均一
辆单车一天能收入10元,
辆单车一天能收入10元,
6元收入的概率分别为0.6,0.4;投放1万辆时,该公司平均一
6元收入的概率分别为0.4,0.6.问该公司应该投放8千辆还是1
利润=收入-成本).
20.如图,设椭圆C
^7=1ab0的离心率为1,代B分别为椭圆C的左、右
b2
2
顶点F为右焦点.直线宀与C的交点到y轴的距离为7.过点B作X轴的垂线1,D为
1上异于点B的一点,以BD为直径作圆E.
(1)求C的方程;
(2)若直线
AD与C的另一个交点为P,证明:
直线PF与圆E相切.
21.已知函数
fx=ln^-ax2bx1的图象在x=1处的切线丨过点-,
2122丿
(1)若函数
gx]=fx;;「[a-1xa0,求gx的最大值(用a表示);
V,f(x“)+f(x2)+%+x2+3xjX2=2,证明:
X1+X2Z;.
(二)选考题共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则
(2)若a-
按所做的第一题记分•
22.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为]-2cosv-2sin0・:
:
v:
:
:
2二,点M
2t
以极点O为原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线|:
为参数)与曲线C交于代B两点,且MAa|MB.
(1)
若P匸门为曲线C上任意一点,求r的最大值,并求此时点P的极坐标;
(2)
MA
MB•
23.
【选修4-5:
不等式选讲】
已知函数f(x)=|x—2.
(1)求不等式f(x)^5—x—1的解集;
严上与x轴有3个不同的交点,求a
1i
(2)若函数gxf2x-a的图象在I
x
试卷答案
、选择题
17.解:
(1):
a3a4=12,二2印5d=2Q10=12,二印=1,「•a*=2n-1,•••a2"22n-1-1=4n-3,&=14[_3n価2_n;
(2)若a2,a5,am成等比数列,则a2a^af,即32m-1=92,二m=14,
耳&一2n-12n1_22n-12n1'
18.
(1)证明:
由已知四边形ABCD为矩形,得AB_BC,由于PB_AB,PBIBC=B,故AB_平面PBC,
又CD//AB,所以CD_平面PBC,
因为CD二平面PCD,所以平面PBC_平面PCD.
(2)解:
以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
设PB=AB=1,BC=aa0,则B0,0,0,C0,0,a,P1,0,0,D0,1,a,
uuiurn
所以PC1,0,a,BDh[0,1,a,则
ruir
即=0,
y乙=0
rngBP=0
设n=Xi,yi,Zi是平面PBD的法向量,则rULU
ngBD=0
可取n=[0,1,-1,设m=x2,y2,z2是平面PCD的法向量,则
-x2y2z2=0
y2=0
ngm1nm
iruuimgPD=0Iuvuur,即mgCD=0
可取mn[1,0,1,所以cosn,m:
二
由图可知二面角B-PD-C为锐角,所以二面角B-PD-C的大小为60°
19.解:
(1)①经计算,可得下表:
租用单车数量X(千辆)
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本
y(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
?
c)
3.1
2.4
2.1
1.9
1.6
残差?
()
0.1
0
-0.1
0
0.1
模型乙
估计值
)
3.2
2.3
2
1.9
1.7
残差?
(2)
0
0.1
0
0
0
2222
②Q=0.1+(-0.1)+0.1=0.03,Q2=0.1=0.01,
Q1Q2,故模型乙的拟合效果更好•
(2)若投放量为8千辆,则公司获得每辆车一天的收入期望为100.660.4=8.4,
64
若投放量为1万辆,由
(1)可知,每辆车的成本为6.41.6=1.664(元),
102
每辆车一天收入期望为100.460.6=7.6,所以一天的总利润为7.6-1.66410000=59360(元),
所以投放1万辆能获得更多利润,应该增加到投放1万辆.
c1
20.
(1)解:
由题可知,.••a=2c,b2=3c2,
a2
22
设椭圆C的方程为二=1,
4c23c2
22
故C的方程为—y1;
43
圆E的半径为
直线AD的方程为y冷x2,
•••直线PF与圆E相切.
(方法二)设过F与圆E相切的直线方程为x=ky■1,
”””12
tgx=fxj[a-1x=Inxax亠〔1-ax1,
0,-时,gx0,gx单调递增;
-ln-a
(2)证明:
•••a=-4,
2
二fx11fx2%x23x-!
x2=ln%2%1Inx2
Ina;
2
2x21x1x23x^2
2
=Inx/22x-ix2捲乂2_x1x22=2,
•-x-ix22x-ix2x/2_Inx1x2,
m一1
令x-|X2二mm0,「m二m-Inm,「m,令'm:
:
0得0:
:
:
m:
:
1;令
m0得m1,
•m在0,1上递减,在1,=上递增,
21
•'m]W1=1,二为X22为X2j:
:
1,捲X20,解得捲X2.
22.解:
(1)t『=2cosv2sinv-2、2sin-—
I4丿
即x2y2-2x-2y=0,
(2)由t=2cosr2sinr得=2Tcos^22n^
22
故曲线C的直角坐标方程为(X—1)+(y—1)=2.
22
,代入x-1y-12并整理得:
t
2
y=1tI2
23.解:
(1)由f(x)兰5—x—1,得x—1+x—2兰5,
解得—1兰xE4,故不等式f(x)^5—x—1的解集为【—1,4】.
x="~时取等号,h(Xhin=2J2—2,
1
当x_1时,hx2x2递减,
x
1
由gIxf12x-a=0得hix—
x
a三2,2-2,1.
又h宀
(1)=1,结合hx的图象可得,
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- 承德 二中届高三 上学 第一次 月考 试题 答案
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